专题03 圆锥曲线方程（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版

该高中数学圆锥曲线方程期末复习讲义通过核心考点分类与模块划分构建知识体系，以表格对比椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质，梳理焦点三角形等重要结论及易错点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+答题模板”设计，如椭圆焦点三角形面积公式结合余弦定理的应用题型，培养数学思维与运算能力。分层练习覆盖基础到综合，附易错点提醒，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 圆锥曲线方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义（第一定义）及应用 精准理解椭圆第一定义，能利用定义判断轨迹、求解相关距离/最值问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 椭圆的标准方程（两种形式） 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，能根据a/b/c关系求椭圆标准方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 椭圆的几何性质（离心率、焦点等） 掌握椭圆离心率、顶点、范围等性质，能灵活求解离心率（含范围）问题 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，其中离心率应用极广. 椭圆中的焦点三角形 能够掌握“b²tan”公式的推导并运用算面积，快速求角度范围 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合轨迹、余弦定理考查. 双曲线的定义（第一定义）及应用 掌握“差的绝对值为常数（2a<∣F1F2∣）” 的第一定义，能判断轨迹、求解距离问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 双曲线的标准方程与实虚轴 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，牢记c2=a2+b2（区别于椭圆），能根据焦点/渐近线求方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 双曲线的核心性质（离心率、渐近线、准线 掌握离心率e=​>1的范围，能快速写出不同共焦点的渐近线方程，解决离心率求值/范围问题 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，其中离心率应用极广. 等轴双曲线、共渐近线双曲线 会用共渐近线的双曲线方程，简化计算 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合方程考查. 双曲线的焦点三角形 掌握面积公式S=b2/tan​（θ为顶角），结合余弦定理求角度/边长范围 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：高频，结合轨迹、余弦定理考查.. 抛物线的定义及应用 精准理解 “平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹”，能利用定义转化距离关系、判断轨迹、求解最值问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合方程考查，多为基础铺垫. 抛物线的标准方程（四种形式） 掌握开口向右/左/上/下的四种标准方程，明确参数p（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据焦点/准线求方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 抛物线的几何性质（焦点、准线） 能快速写出不同开口方向的焦点坐标、准线方程，掌握抛物线的范围、对称性 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 抛物线的焦点弦性质 掌握焦点弦的核心结论：①弦长公式（如开口向右：∣AB∣=x1+x2+p）；②坐标关系③中点到准线的距离为弦长的一半 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合直线与抛物线的位置关系考查. 直线与圆锥曲线的位置关系 会联立方程+判别式判定位置关系，用韦达定理求弦长/中点，注意“直线与圆锥曲线相切（双曲线、抛物线可能只有1个交点”的特殊情况） 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合 圆锥曲线的综合应用（定点定值、定线） 能综合圆锥曲线知识与向量、函数，解决定点定值类解答题，掌握“设线（斜截式/参数式）→联立化简→条件推导”的流程 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合 知识点01 椭圆模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距 注：特别地： 当MF1＋MF2＝F1F2(2a＝2c)时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当MF1＋MF2＜F1F2(2a<2c)时，动点M的轨迹不存在 2.核心方程与性质 （1）椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 示例：方程化简的结果是（    ） A． B． C． D． 易错点：忽略椭圆定义成立条件. （2）椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 示例：.已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 易错点：不注意椭圆上点坐标是有范围的. 3.重要结论： （1）焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ①面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） ②焦点三角形的周长为2(a＋c)． ③在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 示例：已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 易错点：没有充分运用椭圆定义进行转化. （2）点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 点在椭圆内 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆上 点在椭圆外 点在椭圆外 （3）直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 示例：已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 易错点：不注意点在椭圆内. （4）直线与椭圆相交的弦长公式 定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 示例：经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 易错点：不注意弦长公式求弦长需要开根. 注：与椭圆有关的常用二级结论 知识点13 与椭圆有关的常用二级结论 1.切线方程：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 2.切点弦方程：若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3.焦点三角形与离心率：设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 4.椭圆的外准圆（蒙日圆）：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆： 5.椭圆第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为 ，则动点M的轨迹方程为椭圆：.. 知识点02 双曲线模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 双曲线的定义 1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 2、双曲线定义的集合语言表示：． 要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 2.方程与性质 （1）双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 示例：双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（  ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 易错点：不注意双曲线定义中距离之差的绝对值条件的运用 （2）双曲线的几何性质 双曲线的方程与几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 示例：已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 易错点：没有利用定义进行转换 3.重要结论： （1）等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： ①离心率：等轴双曲线的离心率为：； ②渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135° （2）双曲线的焦点三角形 定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 过焦点的三角形 设，的周长： 示例：设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（  ） A． B． C． D． 易错点：没有考虑利用三角形余弦定理解决 （3）双曲线的离心率 定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. 双曲线离心率的范围：e>1. 离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. 等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 示例：已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 易错点：利用双曲线的定义求的是2a （4）点与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系： 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 示例：“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 易错点：易错点：不注意直线与双曲线渐近线平行这种情形导致错误 （5）直线与双曲线相交的弦长问题 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 示例：过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 易错点：不注意直线与双曲线渐近线平行这种情形导致错误 知识点02 抛物线模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 抛物线的定义 抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 抛物线定义的集合语言表示：. 注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质 2.方程与性质 知识点02 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 示例：已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 易错点：注意抛物线定义的转换 3.重要结论： （1）直线与抛物线的位置关系： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 以抛物线与直线的位置关系为例： ①直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. ②直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. 若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. 若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 示例：已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 易错点：不注意直线与抛物线的对称轴平行这种情形导致错误 （3）抛物线中弦长 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 示例：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则_________ 易错点：对开口方向向左向右应考虑设直线的方程为并于抛物线联立，设斜截式需注意直线斜率是否存在的讨论。 题型一 椭圆的概定义 答｜题｜模｜板 在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【典例1】直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【典例2】在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 . 【变式4】一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 题型二 椭圆标准方程的求解 答｜题｜模｜板 求椭圆的标准方程的常见方法： （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 易错提醒 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【变式2】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【变式3】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型三 椭圆的离心率问题 答｜题｜模｜板 求椭圆离心率的方法： （1）和易求，由求得离心率． （2）在椭圆中，，故；因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然． （3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．注意根据的取值范围进行检验． 易错提醒 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________ 【变式4】已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为_________ 题型四 椭圆中的焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形问题： 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 【典例1】（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【典例2】已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【变式1】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B．5 C．20 D．5 【变式2】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 题型五 双曲线的定义与轨迹方程 答｜题｜模｜板 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【典例1】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【变式2】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型六 双曲线标准方程的求解 答｜题｜模｜板 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程;(2)待定系数法. 待定系数法求双曲线标准方程： 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【典例2】（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【变式1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 题型七 双曲线的离心率问题 答｜题｜模｜板 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法． 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【典例2】已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 【变式1】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（    ） A．的无最小值 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式3】双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为___________ 题型八 双曲线中的焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 双曲线的焦点三角形 （1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， （2）焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【变式1】已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 题型九 抛物线的定义与轨迹方程 答｜题｜模｜板 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据抛物线的定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【典例1】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【变式3】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 题型十 抛物线标准方程的求解 答｜题｜模｜板 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 【典例1】已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 题型十一 抛物线中最值问题 答｜题｜模｜板 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【典例1】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 题型十二 圆锥曲线的中点弦问题 答｜题｜模｜板 椭圆:(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 双曲线:设，， 双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为 抛物线:设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 【典例1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【变式2】(多选)已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式3】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 题型十三 直线与圆锥曲线的位置关系 答｜题｜模｜板 椭圆:直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离 双曲线： 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 抛物线:（1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【典例2】（多选）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【变式1】下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【变式3】设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【变式4】在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 题型十四 圆锥曲线的最值范围问题 答｜题｜模｜板 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 【典例1】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【典例2】动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【变式1】（多选）已知曲线，则（    ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【变式2】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为________ 【变式3】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【变式4】已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 题型十五 圆锥曲线的定值、定点、定线 答｜题｜模｜板 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【典例2】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【变式1】将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【变式2】已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 二、多选题 3．设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 4．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 5．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 三、填空题 6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 7．已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 8．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 四、解答题 9．设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积． 10．已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 5．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 6．已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 7．已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦距相同 D．与的离心率互为倒数 8．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 三、填空题 9．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 10．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 四、解答题 11．已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 12．设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 5．设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 三、填空题 7．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 8．如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 四、解答题 9．已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 10．已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义（第一定义）及应用 精准理解椭圆第一定义，能利用定义判断轨迹、求解相关距离/最值问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 椭圆的标准方程（两种形式） 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，能根据a/b/c关系求椭圆标准方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 椭圆的几何性质（离心率、焦点等） 掌握椭圆离心率、顶点、范围等性质，能灵活求解离心率（含范围）问题 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，其中离心率应用极广. 椭圆中的焦点三角形 能够掌握“b²tan”公式的推导并运用算面积，快速求角度范围 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合轨迹、余弦定理考查. 双曲线的定义（第一定义）及应用 掌握“差的绝对值为常数（2a<∣F1F2∣）” 的第一定义，能判断轨迹、求解距离问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 双曲线的标准方程与实虚轴 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，牢记c2=a2+b2（区别于椭圆），能根据焦点/渐近线求方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 双曲线的核心性质（离心率、渐近线、准线 掌握离心率e=​>1的范围，能快速写出不同共焦点的渐近线方程，解决离心率求值/范围问题 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，其中离心率应用极广. 等轴双曲线、共渐近线双曲线 会用共渐近线的双曲线方程，简化计算 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合方程考查. 双曲线的焦点三角形 掌握面积公式S=b2/tan​（θ为顶角），结合余弦定理求角度/边长范围 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：高频，结合轨迹、余弦定理考查.. 抛物线的定义及应用 精准理解 “平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹”，能利用定义转化距离关系、判断轨迹、求解最值问题 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合方程考查，多为基础铺垫. 抛物线的标准方程（四种形式） 掌握开口向右/左/上/下的四种标准方程，明确参数p（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据焦点/准线求方程 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系命题. 抛物线的几何性质（焦点、准线） 能快速写出不同开口方向的焦点坐标、准线方程，掌握抛物线的范围、对称性 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 抛物线的焦点弦性质 掌握焦点弦的核心结论：①弦长公式（如开口向右：∣AB∣=x1+x2+p）；②坐标关系③中点到准线的距离为弦长的一半 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合直线与抛物线的位置关系考查. 直线与圆锥曲线的位置关系 会联立方程+判别式判定位置关系，用韦达定理求弦长/中点，注意“直线与圆锥曲线相切（双曲线、抛物线可能只有1个交点”的特殊情况） 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合 圆锥曲线的综合应用（定点定值、定线） 能综合圆锥曲线知识与向量、函数，解决定点定值类解答题，掌握“设线（斜截式/参数式）→联立化简→条件推导”的流程 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合 知识点01 椭圆模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距 注：特别地： 当MF1＋MF2＝F1F2(2a＝2c)时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当MF1＋MF2＜F1F2(2a<2c)时，动点M的轨迹不存在 2.核心方程与性质 （1）椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 示例：方程化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解. 【解析】∵方程， 表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹， ∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆； ∴； ∴椭圆的方程是 易错点：忽略椭圆定义成立条件. （2）椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 示例：.已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】设, 所以, 由于，故当，取最小值， 故答案为： 易错点：不注意椭圆上点坐标是有范围的. 3.重要结论： （1）焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ①面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） ②焦点三角形的周长为2(a＋c)． ③在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 示例：已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 易错点：没有充分运用椭圆定义进行转化. （2）点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 点在椭圆内 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆上 点在椭圆外 点在椭圆外 （3）直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 示例：已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 易错点：不注意点在椭圆内. （4）直线与椭圆相交的弦长公式 定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 示例：经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 易错点：不注意弦长公式求弦长需要开根. 注：与椭圆有关的常用二级结论 知识点13 与椭圆有关的常用二级结论 1.切线方程：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 2.切点弦方程：若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3.焦点三角形与离心率：设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 4.椭圆的外准圆（蒙日圆）：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆： 5.椭圆第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为 ，则动点M的轨迹方程为椭圆：.. 知识点02 双曲线模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 双曲线的定义 1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 2、双曲线定义的集合语言表示：． 要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 2.方程与性质 （1）双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 示例：双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（  ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解析】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 易错点：不注意双曲线定义中距离之差的绝对值条件的运用 （2）双曲线的几何性质 双曲线的方程与几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 示例：已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（  ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 易错点：没有利用定义进行转换 3.重要结论： （1）等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： ①离心率：等轴双曲线的离心率为：； ②渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135° （2）双曲线的焦点三角形 定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 过焦点的三角形 设，的周长： 示例：设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可得，，在中，由余弦定理可得，最后可利用面积公式求解. 【解析】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A 易错点：没有考虑利用三角形余弦定理解决 （3）双曲线的离心率 定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. 双曲线离心率的范围：e>1. 离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. 等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 示例：已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 易错点：利用双曲线的定义求的是2a （4）点与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系： 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 示例：“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可. 【解析】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 故选：B. 易错点：不注意直线与双曲线渐近线平行这种情形导致错误 （5）直线与双曲线相交的弦长问题 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 示例：过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【解析】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C. 易错点：不注意直线与双曲线渐近线平行这种情形导致错误 知识点02 抛物线模块（概念+方程+性质+重要结论+示例+易错点） 1.核心概念 知识点01 抛物线的定义 抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 抛物线定义的集合语言表示：. 注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质 2.方程与性质 知识点02 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 示例：已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 易错点：注意抛物线定义的转换 3.重要结论： （1）直线与抛物线的位置关系： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 以抛物线与直线的位置关系为例： ①直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. ②直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. 若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. 若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 示例：已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 易错点：不注意直线与抛物线的对称轴平行这种情形导致错误 （3）抛物线中弦长 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 示例：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则_________ 【答案】6 【分析】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解析】易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. 故答案为：6 易错点：对开口方向向左向右应考虑设直线的方程为并于抛物线联立，设斜截式需注意直线斜率是否存在的讨论。 题型一 椭圆的概定义 答｜题｜模｜板 在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【典例1】直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】8 【解析】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴ 【典例2】在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【解析】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式1】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C 【变式2】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用动点转移可求的轨迹方程. 【解析】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 【变式3】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】连接，由题意，，则， 由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2， 故短半轴长为1，故轨迹方程为：. 故答案为：. 【变式4】一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 【答案】 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 题型二 椭圆标准方程的求解 答｜题｜模｜板 求椭圆的标准方程的常见方法： （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 易错提醒 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【典例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求椭圆的标准方程. 【解析】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 【变式2】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 【变式3】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【解析】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型三 椭圆的离心率问题 答｜题｜模｜板 求椭圆离心率的方法： （1）和易求，由求得离心率． （2）在椭圆中，，故；因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然． （3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．注意根据的取值范围进行检验． 易错提醒 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接由椭圆对称性知 故选：D 【典例2】设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案. 【解析】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 【变式1】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【解析】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 【变式2】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________ 【答案】 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故答案为： 【变式4】已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为_________ 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【解析】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 题型四 椭圆中的焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形问题： 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 【典例1】（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 【典例2】已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【解析】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 【变式1】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B．5 C．20 D．5 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【解析】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故选：C. 【变式2】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【解析】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故选：A 【变式3】（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：ABC 题型五 双曲线的定义与轨迹方程 答｜题｜模｜板 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【典例1】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【解析】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 【典例2】与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 【变式1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解. 【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 【变式2】已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式3】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【解析】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 题型六 双曲线标准方程的求解 答｜题｜模｜板 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程;(2)待定系数法. 待定系数法求双曲线标准方程： 【典例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解析】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 【典例2】（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【解析】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 【变式1】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【解析】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式2】已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【解析】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【变式3】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【解析】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 题型七 双曲线的离心率问题 答｜题｜模｜板 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法． 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【解析】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 【典例2】已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【解析】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 【变式1】已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该内切圆在上的切点分别为D，E，则有，，， 又，，则，即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A 【变式2】（多选）已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（    ） A．的无最小值 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】求出、，可得出、关于的表达式，结合数列的单调性逐项判断即可. 【解析】因为，曲线的方程为，曲线的方程为， 易知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线， 所以，， 所以随着的增大而增大， 因为，故当时，取最小值，无最大值，AB都错； ， 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，当时，；当时，，且， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 综上所述，的最大值为，无最小值，C错D对. 故选：AD. 【变式3】双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为___________ 【答案】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【解析】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故答案为： 题型八 双曲线中的焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 双曲线的焦点三角形 （1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， （2）焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可得，，在中，由余弦定理可得，最后可利用面积公式求解. 【解析】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形面积以及离心率计算可得结果； （2）设，结合双曲线定义以及勾股定理计算可求得的长，再由正切值定义计算可得. 【解析】（1）设点，由题意知． 则，解得． 由题意知，所以， 所． 所以双曲线的方程为． （2）设，则由双曲线定义得，则． 由勾股定理得，则． 由题意知，代入上式得， 解得或（舍去）， 所以． 【变式1】已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【解析】设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得： ， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则. 故选：A 【变式2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【解析】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 【答案】24 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义可求解. 【解析】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：24. 题型九 抛物线的定义与轨迹方程 答｜题｜模｜板 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据抛物线的定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【典例1】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【解析】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【典例2】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 【变式1】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为， 所以圆的半径为， 所以该圆的方程为. 故选：D. 【变式2】已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【解析】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 【变式3】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 题型十 抛物线标准方程的求解 答｜题｜模｜板 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 【典例1】已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解析】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为 【变式1】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【变式2】请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析出抛物线的开口方向，即可得出满足题意的抛物线的标准方程. 【解析】由题意， 抛物线与直线无公共点， ∴抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为：， 故答案为：.（答案不唯一） 【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1);(2)或;(3) 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 题型十一 抛物线中最值问题 答｜题｜模｜板 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【典例1】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 【典例2】（多选）（已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【解析】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 【变式1】已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解析】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 【变式3】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【解析】 ①由题意得，，设，，， 则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 题型十二 圆锥曲线的中点弦问题 答｜题｜模｜板 椭圆:(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 双曲线:设，， 双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为 抛物线:设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 【典例1】直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【解析】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 【典例2】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【解析】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【变式1】已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【解析】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 【变式2】(多选)已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BCD 【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【解析】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 【变式3】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【解析】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 题型十三 直线与圆锥曲线的位置关系 答｜题｜模｜板 椭圆:直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离 双曲线： 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 抛物线:（1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【解析】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 【典例2】（多选）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求渐近线判断A，利用点到直线的距离判断B，利用直线与双曲线的位置关系，联立的方程利用判别式，判断实数根的方法，即可判断CD. 【解析】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则， 解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误. 故选：AC 【变式1】下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【解析】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 【变式2】（多选）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式3】设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【解析】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 【变式4】在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，转化点到点的距离等于点到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）由点在上，可得，联立方程组，结合，即可求解. 【解析】（1）解：因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 题型十四 圆锥曲线的最值范围问题 答｜题｜模｜板 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 【典例1】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积列式求出，即可求出椭圆的方程. （2）联立直线l与椭圆的方程得到，再利用切割法得到，化简得到，进而利用基本不等式求得面积的最大值. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    【典例2】动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1)或.(2)①；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【解析】（1）依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. （2）①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 【变式1】（多选）已知曲线，则（    ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【解析】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 【变式2】直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为________ 【答案】3 【分析】求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故答案为：3      【变式3】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【解析】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线的斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 【变式4】已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1);(2)证明见解析；;(3) 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； （3）进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值. 【解析】（1）由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． （2） 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． （3）∴面积为， 令，则， 令， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，所以，即， ∴面积的最大值为． 题型十五 圆锥曲线的定值、定点、定线 答｜题｜模｜板 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【解析】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 【典例2】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解析】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【变式1】将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1)；(2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【解析】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 【变式2】已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；，；（ii）存在， 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可； （2）（i）由新定义列出等式求解即可； （ii）设，直线，，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，再由其为定值得到求解即可. 【解析】（1）设椭圆的标准方程为， 依题意，得， 解方程组，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设， 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解方程组，得或， 所以有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为，. （ii）由（i）得，直线的方程为. 假设存在定点，依题意可知直线斜率存在， 设直线，即， 由消去得，， 其中，所以， 设，， ，， 所以 ， 设为定值，则， 当且仅当 解得，， 所以存在定点，使得直线与的斜率之积为定值. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【解析】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解析】由题意可得：， 解得：， 故选：B 2．已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【解析】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 二、多选题 3．设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确； 由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C错误； 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，即方程组无解， 所以以点为直角顶点的不存在； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和， 综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 4．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【解析】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为， 所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确 故选：AD. 5．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【解析】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【解析】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 7．已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【解析】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 8．已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程的定义即可由焦半径求出的值，可得出抛物线的方程，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【解析】抛物线上一点到点的距离为， 由抛物线定义可得，则，所以，抛物线的方程为． 设直线的方程为，设、， 将的方程代入方程整理得， 需满足，解得， 由韦达定理可得， 故，解得，合乎题意， 故直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 9．设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）的面积，解得，即① 把代入椭圆有② ①②联立解得， 故椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程 ，消去得， 因此③， 由于，因此，即， 于是，整理得， 代入③得，即，因此， 因此直线一定过， 由得直线方程为， 联立直线与椭圆方程，消去，解得：， 因此的面积 ； 10．已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由抛物线的性质直接求出即可； （2）由重心坐标公式和中点坐标公式得到中点坐标为，再由点差法得到直线的斜率，然后求出直线方程验证即可； 【解析】（1）由题意得， 抛物线方程为：. （2） 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】    设直线与椭圆的切点为，则切线的方程为． 因为点在直线上，所以， 又因为，即，故，所以． 因为，所以， 所以，所以． 故选：B． 2．椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设点，可得，结合两点间距离公式计算即可得解. 【解析】设，则，可得，其中， 所以， 当时，取得最小值，. 故选：A. 3．已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义及正三角形，结合，即可求出得值，渐近线方程即为. 【解析】如图， 因为是正三角形， 由双曲线的对称性及定义可知，， 所以，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 5．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 6．已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值. 【解析】设点， 联立，消去得， 则， 因为线段的中点的横坐标为4， 所以，即， 设点关于轴的对称点为，则， 所以 ， 解得或. 故选：A. 二、多选题 7．已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦距相同 D．与的离心率互为倒数 【答案】BCD 【分析】将曲线的方程化为标准形式，再结合长轴长的定义，判断A，渐近线的定义判断B，焦距的定义判断C，离心率的定义判断D， 【解析】已知曲线：，：， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 双曲线的长半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，，，，， 选项A，的长轴长为8  ，故A错误； 选项B，的渐近线方程为，故B正确； 选项C，的焦点坐标，  的焦点坐标，与的焦距相同均为4，故C正确； 选项D，的离心率，的离心率，与的离心率互为倒数，故D正确； 故选：BCD. 8．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【解析】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确；    对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 三、填空题 9．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 10．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值. 【解析】如下图所示： 易知点、，直线的方程为， 联立解得，即点， 由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则， 所以，，且直线的斜率为， 由已知，则，则， 所以，，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)；；(2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 12．设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【解析】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【解析】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【解析】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 4．如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 5．设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆和双曲线的定义得到，然后利用余弦定理得出与的关系即可，然后结合的范围即可得出答案. 【解析】 如图，由椭圆和双曲线的定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 代入得， 整理得，同除以得，即， 所以，又， 所以， 故选：B. 二、多选题 6．平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 【答案】ABD 【分析】设点，根据题意求出点的轨迹方程，利用点与曲线的位置关系可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；设，则直线的方程为，与直线方程与曲线方程联立，可求出的取值范围，可判断C选项；由三角函数的定义结合曲线方程可判断D选项. 【解析】设点，则， 整理可得，即， 即曲线的方程为. 对于A选项，因为，即曲线经过点，A对； 对于B选项，在曲线上取点，则点关于原点的对称点为， 则， 所以，曲线关于原点中心对称，B对； 对于C选项，令，则直线的方程为， 联立可得， 可得，则，解得， 所以，没有最大值，C错； 对于D选项，由题意可知，且， 则为定值，D对. 故选：ABD. 三、填空题 7．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【解析】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    8．如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【解析】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 四、解答题 9．已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【解析】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 10．已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，1 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解； （2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解； （ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可. 【解析】（1）由题， 解得，故椭圆方程：； （2）（i）， 当的斜率不存在时，设， 与椭圆方程联立得，， ， 所以，则， 当的斜率存在时，设， 与椭圆方程联立得， 当时，方程两根即为， 由韦达定理，， ，得， ， 点到的距离， 因此， 综上，； （ii）由题直线 由解得， 所以， 所以， 同理 由解得， 故解得， 可得， 故 利用， ， 又因为，所以，所以， 所以 ． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $