专题02 平面解析几何初步（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版

该高中数学平面解析几何初步复习讲义通过表格系统梳理8大核心考点，明确复习目标与考情规律，以“概念+公式+法则+示例+易错点”分层呈现直线和圆模块知识，结合答题模板构建清晰解题框架，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与数学思维培养，如“将军饮马”问题融合对称知识与实际应用，培养几何直观与模型观念，13类题型含典例与变式，基础通关练夯实基础，重难突破练提升推理能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习与能力进阶。

专题02 平面解析几何初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：直线的倾斜角与斜率 掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；掌握过两点的直线斜率公式. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫. 2：直线方程（五种形式） 掌握直线方程适用的条件，熟练互化与求解； 避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系、距离命题. 3：两直线的位置关系；距离公式 掌握两直线的位置关系的判定条件以及距离公式； 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 4：对称问题 掌握点关于线、线关于点、线关于线对称. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合切线、轨迹考查. 5：圆的方程 掌握圆的方程的求法以及应用圆的方程求参. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考基础，为综合题铺垫. 6：直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的位置关系的判定； 会求切线、算弦长，处理含参数问题. 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：圆与圆的位置关系 掌握圆与圆的位置关系的判定； 会求公共弦方程与弦长. 题型：选择/填空）或解答题小问； 难度：基础（40%）、中档（60%）； 特点：高频，侧重判定与公共弦计算. 8：综合应用（最值、轨迹、跨模块） 掌握最值转化方法与求轨迹的基本方法； 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围. 斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）. 截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零. 对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）. 2.核心公式与法则 （1）斜率公式 表达式：过、（），. 示例：求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解 【解析】由题意，当时，倾斜角， 当时，，即倾斜角为锐角； 综上得：． 易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式. （2）直线的五种方程 方程形式 表达式 适用条件 点斜式 斜率存在（不垂直x轴） 斜截式 斜率存在（为纵截距） 两点式 且（不垂直坐标轴） 截距式 且（不过原点、不垂直坐标轴） 一般式 （） 所有直线通用 示例：直线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【分析】由点斜式方程的定义可得答案. 【解析】点斜式方程 易错点：点斜式表示不垂直x轴的直线. （3）两直线位置关系（设，） 平行：且（排除重合）. 垂直：（通用，无需考虑斜率）. 示例：已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【解析】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 易错点：仅用判定平行，没有检验导致错误. （4）距离公式 点到直线：点到的距离. 平行直线间：与的距离（系数需一致）. 示例：若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数. （5）对称问题 ①点关于直线对称（设关于的对称点） 步骤：中点在上+直线. 特殊情况：为时，，；为时，，. ②直线关于点对称 步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程. ③直线关于直线对称 平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求. 相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得. 示例：直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 易错点：忘记所求直线与已知直线平行. 知识点02 圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹. 两种形式：标准式；一般式（需）. 性质：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线. 垂径定理：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）. 2.核心公式与法则 （1）圆的方程 标准式：圆心，半径，. 一般式：圆心，半径. 直径式：端点、，方程，圆心，半径. 示例：若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【解析】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 易错点：忘记.导致错误 （2）弦长公式 表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）. 示例：直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【解析】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 易错点：弦长运用不到位 （3） 切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 示例：若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【解析】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 易错点：忘记开根 （4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距） 位置关系 数量关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）. 示例：已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：相切 【答案】a＝5时，两圆外切；a＝3时，两圆内切； 【分析】要注意相切是指外切和内切两种情况． 【解析】圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． 易错点：不注意两圆相切是指外切和内切两种情况． （4）圆的综合题型 ①最值问题 圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值. 圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值. 过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小. 示例：已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解. 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆， 由，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 故选：B．    易错点：未判别定点与圆的位置关系，导致最值计算错误. ②轨迹问题 分析：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程. 示例：已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，由题意计算即可得. 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为： 易错点：“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征 题型一 直线倾斜角和斜率的关系 答｜题｜模｜板 直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 易错提醒 （1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． （2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． (3) 倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0, π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定． 【典例1】已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【解析】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【典例2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】. 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式1】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【解析】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【解析】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 【变式3】已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【解析】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 题型二 直线方程的五种形式 答｜题｜模｜板 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 易错提醒 (1) 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． (2) 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围，二是要考虑正切函数的单调性． (3) 截距为一个实数，既可为正数，也可以为负数，还可以为零，这是解题容易忽略的一点．关于截距有如下规律： ① 两个截距相等⇔直线的斜率为－1或直线过原点；　 ② 两个截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； ③ 两个截距的绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点； ④ 直线与两坐标轴围成等腰三角形⇔直线的斜率为±1且不过原点． 【典例1】已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【解析】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 【多选题】下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【答案】ACD 【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误. 【解析】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为， 将代入，即，，即得， 所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误. 故选 ：ACD. 【典例2】公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得重心的坐标，确定，垂直平分线确定外接圆圆心即外心坐标，从而可得其欧拉线方程. 【解析】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 【变式1】（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【解析】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 【变式2】已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)，；(2)；(3)．；(4)． 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【解析】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． （2）解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． （3）因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （4）因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 【变式3】已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程． 【解析】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率，又因为的顶点， 所以直线的方程为，即； 所以直线的方程为. （2）解：直线边上的中线所在的直线方程为， 由方程组，解得，所以点， 设点，则的中点在直线上，所以，即， 又点在直线上，，解得，所以， 所以的斜率，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 题型三 两直线的位置关系，三个距离公式 答｜题｜模｜板 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 3．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 4．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 5．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 6．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 易错提醒 (1) 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． (2) 用两条平行直线间的距离公式时，要将两直线方程中x, y的系数分别化为相等． (3) 求解两条平行直线的距离也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． 【典例1】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】（1）A；（2）A 【分析】（1）首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件；（2）分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解析】（1）当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （2）当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【典例2】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可设，，即可表示出点，利用计算可得，即可得，即可得直线的方程； （2）将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出，从而可得其最小值. 【解析】（1）由题意可设，，，，则， 若，则有，化简得， 故，，即， 故直线的方程为，即； （2）由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 【变式1】已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【解析】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 【变式2】已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或；(2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【解析】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 【变式3】（多选）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是正确的是（　　） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 【答案】ABD 【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的方程的性质以及恒成立问题的应用判断、、、的结论． 【解析】对于A，当，时，直线系方程为，原点到直线的距离， 故存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等，故A正确； 对于B，当时，直线系方程为，直线经过定点， 当，，时，直线方程化为，显然不过第三象限， 当或或，直线，也不过第三象限， 所以直线不过第三象限，故B正确； 对于C，当时，直线系为，原点到直线系中所有直线的距离， 当时，则直线系为， 则原点到直线的距离，故C错误； 对于D，当，时，直线系为，设,， 则点到直线系中所有直线的距离， 设，,， 因为，则， 所以再,上，恒成立，则可得 故，故D正确 故选：ABD． 题型四 直线方程的对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于直线的对称点 1.列方程组： 中点在上：； 连线：（斜率乘积=-1的一般式）； 2.解方程组得. （2）直线关于直线的对称直线 1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）； 2.分别求关于的对称点； 3.联立坐标，用两点式写出的方程. 易错提醒 (1) 解决点关于直线对称问题要把握两点：若点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直． (2) 如果直线或点关于点成中心对称，那么只需运用中点公式就可解决问题． (3) 若直线l1, l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上． 【典例1】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【典例2】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 【答案】5 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 【变式1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解析】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 【变式2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解析】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为 【变式3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1).；(2).；(3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【解析】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 题型五 求圆的方程 答｜题｜模｜板 求圆的方程的两种方法 ① 直接法：根据圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程． ② 待定系数法： a. 根据题意选择标准方程或一般方程； b. 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组(一般是3个方程)； c. 解出a, b, r或D, E, F，代入标准方程或一般方程． (2) 确定圆心位置的方法 ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上． ② 圆心在圆的任意弦的垂直平分线(三角形外接圆的圆心在该三角形边的中垂线)上． ③ 两圆相切时，切点与两圆圆心共线． ④ 两圆相交时，两圆圆心在公共弦的中垂线上． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质能有效简化运算． 易错提醒 ① 注意问题成立的前提条件：解决圆的方程问题的关键是“圆心”和“半径”．对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则易造成增解；对于求两圆的公共弦所在直线，一定要先确定两圆的位置关系是相交． ② 注意情况分析清楚：有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，由于决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生．利用几何关系判断的时候，会忽视对称的情况，从而造成漏解． ③ 注意结论是否能够成立：得出结论后要注意检验，在某些情况下得出结论不一定符合题目的条件． 【典例1】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据 M，N 两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可； （2）将A,B,C 三点坐标代入圆方程求解未知数即可； 【解析】（1）设圆的一般方程为， 其中,圆心坐标为, 因为圆心在直线上且过两点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； （2）设圆的一般方程为， 其中, 因为经过三点， 所以， 解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为； 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【解析】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 【变式1】圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解析】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 【变式2】已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【解析】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式3】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意确定圆心在直线上，再确定圆心在直线的垂直平分线上，联立求得圆心，可得半径，即可求得答案； （2）由题意确定圆心在直线上，再确定圆心在在上，联立求得圆心，可得半径，即可求得答案； 【解析】（1）由题意知，圆上，故圆心在直线上， 又直线的斜率为，故其垂直平分线方程为， 令得，即圆心为，则半径为 ， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）可知，圆心在的垂直平分线上， 又因为，则圆心在上， 联立 ，由于圆心在第二象限，解得，（舍去）， 故圆心为，则半径为 故圆的标准方程为； 题型六 与圆有关的最值问题 答｜题｜模｜板 （1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离） 1.求圆心到直线（或定点）的距离； 2.最值公式： 最大值：； 最小值：； （2）斜率型最值（如） 3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式； 4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值. （3）截距型最值（如） 1.转化为直线方程：； 2.直线与圆有交点→圆心到直线距离； 3.列不等式→解关于的不等式； 4.得到的最值（边界值）. 【典例1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为－；（2）最大值为－2＋，最小值为－2－；（3）最大值为7＋4，最小值为7－4 【分析】（1）转化为直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值求解即可； 直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值求解即可；（3）x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方求解即可。 【解析】 原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值， 此时＝，解得k＝±， 故的最大值为，最小值为－. 设y－x＝b，即y＝x＋b， 则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值， 此时＝，解得b＝－2±， 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 【典例2】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【答案】ACD 【分析】由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程．由圆心到直线的距离可判断A和B；令z＝x＋y，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D. 【解析】由AB＝AC可得△ABC的外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线， 由点B(－1, 3)，点C(4, －2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率kBC＝＝－1， 所以线段BC的垂直平分线的斜率为1， 从而线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0. 又圆M: (x－3)2＋y2＝r2的圆心坐标为(3, 0)，半径为r， 所以点(3, 0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r， 所以圆M: (x－3)2＋y2＝2. 对于A和B，圆M的圆心(3, 0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误． 对于C，令z＝x＋y，即x＋y－z＝0.当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3, 0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确． 对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8的圆心坐标为(a＋1, a)，半径为2.若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋，即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确 【变式1】（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【解析】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 【变式2】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，然后根据可表示点与点连线斜率，利用数形结合法求解. 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离，解得或， 又，所以，当直线经过点时，， 综上 故选：B. 【变式3】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以， 由平行线的几何性质知的轨迹为平行于且与等距离的直线， 故直线方程为， 又点在圆上及圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段，如图， 即原点和距离的平方．由图可知，，，， 故答案为： 题型七 圆中的弦长问题 答｜题｜模｜板 （1） 求弦长 代数法：直线y＝kx＋b与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2相交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点，联立消去y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2, x1x2，则弦长AB＝. 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2. 步骤： 1.确定圆的圆心和半径； 2.求圆心到直线的距离（直线为）； 3.验证相交条件：（若则无弦长）； 4.代入弦长公式：→计算结果. （2）弦长的最值 1.分析的取值范围： 固定圆与动直线：的最值由直线位置决定（如过定点的直线，为圆心到定点距离，）； 固定直线与动圆：为定值，变化时弦长随变化； 2.弦长与成反比： 最大值：时，（直径）； 最小值：时，. 【典例1】已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【解析】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故答案为： 【典例2】已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【解析】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 【变式1】已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为（　　） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】结合直线与圆相交所得弦长、直线过定点、两直线的位置关系等知识求得的值. 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 直线过定点，且点在圆内． 当直线时，圆心到直线的距离最大，弦最短． 因为直线的斜率，所以． 故选：C． 【变式2】（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【解析】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 【变式3】已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线过定点可得点的坐标，从而可得点的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】直线的方程可化为， 令，解得，所以点的坐标为， 又圆的圆心与点关于直线对称，则， 设圆的方程为， 且圆的圆心到直线的距离为， 又，则. 即圆的半径为. 故答案为：. 题型八 圆中的切线问题 答｜题｜模｜板 (1) 圆O的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)，点M(x0, y0)．　 若点M在圆O上，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝r2； 若点M在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相交； 若点M在圆O内，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相离． *(2) 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0, y0)引切线，切点为T，切线长公式为MT＝. 求圆的切线方程 (3) 求过圆上一点(x0, y0 )的圆的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切线方程为y＝y0.当斜率存在时，设为k.若k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求切线的方程为y＝－(x－x0)＋y0；若k＝0，则切线的方程为x＝x0. (4) 求过圆外一点(x0, y0)的圆的切线方程 ① 几何法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．若切线的斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. ② 代数法：当斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，则切线方程 【典例1】已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在点或，使为正三角形 【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程； （2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果； （3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标 【解析】（1）设圆心坐标为，则，解得：， 圆的半径， 圆的方程为：. （2）为直角三角形，，， 则圆心到直线的距离； 当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离； 当直线斜率存在时，可设，即， ，解得：， ，即； 综上所述：直线的方程为或. （3）假设在直线存在点，使为正三角形，，， 设，，解得：或， 存在点或，使为正三角形. 【典例2】已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【解析】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 【变式1】已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则___________ 【答案】 【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解. 【解析】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知, 所以. 故答案为： 【变式2】已知是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是，则k的值为__________． 【答案】 【分析】先由圆的方程求出圆的半径，而由圆的性质知：，当直线垂直于直线时，四边形的面积最小，即可求出切线长，从而得到是圆心到直线的距离，即可得到的值． 【解析】圆的圆心，半径， 由圆的性质知：，因为，是切线长， 而，所以当直线垂直于直线时， 四边形的面积最小，此时， 圆心到直线的距离就是的最小值，即，而， 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【解析】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 题型九 圆上的点到某直线距离为定值的点的个数问题 答｜题｜模｜板 圆上到原直线距离为的点的个数，等于两条平行直线与圆的交点总数，结合直线与圆的位置关系（相交→2个点；相切→1个点；相离→0个点），对应不同情况： 若点的个数为2：需一条平行线与圆相交、另一条相离，即； 若点的个数为1：需一条平行线与圆相切、另一条相离，即或； 若点的个数为4：需两条平行线均与圆相交，即； 若点的个数为0：需两条平行线均与圆相离，即. 【典例1】已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，求实数a的取值范围． 【答案】(－15, 1) 【分析】将圆的方程化为标准形式，写出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再结合图形求解． 【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，所以圆心为C(1, 2)，半径r＝(a＜10)，从而圆心到已知直线的距离d＝＝4. 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为1， 所以圆的半径在4－1与4＋1之间， 即3＜＜5，解得－15＜a＜1， 因此，实数a的取值范围是(－15, 1)． 【典例2】圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【解析】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 【变式1】若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，分直线与圆的位置为相离、相切与相交三种情况，建立不等式，可得答案. 【解析】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【变式2】已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 【答案】26 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【解析】因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：26． 【变式3】若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【解析】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 题型十 直线和圆的实际问题 答｜题｜模｜板 1.建模： 确定原点、坐标轴，将实际中的定点（如车站、障碍物中心）转化为坐标； 将实际条件（如“距离不超过”“最短路径”）转化为圆的方程（定点+半径）、直线方程（路径）； 2.求解： 利用前面的模板（如距离最值、位置关系判定）计算几何量； 3.还原： 将几何结果转化为实际问题的答案（如长度、位置、方案）. 【典例1】如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1)；(2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【解析】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 【变式1】为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)； (2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离； （2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长. 【解析】（1）由题意得，∴； （2）设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到. 所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：. 设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：， 圆心（6，8）到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时. 即在安全警示区内行驶时长为半小时. 【变式2】某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【解析】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 题型十一 直线和圆相交的定点定值问题 答｜题｜模｜板 （1）定点问题（直线过定点，与参数无关） 1.设含参数的直线方程（如）； 2.整理为“参数×（系数）+不含参数项=0”的形式：； 3.令参数系数和常数项均为0：； 4.解得定点坐标（与无关），验证该点是否在圆内（保证相交）. （2）定值问题（如斜率之积、距离之和为定值） 1.设直线与圆的交点为、，联立直线与圆的方程； 2.消去（或）得关于（或）的一元二次方程，写出韦达定理、； 3.化简目标表达式（如），代入韦达定理； 4.消去参数，证明结果为常数. 【典例1】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【解析】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）设，由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 【典例2】若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）直线过定点 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【解析】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【变式1】已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解； （2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证. 【解析】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）解：设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0 【变式2】已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得； （2）圆问题可转化为在轴上是否存在点，使，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【解析】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 【变式3】已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. (1)求的方程； (2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②存在， 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【解析】（1）由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上， ，解得：，即圆心为， 圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为， 由已知 所以，所以圆的标准方程为； （2）设，则， 由得：，所以 D在圆上运动， 整理可得点T的轨迹方程为： 当直线轴时，轴平分， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式， 设，，， 若轴平分，则，所以， 又，， 所以， 所以， 所以 所以 解得， 当时，能使轴平分. 题型十二 圆和圆的位置关系问题 答｜题｜模｜板 （1）判定圆与圆的位置关系 (1) 几何法：若两圆的半径分别为r1, r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判别方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 r1－r2< d<r1＋r2 d＝r2－r1 d<r2－r1 (2) 代数法：设两圆的一般方程为 C1: x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，　 C2: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，　 联立则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相切 内切或外切 内含或外离 （2）求共切线方程 ①外公切线方程（两圆同侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设外公切线斜率为，方程为（一般式：）； 2.列距离方程（圆心到切线距离=半径）： ； 3.消去，得、； 4.解方程组求和（可能有两解，对应两条外公切线）； 5.补充斜率不存在的情况：若直线满足到两圆心距离等于半径，纳入外公切线. ②内公切线方程（两圆异侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设内公切线斜率为，方程为； 2.列距离方程（与外公切线形式相同，但符号相反，因内公切线在两圆之间）： （解方程时注意绝对值内符号相反）； 3.解方程组求和（外离时两解，外切时一解）； 4.补充斜率不存在的内公切线（若存在）. 【典例1】已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【解析】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 【典例2】（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【解析】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 【变式1】已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 【答案】3 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【解析】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故答案为:3 【变式2】已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【解析】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 【变式3】写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 【答案】（，，，任选一个答案均可） 【分析】设切线方程为，由直线与两相切可得①，②，联立求解即可得答案. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为1， 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是，， 故①，②， 联立①②解得或或或， 所以直线方程有4条，分别为或或或． 故答案为：（或或或任选一个答案均可）． 题型十三 隐圆问题 答｜题｜模｜板 隐圆常见类型： 类型1：定点定长（动点到定点距离为定值）→圆：； 类型2：圆周角为直角（，A、B为定点）→圆：以为直径，圆心为中点，半径； 类型3：距离比为定值（，，A、B为定点）→圆（阿波罗尼斯圆）：设坐标列方程化简得标准式； 类型4：向量条件（如）→直角圆周角圆；（常数）→平方化简得圆； 【典例1】已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【解析】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 【典例2】已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为______________ 【答案】 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【解析】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， 因为，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，即， 解得.   综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 【变式1】阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接法可得点的轨迹方程，即可得点到直线的距离的取值范围，即可得面积的最值. 【解析】    如图所示，以中点为坐标原点，方向为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，， 设，则，， 由动点与，距离之比为， 则， 化简可得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以当，，不共线时，点到直线的距离， 则， 即面积的最大值为， 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是___________ 【答案】 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【解析】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式3】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】A 【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误. 【解析】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确； B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确； C选项，当时，无意义，故C不正确； D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 二、多选题 3．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【解析】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 4．已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为6 【答案】BD 【分析】利用配方法，结合换元法、一元二次方程根的判别式逐一判断即可, 【解析】A：， 因此该圆的半径为，所以本选项不正确； B：因为点是圆：上的动点， 所以， 设代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以， 因此的最大值为，所以本选项正确； C：由B可知：， ， 由A可知：， 因为点在圆上，所以，于是 ，其中， 显然的最小值为，所以本选项不正确； D：由B可知：， 令，代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以，因此的最大值为6， 所以本选项正确， 故选：BD 5．已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【解析】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC 三、填空题 6．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 故答案为：或． 7．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程． 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 设所求圆的半径为，可得或， 解得或，所求圆的方程为或. 故答案为：或 8．已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】分析给定条件的几何关系，求出的轨迹方程，再利用圆的性质求出最大值. 【解析】圆的圆心，半径， 由，得，而为中点，则， ，于是，设， 因此，整理得， 即点在以为圆心，半径为的圆上，则， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题 9．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1);(2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【解析】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 10．的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【解析】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【解析】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【解析】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 3．已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【解析】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 4．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由PA⊥AC，PB⊥BC可知点A、B在以PC为直径的圆上，设点P坐标，写出以PC为直径的圆的方程，然后可得直线AB方程，再由直线方程可确定所过定点. 【解析】根据题意，P为直线l：上的动点，设P的坐标为， 过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PA⊥AC，PB⊥BC， 则点A、B在以PC为直径的圆上， 又由C（0，0），，则以PC为直径的圆的方程为：， 变形可得：， 则有，联立可得：，变形可得：， 即直线AB的方程为， 变形可得：，则有，解可得，故直线AB过定点. 故选：A． 5．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值. 【解析】∵过圆C: 外一点向圆C引两条切线， 切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以， 所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆， 圆心到直线的距离， 所以点P到直线的最短距离为， 故选：B 6．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 二、多选题 7．已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 【答案】AC 【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可. 【解析】对A，若，则，解得，故A正确； 对B，若，则且，解得，故B错误； 对C，因为，则过定点， 所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确； 对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以， 而，所以，此时直线的斜率为， 所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在， 即，由得， 所以，得到，解得， 当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误. 故选：AC. 8．已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D. 【解析】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确； 设的中点为，则 因为，所以， 即线段的中点的轨迹方程为，故B正确； 圆心，半径为，当时，直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确； 设关于直线的对称点为，则解得即， 因为，所以， 所以的最小值为，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 9．若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【解析】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 10．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为 ．（写出1个即可） 【答案】7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可） 【分析】连接，由题意可知圆与y轴切于点，则可得，所以将的周长的周长转化为，所以只要求出的范围，就可得到的周长的范围，从而可得答案. 【解析】连接， 圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径，则圆与y轴切于点， 因为直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点， 所以， 所以的周长为 ， 由图可知，所以，即， 所以，所以，所以， 所以， 所以的周长的范围为， 所以的周长能取得的整数值为7，或8，或9，或，10，或11， 故答案为：7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）    四、解答题 11．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）的直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点. (1)求圆M的方程； (2)是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，方程为 【分析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解； （2）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得. 【解析】（1）∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a）， ∴圆M的圆心为M（a，a），半径. 又圆心M在直线上， ∴，解得. ∴圆M的方程为：. （2）方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点. 又∵，∴. 又∵直线MP的斜率为， ∴直线AB的斜率为-. ∴. ∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分. 方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，， ∴此时点P不平分AB. 当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB. ∵点A､B是圆M上的点，设，. ∴ 由点差法得. 由点P是弦AB的中点，可得， ∴. ∴ ∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分. 12．已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值； （3）由（2）得，直线：，画出图形，可知所求圆的圆心，联立直线方程求得圆心坐标，再求出所求圆的半径，则圆的标准方程可求． 【解析】（1）由直线l：，得， 联立解得 ∴直线l恒过一定点． （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM， 化圆C：为，可得， 则， ∴，解得． （3）由（2）得，直线：，即．    如图，过C与直线垂直的直线方程为，即． 联立解得 而C到直线的距离， ∴所求圆的半径为． 故圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列式可解得结果. 【解析】因为方程表示的曲线是圆， 所以，即， 解得. 故选：D 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解. 【解析】直线过定点， 直线过定点， 且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 故圆心是，半径为则点的方程是 令，因为， 所以， 则 所以，可得点 则.      4．已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则2 【答案】B 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【解析】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：B 5．已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（  ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出△ABC的高的最小值，即可求解. 【解析】圆的圆心，半径为1 ∵，则，直线 圆心到直线的距离 ∵△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径 ∴边上高的最小值为，则的最小值为 故选：D. 二、多选题 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 【答案】ABC 【分析】根据两点的距离公式表示，化简计算即可判断A；根据点与圆的位置关系计算即可判断B；根据和两点求距离公式求出点M的轨迹方程，结合圆与圆的位置关系计算即可判断C；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【解析】对于A，设点， ，，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对于B，的圆心，半径， 点到圆心的距离， 圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为3，故B正确； 对于C，设点，，则， 整理得，点M的轨迹方程为， 即M是以为圆心，半径的圆， 又，两圆内含，没有公共点， 在上不存在点，使得，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 上的点到直线的最小距离为，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1与圆O：x2+y2＝1相切于点A，过点B（1，0）作直线l2垂直l1，垂足为M，则点M横坐标的最大值为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，写出切线方程，同时可以写出的方程，联立两直线方程解出交点的横坐标，根据点横坐标的取值范围可得点横坐标的最大值. 【解析】设，当时，， 可得．（时也满足）…①， 直线…② 由①②可得． ∵， ∴当时，取得最大值． 故答案为：. 8．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 【答案】x=1或5x+12y+13=0 【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程． 【解析】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1， 所以, 故， 所以直线满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 故， 因为， 所以， 整理得，解得或． 当时，则，解得； 当时，则，此方程无解． 故直线方程为，即． 综上可得所求直线方程为或． 故答案为或． 四、解答题 9．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1);(2)不存在，理由见解析;(3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【解析】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 10．已知圆，点. (1)求过点G并与圆C相切的直线方程； (2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）设切线方程为，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案； （2）的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，所求的最小值即求的最小值，设，则，由，转化为到和的距离的最小值减去1，结合图象可得答案. 【解析】（1）圆， 由已知过点的切线的斜率存在，设其切线方程为， 所以圆心到切线的距离为，解得或， 所以切线方程为或， 即或. （2） 的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值， 所以求即求的最小值， 设，则， 所以， 可看作到和的距离的最小值减去1， 取点关于原点对称的点，连接， 此时的长度最小即最小，且， 所以的最小值为， 此时直线的方程为，即. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面解析几何初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：直线的倾斜角与斜率 掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；掌握过两点的直线斜率公式. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫. 2：直线方程（五种形式） 掌握直线方程适用的条件，熟练互化与求解； 避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合位置关系、距离命题. 3：两直线的位置关系；距离公式 掌握两直线的位置关系的判定条件以及距离公式； 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，距离公式应用极广. 4：对称问题 掌握点关于线、线关于点、线关于线对称. 题型：选择/填空或解答题小问； 难度：中档题； 特点：高频，结合切线、轨迹考查. 5：圆的方程 掌握圆的方程的求法以及应用圆的方程求参. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考基础，为综合题铺垫. 6：直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的位置关系的判定； 会求切线、算弦长，处理含参数问题. 题型：选择/填空或解答题； 难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：圆与圆的位置关系 掌握圆与圆的位置关系的判定； 会求公共弦方程与弦长. 题型：选择/填空）或解答题小问； 难度：基础（40%）、中档（60%）； 特点：高频，侧重判定与公共弦计算. 8：综合应用（最值、轨迹、跨模块） 掌握最值转化方法与求轨迹的基本方法； 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合. 知识点01 直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围. 斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）. 截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零. 对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）. 2.核心公式与法则 （1）斜率公式 表达式：过、（），. 示例：求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围． 易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式. （2）直线的五种方程 方程形式 表达式 适用条件 点斜式 斜率存在（不垂直x轴） 斜截式 斜率存在（为纵截距） 两点式 且（不垂直坐标轴） 截距式 且（不过原点、不垂直坐标轴） 一般式 （） 所有直线通用 示例：直线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 （3）两直线位置关系（设，） 平行：且（排除重合）. 垂直：（通用，无需考虑斜率）. 示例：已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 易错点：仅用判定平行，没有检验导致错误. （4）距离公式 点到直线：点到的距离. 平行直线间：与的距离（系数需一致）. 示例：若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数. （5）对称问题 ①点关于直线对称（设关于的对称点） 步骤：中点在上+直线. 特殊情况：为时，，；为时，，. ②直线关于点对称 步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程. ③直线关于直线对称 平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求. 相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得. 示例：直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 易错点：忘记所求直线与已知直线平行. 知识点02 圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点） 1.核心概念 定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹. 两种形式：标准式；一般式（需）. 性质：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线. 垂径定理：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）. 2.核心公式与法则 （1）圆的方程 标准式：圆心，半径，. 一般式：圆心，半径. 直径式：端点、，方程，圆心，半径. 示例：若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错点：忘记.导致错误 （2）弦长公式 表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）. 示例：直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 易错点：弦长运用不到位 （3） 切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 示例：若从点引圆的切线，则切线长是 ． 易错点：忘记开根 （4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距） 位置关系 数量关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）. 示例：已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：相切 易错点：不注意两圆相切是指外切和内切两种情况． （4）圆的综合题型 ①最值问题 圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值. 圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值. 过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小. 示例：已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 易错点：未判别定点与圆的位置关系，导致最值计算错误. ②轨迹问题 分析：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程. 示例：已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 易错点：“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征 题型一 直线倾斜角和斜率的关系 答｜题｜模｜板 直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 易错提醒 （1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． （2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． (3) 倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0, π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定． 【典例1】已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式1】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二 直线方程的五种形式 答｜题｜模｜板 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 易错提醒 (1) 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． (2) 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围，二是要考虑正切函数的单调性． (3) 截距为一个实数，既可为正数，也可以为负数，还可以为零，这是解题容易忽略的一点．关于截距有如下规律： ① 两个截距相等⇔直线的斜率为－1或直线过原点；　 ② 两个截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； ③ 两个截距的绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点； ④ 直线与两坐标轴围成等腰三角形⇔直线的斜率为±1且不过原点． 【典例1】已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【多选题】下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【典例2】公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 【变式3】已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程． 题型三 两直线的位置关系，三个距离公式 答｜题｜模｜板 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 3．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 4．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 5．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 6．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 易错提醒 (1) 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． (2) 用两条平行直线间的距离公式时，要将两直线方程中x, y的系数分别化为相等． (3) 求解两条平行直线的距离也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． 【典例1】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【典例2】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【变式1】已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【变式2】已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【变式3】（多选）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是正确的是（　　） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 题型四 直线方程的对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于直线的对称点 1.列方程组： 中点在上：； 连线：（斜率乘积=-1的一般式）； 2.解方程组得. （2）直线关于直线的对称直线 1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）； 2.分别求关于的对称点； 3.联立坐标，用两点式写出的方程. 易错提醒 (1) 解决点关于直线对称问题要把握两点：若点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直． (2) 如果直线或点关于点成中心对称，那么只需运用中点公式就可解决问题． (3) 若直线l1, l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上． 【典例1】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【典例2】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 【变式1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【变式2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【变式3】已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 题型五 求圆的方程 答｜题｜模｜板 求圆的方程的两种方法 ① 直接法：根据圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程． ② 待定系数法： a. 根据题意选择标准方程或一般方程； b. 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组(一般是3个方程)； c. 解出a, b, r或D, E, F，代入标准方程或一般方程． (2) 确定圆心位置的方法 ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上． ② 圆心在圆的任意弦的垂直平分线(三角形外接圆的圆心在该三角形边的中垂线)上． ③ 两圆相切时，切点与两圆圆心共线． ④ 两圆相交时，两圆圆心在公共弦的中垂线上． 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质能有效简化运算． 易错提醒 ① 注意问题成立的前提条件：解决圆的方程问题的关键是“圆心”和“半径”．对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则易造成增解；对于求两圆的公共弦所在直线，一定要先确定两圆的位置关系是相交． ② 注意情况分析清楚：有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，由于决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生．利用几何关系判断的时候，会忽视对称的情况，从而造成漏解． ③ 注意结论是否能够成立：得出结论后要注意检验，在某些情况下得出结论不一定符合题目的条件． 【典例1】求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线上且过两点的圆的方程； （2）经过三点的圆的方程． 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【变式1】圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【变式3】已知圆与轴正半轴和轴正半轴分别交于两点，圆心在第二象限. （1）若圆与轴的另一个交点坐标为，求圆的标准方程； （2）若，求圆的标准方程. 题型六 与圆有关的最值问题 答｜题｜模｜板 （1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离） 1.求圆心到直线（或定点）的距离； 2.最值公式： 最大值：； 最小值：； （2）斜率型最值（如） 3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式； 4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值. （3）截距型最值（如） 1.转化为直线方程：； 2.直线与圆有交点→圆心到直线距离； 3.列不等式→解关于的不等式； 4.得到的最值（边界值）. 【典例1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求： (1) 的最大值和最小值； (2) y－x的最大值和最小值； (3) x2＋y2的最大值和最小值． 【典例2】（多选）瑞士著名数学家欧拉提出定理：任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，作△ABC, AB＝AC＝4，点B(－1, 3), C(4, －2)，且其“欧拉线”与圆M: (x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论中正确的有( ) A. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最小为2 B. 圆M上的点到直线x－y＋3＝0的距离最大为3 C. 若点(x, y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D. 若圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则实数a的取值范围是[1－2， 1＋2] 【变式1】（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式2】设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 题型七 圆中的弦长问题 答｜题｜模｜板 （1） 求弦长 代数法：直线y＝kx＋b与圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2相交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点，联立消去y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2, x1x2，则弦长AB＝. 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2. 步骤： 1.确定圆的圆心和半径； 2.求圆心到直线的距离（直线为）； 3.验证相交条件：（若则无弦长）； 4.代入弦长公式：→计算结果. （2）弦长的最值 1.分析的取值范围： 固定圆与动直线：的最值由直线位置决定（如过定点的直线，为圆心到定点距离，）； 固定直线与动圆：为定值，变化时弦长随变化； 2.弦长与成反比： 最大值：时，（直径）； 最小值：时，. 【典例1】已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为 ． 【典例2】已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为（　　） A．2 B． C． D．-2 【变式2】（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【变式3】已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 题型八 圆中的切线问题 答｜题｜模｜板 (1) 圆O的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)，点M(x0, y0)．　 若点M在圆O上，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝r2； 若点M在圆O外，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相交； 若点M在圆O内，则直线x0x＋y0y＝r2与圆O的位置关系是相离． *(2) 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0, y0)引切线，切点为T，切线长公式为MT＝. 求圆的切线方程 (3) 求过圆上一点(x0, y0 )的圆的切线方程 先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切线方程为y＝y0.当斜率存在时，设为k.若k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求切线的方程为y＝－(x－x0)＋y0；若k＝0，则切线的方程为x＝x0. (4) 求过圆外一点(x0, y0)的圆的切线方程 ① 几何法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．若切线的斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. ② 代数法：当斜率存在时，设为k，则切线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，则切线方程 【典例1】已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程； （3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【典例2】已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则___________ 【变式2】已知是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是，则k的值为__________． 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 题型九 圆上的点到某直线距离为定值的点的个数问题 答｜题｜模｜板 圆上到原直线距离为的点的个数，等于两条平行直线与圆的交点总数，结合直线与圆的位置关系（相交→2个点；相切→1个点；相离→0个点），对应不同情况： 若点的个数为2：需一条平行线与圆相交、另一条相离，即； 若点的个数为1：需一条平行线与圆相切、另一条相离，即或； 若点的个数为4：需两条平行线均与圆相交，即； 若点的个数为0：需两条平行线均与圆相离，即. 【典例1】已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，求实数a的取值范围． 【典例2】圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 【变式3】若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 题型十 直线和圆的实际问题 答｜题｜模｜板 1.建模： 确定原点、坐标轴，将实际中的定点（如车站、障碍物中心）转化为坐标； 将实际条件（如“距离不超过”“最短路径”）转化为圆的方程（定点+半径）、直线方程（路径）； 2.求解： 利用前面的模板（如距离最值、位置关系判定）计算几何量； 3.还原： 将几何结果转化为实际问题的答案（如长度、位置、方案）. 【典例1】如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【变式1】为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【变式2】某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 题型十一 直线和圆相交的定点定值问题 答｜题｜模｜板 （1）定点问题（直线过定点，与参数无关） 1.设含参数的直线方程（如）； 2.整理为“参数×（系数）+不含参数项=0”的形式：； 3.令参数系数和常数项均为0：； 4.解得定点坐标（与无关），验证该点是否在圆内（保证相交）. （2）定值问题（如斜率之积、距离之和为定值） 1.设直线与圆的交点为、，联立直线与圆的方程； 2.消去（或）得关于（或）的一元二次方程，写出韦达定理、； 3.化简目标表达式（如），代入韦达定理； 4.消去参数，证明结果为常数. 【典例1】已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【典例2】若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式1】已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 【变式2】已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. (1)求的方程； (2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 题型十二 圆和圆的位置关系问题 答｜题｜模｜板 （1）判定圆与圆的位置关系 (1) 几何法：若两圆的半径分别为r1, r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判别方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1, r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 r1－r2< d<r1＋r2 d＝r2－r1 d<r2－r1 (2) 代数法：设两圆的一般方程为 C1: x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，　 C2: x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，　 联立则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相切 内切或外切 内含或外离 （2）求共切线方程 ①外公切线方程（两圆同侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设外公切线斜率为，方程为（一般式：）； 2.列距离方程（圆心到切线距离=半径）： ； 3.消去，得、； 4.解方程组求和（可能有两解，对应两条外公切线）； 5.补充斜率不存在的情况：若直线满足到两圆心距离等于半径，纳入外公切线. ②内公切线方程（两圆异侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径） 1.设内公切线斜率为，方程为； 2.列距离方程（与外公切线形式相同，但符号相反，因内公切线在两圆之间）： （解方程时注意绝对值内符号相反）； 3.解方程组求和（外离时两解，外切时一解）； 4.补充斜率不存在的内公切线（若存在）. 【典例1】已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【典例2】（多选）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【变式1】已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 【变式2】已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【变式3】写出与圆和圆都相切的一条切线方程_______． 题型十三 隐圆问题 答｜题｜模｜板 隐圆常见类型： 类型1：定点定长（动点到定点距离为定值）→圆：； 类型2：圆周角为直角（，A、B为定点）→圆：以为直径，圆心为中点，半径； 类型3：距离比为定值（，，A、B为定点）→圆（阿波罗尼斯圆）：设坐标列方程化简得标准式； 类型4：向量条件（如）→直角圆周角圆；（常数）→平方化简得圆； 【典例1】已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【典例2】已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为______________ 【变式1】阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为，动点与，距离之比为，当，，不共线时，面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是___________ 【变式3】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 2．已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 二、多选题 3．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 4．已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为6 5．已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 三、填空题 6．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 7．以点为圆心，且与圆相切的圆的方程是 ． 8．已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为 . 四、解答题 9．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 10．的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB过定点（    ） A． B． C． D． 5．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 8．已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 三、填空题 9．若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 10．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为 ．（写出1个即可） 四、解答题 11．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）的直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点. (1)求圆M的方程； (2)是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由. 12．已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若方程表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则2 5．已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（  ） A． B．3 C．2 D． 二、多选题 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（   ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3 C．在C上不存在点M，使得 D．C上的点到直线的最小距离为1 三、填空题 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1与圆O：x2+y2＝1相切于点A，过点B（1，0）作直线l2垂直l1，垂足为M，则点M横坐标的最大值为 ． 8．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 10．已知圆，点. (1)求过点G并与圆C相切的直线方程； (2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $