专题06 二次函数（期末复习知识清单，6知识+12常考&5易错题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学二次函数专题知识清单系统整合了6大核心知识模块、12类典型题型及5个易错点，以“知识清单+题型突破+易错警示”的三层架构，构建了从概念性质到实际应用的递进式学习支架。 清单通过表格对比（如增减性与系数关系表）、变式训练（每种题型含例1及3个变式）、易错辨析（如概念辨析题型）呈现知识体系，培养抽象能力与推理意识。如“最值与增减性”表格直观区分a的符号影响，“实物建模问题”结合三孔桥水流情境培养模型意识，助力学生自主梳理知识，教师精准设计教学活动。

专题06 二次函数（6知识&12题型&5易错） 【清单01】二次函数的性质 形如 的函数 【清单02】二次函数的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 【清单03】二次函数的最值和增减性问题 — 开口方向和最大(小)值 增减性 x＞－ x＝－ x<－ a＞0 开口 ，有 y随x的增大而 y取到最 值 y随x的增大而 a＜0 开口 ，有 y随x的增大而 y取到最 值 y随x的增大而 【清单04】二次函数图象的平移 将抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)平移m(m＞0)个单位长度： ①向左平移，得 ； ②向右平移，得 ； ③向上平移，得 ； ④向下平移，得 . 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 (1)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与 (2)b2−4ac＞0抛物线与x轴有 方程ax2＋bx＋c＝0有 的实数根 (3)b2−4ac＝0抛物线与x轴有 方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 (4)b2−4ac＜0抛物线与x轴 方程ax2＋bx＋c＝0 【清单06】二次函数图象与系数的关系 系数与判别式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b＝0 对称轴为 y轴  ab>0 对称轴在y轴 ab<0 对称轴在 y轴 c c＝0 经过原点 c>0 与y轴 相交 c<0 与y轴 相交 【题型一】一般式图象和性质 【例1】已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 【变式1-1】已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． … 0 1 3 … … 0 6 … 【变式1-2】已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a； (3)点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 【题型二】二次函数与坐标轴的交点问题 【例1】已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象． 【变式1-1】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围为________． 【变式1-2】二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 【题型三】二次函数图象的平移问题 【例1】抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点，连线）； (3)这个二次函数图象经过怎样的平移运动，可以过原点． … … … … 【变式1-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 【题型四】二次函数对称性的应用 【例1】二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 二次函数图象的对称轴为对应的函数值．则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若抛物线与 x 轴的一个交点是，则该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若抛物线经过点，四个点，则m 的值为 ． 【题型五】函数图象与字母参数 【例1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【变式1-2】已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 【题型六】多种函数图象的综合判断 【例1】若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【变式1-3】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 【题型七】待定系数法求函数解析式 【例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 【变式1-3】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)该函数图象的顶点坐标是______； (2)方程的根为_______； 【题型八】二次函数动点问题 【例1】如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为 ． 【题型九】二次函数图形问题 【例1】如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【变式1-1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【题型十】二次函数实物建模问题 【例1】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 【变式1-1】如图（1）是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小星在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图（2）所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面． (1)填空：点的坐标 ，点的坐标是 ． (2)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度． (3)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围． 【变式1-2】综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【变式1-3】问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【题型十一】二次函数营销问题 【例1】某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【变式1-1】2025年国庆期间，某商家推出两款文旅纪念品．已知款纪念品进价40元/个，款纪念品进价20元/个． (1)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元购进两款纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ (2)在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【变式1-2】5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【题型十二】二次函数其他应用问题 【例1】如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． (1)如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 【变式1-1】如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)写出和的解析式：______； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【变式1-2】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．如图，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试．当汽车以某一速度行驶时，踩下刹车，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 10 16 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间呈二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（不考虑踩刹车的力度等因素影响） (1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离？ (3)若汽车正前方没有其他车辆，但交通指示灯为红灯，且短时间内不会变为绿灯，此时汽车距离停车线，司机立刻刹车，问该车是否在红灯时越过停车线？说明理由． 【变式1-3】已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴； (2)设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； (3)在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 【变式1-4】交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（单位：辆/时）指单位时间内通过道路指定段面的车辆数，速度v（单位：千米/时）指通过道路指定段面的车辆速度，密度k（单位：辆/千米）指通过道路指定段面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的关系的部分数据如下表： 速度v/（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q/（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v之间的关系最准确的是______．（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时，道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【题型一】二次函数概念的辨析 【例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【变式1-3】已知是二次函数，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【题型二】y=ax^2的图象性质 【例1】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【题型三】y=ax^2+k的图象和性质 【例1】已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【变式1-2】二次函数 的图象的顶点坐标是 【变式1-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【题型四】y=a（x-h）^2的图象和性质 【例1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式1-1】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，随的增大而 ． 【变式1-3】课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【题型五】y=a（x-h）^2+k的图象和性质 【例1】由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式1-1】若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【变式1-3】已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 试卷第6页，共70页 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数（6知识&12题型&5易错） 【清单01】二次函数的性质 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数 【清单02】二次函数的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，顶点坐标是(－，)，对称轴是直线x＝ 【清单03】二次函数的最值和增减性问题 — 开口方向和最大(小)值 增减性 x＞－ x＝－ x<－ a＞0 开口向上，有最小值 y随x的增大而增大 y取到最小值 y随x的增大而减小 a＜0 开口向下，有最大值 y随x的增大而减小 y取到最大值 y随x的增大而增大 【清单04】二次函数图象的平移 将抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)平移m(m＞0)个单位长度： ①向左平移，得y1＝a(x－h＋m)2＋k； ②向右平移，得y2＝a(x－h－m)2＋k； ③向上平移，得y3＝a(x－h)2＋k＋m； ④向下平移，得y4＝a(x－h)2＋k－m. 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 (1)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标 (2)b2−4ac＞0抛物线与x轴有两个交点方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根 (3)b2−4ac＝0抛物线与x轴有一个交点方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 (4)b2−4ac＜0抛物线与x轴无交点方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根 【清单06】二次函数图象与系数的关系 系数与判别式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b＝0 对称轴为 y轴  ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在 y轴右侧 c c＝0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 【题型一】一般式图象和性质 【例1】已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)①或；②2 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，非负数的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． （1）先将二次函数化为顶点式求解出顶点横坐标，再由顶点横坐标大1求解即可； （2）根据可求解点A的坐标，再由将点B坐标代入函数中即可求解m的值； ②将代入函数中可求解，再将点B坐标代入函数中即可求解m与n的关系，由此可求解最值． 【详解】（1）解：二次函数， ∴该函数的顶点横坐标为1， ∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2， 又二次函数， ∴，解得； （2）解：①∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∵，且点在抛物线上， ∴， 整理可得， 解得或； ②∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∴点，即点 ∵点在抛物线上， ∴， 即， ∵，则， ∴， ∴的最小值为2． 【变式1-1】已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示． （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 【变式1-2】已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a； (3)点M与N都在该抛物线上，设点，，其中，若，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、顶点在轴上的条件以及函数值比较． （1）直接利用对称轴公式求解； （2）顶点在x轴上时顶点纵坐标为0，代入对称轴横坐标求解a，并结合确定取值； （3）由知抛物线开口向下，点N的横坐标在时，在处最大，故恒成立需，解不等式得m的范围． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴为． （2）解：∵该抛物线的顶点在x轴上，由（1）知，抛物线对称轴为， ∴抛物线的顶点为， 当时，，整理得：， 解得，（舍去）， ∴． （3）解：∵，抛物线开口向下，对称轴为， 由点N的横坐标取值范围是可知，点N在对称轴右侧，此时函数递减， ∴在时最大，当时，， 要使恒成立，则， 即，化简得：， ∵， ∴，解得， 故m的取值范围为． 【题型二】二次函数与坐标轴的交点问题 【例1】已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象． 【答案】(1) 对称轴为直线；顶点坐标为 (2) 与x轴的交点坐标为和；与y轴的交点坐标为； (3) 见解析 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）把二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）将代入；令，解出方程，即可求解； （3）根据抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，对称轴画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：， 则该二次函数图象的对称轴为直线；顶点坐标为； （2）解：将代入，则，即该二次函数图象与y轴的交点坐标为； 令，即， 解得， 则该二次函数图象与x轴的交点坐标为和； （3）解：抛物线与x轴交于点，，与轴交点坐标为，且二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 图象如下： 【变式1-1】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)直接写出当时，x的取值范围为________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）令，求出对应值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）令，求出对应值，运用二次函数的图象性质，即可得出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时，， 则， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （2）解：当时，， 则， 解得：， ∴当时，x的取值范围为． 故答案为：． 【变式1-2】二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 【题型三】二次函数图象的平移问题 【例1】抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位． 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 【变式1-1】二次函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点，解决本题的关键是令． 求二次函数图象与y轴的交点，即求当时的y值． 【详解】解：∵与y轴交点的横坐标， ∴将代入函数解析式：， ∴该函数与轴的交点坐标为． 故选：C． 【变式1-2】已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点，连线）； (3)这个二次函数图象经过怎样的平移运动，可以过原点． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)如：向左平移1个单位（答案不唯一）． 【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与其它交点的坐标，列表、描点，画出图象； （3）通过顶点式的平移的性质，可解出答案，注意答案不唯一． 【详解】（1）解： （2） … … … … （3）①如果将二次函数上下平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ∴将二次函数向下平移个单位长度； ②如果将二次函数左右平移，得到新的函数为：，将原点代入 得：， ， ，， ∴将二次函数向左平移个或个单位长度． 故答案不唯一． 【点睛】本题主要考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法、二次函数顶点式的平移规律，熟知二次函数的顶点式和二次函数平移的性质是解答此题的关键． 【变式1-3】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积； （3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围； （4）先得出平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1，从而可得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； （3）∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）∵将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1， 即顶点变为， ∴平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，抛物线与x轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型四】二次函数对称性的应用 【例1】二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 二次函数图象的对称轴为对应的函数值．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点是解题的关键． 由表格数据可知，和时y值均为7，利用二次函数对称性求对称轴，再根据对称轴求时的函数值． 【详解】∵和时，， ∴ 对称轴， ∵ 对称轴为， ∴， ∵关于的对称为直线，且时， ∴时，，即， ∴． 故选：C． 【变式1-1】若抛物线与 x 轴的一个交点是，则该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，根据已知交点求另一个交点横坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与 x 轴的一个交点是， ∴ 方程的一个根为， 设另一个根为， 由根与系数的关系，， ∴ ， ∴ 另一个交点为． 故选：C． 【变式1-2】若抛物线经过点，四个点，则m 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据点A和点C的坐标可求出对称轴，再根据题意可得点B和点D关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线， ∵点B和点D的纵坐标相同， ∴点B和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型五】函数图象与字母参数 【例1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据题意可得函数的最小值为，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 对称轴为直线，， ∴函数的最小值为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 【变式1-1】二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②；③；④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键． 根据开口方向及顶点坐标求出，，可求得①②③，根据图像和韦达定理即可判断④⑤． 【详解】解：顶点坐标为， ， ，， 抛物线的开口向上， ， ，， ，故①正确； 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，，故②正确； ，， ，故③错误； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，故④正确； 方程有四个根， 方程有2个根，方程有2个根， 这四个根的和为，故⑤正确， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：D． 【变式1-2】已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 【变式1-3】如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断①，②，结合二次函数的最值可判断③，证明，结合当时，可判断④． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 【题型六】多种函数图象的综合判断 【例1】若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式1-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 【变式1-2】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出，．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键． 观察二次函数图象，找出，，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 【变式1-3】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 【题型七】待定系数法求函数解析式 【例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 【变式1-1】如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）（2）和 【分析】本题考查二次函数的表达式求解及抛物线与轴的交点问题，掌握抛物线的顶点式及一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据抛物线顶点坐标设顶点式，代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）令抛物线表达式中，解一元二次方程，得到与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式为， 将代入表达式： ， ， ， 故函数的表达式为． （2）解：令，即， 解方程：，得， 故抛物线与轴的交点为和． 答：和． 【变式1-3】已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)该函数图象的顶点坐标是______； (2)方程的根为_______； 【答案】(1) (2)和3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数与一元二次方程关系等知识． （1）利用待定系数法得到抛物线解析式为，配成顶点式为，即可确定顶点坐标为； （2）把代入二次函数解析式为，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得当时，，当时，，当时，， ∴， 解得 ∴二次函数解析式为， ∴抛物线顶点坐标为． 故答案为：； （2）解：当时，， 解得． 故答案为：和3 【题型八】二次函数动点问题 【例1】如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 【变式1-1】如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 【变式1-2】如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据所给函数图象上的关键点判断出此时点的位置，进而求得此时的高，然后根据三角形相似可得的长；易得当点在上时，有最大值，分别表示出此时的长和边上的高，进而得到用表示的，根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 【题型九】二次函数图形问题 【例1】如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【答案】(1)4.8 (2)， (3)最大面积是24，此时， 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的性质，正方形的性质和矩形的性质，利用相似三角形的性质构建方程是解题关键． （1）设，则，再证明，利用相似比可求出正方形边长； （2）设，则，由，利用相似比列方程即可得到结果； （3）设，矩形的面积为S，利用得相似比，用相似比可得出用含m的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为x，则， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （2）解：设，则， 由（1）得，四边形是矩形， ∴，， 由（1）得， ∴，即， 解得， ∴，； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，矩形的面积为S， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S的最大值为24， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，． 【变式1-1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式． （1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，即可求解； （2）根据题意列不等式求出，设苗圃的面积为，则，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米， 米， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 解得， 设苗圃的面积为， 则， ，， 当时，最大，最大为， 答：当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米． 【题型十】二次函数实物建模问题 【例1】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即），小孔顶点N距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； 【答案】(1) (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先求出顶点坐标，，再设大孔抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）求出当时，的值，与进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：大孔抛物线的顶点坐标，，，即，， 设大孔抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以大孔抛物线的解析式为． （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 由（1）得：大孔抛物线的解析式为， 将代入得：， 因为， 所以该巡逻船能安全通过大孔． 【变式1-1】如图（1）是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小星在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图（2）所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面． (1)填空：点的坐标 ，点的坐标是 ． (2)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度． (3)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（抛物线型问题），熟练掌握二次函数的解析式求解、最值求法，以及利用函数值确定自变量范围是解题的关键． （1）根据坐标系的定义，结合点、点的位置信息确定坐标． （2）将点、的坐标代入抛物线解析式，解方程组得系数，再通过配方法求抛物线的最大值（即最大高度）． （3）根据正方形边长得点、的纵坐标，代入抛物线解析式求对应横坐标，结合“水流不落在平台上”的条件确定的范围． 【详解】（1）解：∵点在点正上方，高度为， ∴点坐标：， ∵点坐标为，小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆， ∴点坐标：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线经过、， ∴， 解得，， ∴抛物线表达式为：， ∵， ∴喷出的水流到水面的最大高度是； （3）解：∵正方形中，点横坐标为， ∴点坐标为，点坐标为， 令，则， 化简得：， 解得：，， ∵水流不落在平台上， ∴且，即． 【变式1-2】综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 故答案为：不能，的取值范围是． 【变式1-3】问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，求二次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，再设抛物线的函数解析式为：，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，且结合从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，得出第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，再列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 【题型十一】二次函数营销问题 【例1】某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【变式1-1】2025年国庆期间，某商家推出两款文旅纪念品．已知款纪念品进价40元/个，款纪念品进价20元/个． (1)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元购进两款纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ (2)在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1)至少需要购进款纪念品200个； (2)，最大值为4500． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值为200， 答：至少需要购进款纪念品200个； （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即当时，最大，最大值为4500． 【变式1-2】5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)①；②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元 【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用，运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）设第x天的单价，利用待定系数法求解； （2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可； （3）①由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；②列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得， 即（元）与x的函数关系式为； （3）解：①由图象可知：二次函数的图象经过点，， 代入，得：， 解得， ； ②， ， 当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元． 【题型十二】二次函数其他应用问题 【例1】如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． (1)如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)最大深度 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，利用面积法可得，再由，建立方程求解即可求得答案； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，可得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）∵以C为原点建立平面直角坐标系，抛物线的顶点在原点，开口向上，液面，最大深度（液面到最低点的距离）为，如图2， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵点M是抛物线上一点，如图2，设交y轴于点L， ∴设， 则， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，如图4， 由（1）知：抛物线解析式为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图3所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的判定，旋转的性质等知识，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 【变式1-1】如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)写出和的解析式：______； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能正常盖上；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线， 故答案为：，． （2）解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； （3）解：锅盖能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖能正常盖上． 【变式1-2】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．如图，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试．当汽车以某一速度行驶时，踩下刹车，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 刹车后行驶的距离 0 10 16 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间呈二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（不考虑踩刹车的力度等因素影响） (1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车后，行驶了多长距离？ (3)若汽车正前方没有其他车辆，但交通指示灯为红灯，且短时间内不会变为绿灯，此时汽车距离停车线，司机立刻刹车，问该车是否在红灯时越过停车线？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，化为顶点式，待定系数法求解二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用待定系数法进行解函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入进行计算，即可作答． （3）先化为顶点式，当时，汽车停下，行驶了，又因为汽车距离停车线，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设， 将代入， 得， 解得 关于的函数解析式为：； （2）解：由（1）得关于的函数解析式为：； 依题意，当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）解：不会．理由如下： 依题意， ∴当时，汽车停下，行驶了． ∴该车不会在红灯时越过停车线． 【变式1-3】已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴； (2)设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； (3)在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与直线围成三角形的面积的相关计算等知识点． （1）根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）根据两点之间线段最短可以求得点的坐标； （3）根据，，求出线段，结合三角形面积公式，求边上的高，即的纵坐标，分情况计算即可． 【详解】（1）解：因为抛物线的图象经过，，三点， 则，解得， ∴抛物线的函数解析式为， 该函数的对称轴是直线； （2）如图，连接交对称轴l 于点， ∵， ∴、关于对称， ∴点为所求的点． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴ ∵点在对称轴l上， ∴点的横坐标是1， 当时，， ∴点的坐标是； （3）∵， ∴， 设中边上的高为 ∵即 解得 ∴点的纵坐标的绝对值等于5，即 当时，代入得即，无解； 当时，代入得即 解得或 ∴点的坐标为或． 【变式1-4】交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（单位：辆/时）指单位时间内通过道路指定段面的车辆数，速度v（单位：千米/时）指通过道路指定段面的车辆速度，密度k（单位：辆/千米）指通过道路指定段面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的关系的部分数据如下表： 速度v/（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q/（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v之间的关系最准确的是______．（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时，道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)千米/时；辆/时 (3) 【分析】本题考查函数的应用，熟练掌握一次函数、二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据随的变化关系，可判断出二次函数的变化形式更准确； （2）将二次函数形式转换为顶点式，即可得出顶点坐标，即函数最大值以及其对应的自变量取值； （3）利用表示，得出与满足一次函数关系，结合的取值范围，计算得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：观察表格，随着速度的增加，流量呈现先增大后减小的趋势， 在给出的函数中，仅有二次函数才满足该变化趋势， 故答案为：③． （2）解：流量q与速度v满足， 将上式表达式化为顶点式， ∴当千米/时时，车流量最大，为辆/时． （3）解：∵， ∴， 随的增加而减小， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，． 【题型一】二次函数概念的辨析 【例1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为常数，且，并能据此判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，对各选项逐个分析，即可求解． 【详解】解：根据二次函数是最高次项为二次且二次项系数不为0的整式函数，可知， A、当，不是二次函数，故选项A不符合题目要求， B、是分式函数，不是二次函数，故选项B不符合题目要求， C、是二次函数，故选项C符合题目要求， D、是一次函数，不是二次函数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1-1】下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的一般形式为，其中a为二次项系数，直接比较各选项中的系数即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意 C. 二次项系数是，不符合题意；     D. 二次项系数是，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】二次函数的一次项系数是（   ） A．3 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，，，， ∴ 一次项系数是. 故选：B． 【变式1-3】已知是二次函数，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数．根据二次函数的定义，函数表达式应为 （其中 ），故需满足指数为2且系数不为0． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 指数部分，且系数 ． 解得， ∴． 当时，成立． ∴ 的值为 ． 故选：B． 【题型二】y=ax^2的图象性质 【例1】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 【变式1-1】已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数值的计算与比较，关键是根据函数解析式求值并排序． 通过计算各函数在给定x值处的y值，并比较大小，判断是否满足． 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 【变式1-2】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【题型三】y=ax^2+k的图象和性质 【例1】已知点，，都在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算函数值、、，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：对于函数， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-1】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式1-2】二次函数 的图象的顶点坐标是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为轴，则把代入求出，故顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为轴， 把代入，得， 即顶点坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 【题型四】y=a（x-h）^2的图象和性质 【例1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 【变式1-1】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则或， 故A、B选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 【变式1-2】抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，随的增大而 ． 【答案】 向下 直线 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 【变式1-3】课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【答案】向上；向下； 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，掌握二次函数性质是解题关键． 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 【题型五】y=a（x-h）^2+k的图象和性质 【例1】由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得出图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，且 ∴图象的开口向上， 故A选项不符合题意； 由得对称轴为直线，顶点坐标为， 故B选项符合题意，C选项不符合题意； ∵图象的开口向上，直线， ∴当时，随的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像，由函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，进而根据图像经过第一、第二、第三象限，得到且，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线经过第一、第二、第三象限， ∴且， 解得， 故选：． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为进行判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【变式1-3】已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 试卷第6页，共70页 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $