6.2 向心力【考点分类提优】-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦向心力核心知识，系统梳理其定义、方向、公式及效果力本质，通过向心力演示仪实验（控制变量法）探究表达式，延伸至变速圆周运动与一般曲线运动的受力分析及处理方法，构建从概念到应用的学习支架。 资料以多种向心力来源模型（重力、弹力等）为载体，结合典例与变式题，强化科学思维中的模型建构与科学探究能力，实验设计与问题解决并重，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

6.2 向心力 1.理解向心力的概念及力的分类。 2.掌握向心力公式的探究实验。 3.会解决变速圆周运动和一般曲线运动问题。 考点一　向心力，圆周运动及一般曲线运动的基本概念 一、向心力 1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向：向心力的方向始终沿半径指向圆心。 （1）向心力的方向时刻在变，向心力是变力。 （2）向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m。 4．效果力 向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 1．变速圆周运动的合力 变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果： （1）合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。 （2）合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。 2．一般曲线运动 （1）曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。 （2）处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 【注】一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了。 考点二　向心力来源的几个常见模型 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 考点三　向心力表达式的探究实验 1. 实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法) 【注意】向心力演示器原理及实验操作简介 （1）如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。 （2）小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。 （3）传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。 2．实验方法：控制变量法 3．实验过程 （1）保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系。 （2）保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系。 （3）保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系。 4．实验结论 两球相同的物理量 不同的物理量 实验结论 1 m、ω r r越大，Fn越大，Fn∝r 2 m、r ω ω越大，Fn越大，Fn∝ω2 3 r、ω m m越大，Fn越大，Fn∝m 精确的实验表明向心力的大小可以表示为 Fn＝mω2r或Fn＝m或Fn＝m()2r。 考点四 变速圆周运动与一般曲线运动 1．变速圆周运动合力的作用效果 （1）跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 （2）指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 匀速圆周运动 变速圆周运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力 特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r都适用 1. 一般曲线运动 （1）运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 （2）处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 【注意】 （1）变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝m、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。 （2）曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。 考向1 对匀速圆周运动向心力的理解 【典例】（2025春•南京期中）如图所示，某同学坐在摩天轮的座椅上随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，座椅始终保持水平。图中M、N与圆心O等高，P位于最低点，Q位于最高点。下列说法中正确的是（　　） A．M处座椅对人的支持力大于人的重力 B．N处座椅对人的作用力大于人的重力 C．P处座椅对人的支持力小于人的重力 D．Q处座椅对人的摩擦力方向水平向右 【变式1】（2025春•无锡校级期中）摩托车正沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它（　　） A．受到重力、支持力和向心力的作用 B．所受地面的作用力与重力平衡 C．加速度不变 D．所受的合力始终变化 【变式2】（2025•南京二模）如图，小车沿固定的等距螺旋轨道向上做匀速率运动，轨道各处弯曲程度相同。在此过程中，该小车（　　） A．角速度大小不变 B．向心力不变 C．处于平衡状态 D．处于超重状态 【变式4】（2025春•常州校级期末）如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（　　） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球受拉力和向心力的作用 C．摆球受重力和拉力的作用 D．摆球受重力和向心力的作用 考向2 探究向心力大小的表达式 【典例】（2025春•无锡校级月考）在探究向心力Fn的大小与角速度ω的关系的过程中，将两个大小和质量相同的小球1、2分别置于长槽或短槽中（实验装置中皮带不打滑），下面的操作中能得到小球1、2转动的角速度之比为1：3的是（　　） A．小球1、2做圆周运动半径之比为1：3，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：1 B．小球1、2做圆周运动半径之比为3：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：1 C．小球1、2做圆周运动半径之比为1：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：3 D．小球1、2做圆周运动半径之比为1：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为3：1 【变式1】（2025•江苏学业考试）某同学用向心力演示器进行实验，如图所示，两相同钢球所受向心力的比值为1：4，则实验中选取两个变速塔轮的半径之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【变式3】（2025•南通模拟）兴趣小组用如图甲所示装置验证向心力公式，将力传感器和光电门分别固定，细线上端固定在力传感器上，下端栓接一金属小球。小球自然下垂时球心与光电门中心重合，已知球心到悬点O的距离为l，小球的直径为d，重力加速度为g。实验如下： （1）小球自然下垂时力传感器读数为F0，则小球的质量m＝ 　 　 （用题中已知量表示）； （2）将小球拉离竖直方向成一定角度后由静止释放，摆动过程中，测得小球通过光电门的时间t，力传感器对应测得细线的最大拉力F，则小球经过最低点时的速度大小v＝ 　 　 （用题中已知量表示）； （3）改变细线与竖直方向的夹角，重复步骤（2），多次采集实验数据； （4）正确操作得到一组数据，图乙的图像中能验证向心力公式的是 　 　 ； （5）向心力的实际值为F1＝F﹣F0，理论值为F2＝m，实验中发现F2明显大于F1，可能的原因是 　 　 （写一个原因即可）； （6）力传感器的核心是电阻应变片，如图乙所示，4个应变片固定在横梁上，横梁右端受向下的作用力向下弯曲，4个应变片的电阻发生改变，上表面应变片的电阻 　 　 （选填“变大”或“变小”）。将4个应变片连接到如图丙所示电路中，B、C端输出电压的大小反映了横梁右端受力的大小，则图丙中R1对应的是　 　 （选填“Rb”或“Rd”）。 【变式4】（2025春•无锡月考）某同学在“探究向心力大小与哪些因素有关”的实验中：所用向心力演示仪如图甲所示，A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，其中A和C的半径相同。图乙是变速塔轮的原理示意图：其中塔轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，是轮⑥的2倍。可供选择的实验小球有：质量均为2m的球Ⅰ和球Ⅱ，质量为m的球Ⅲ。 （1）这个实验主要采用的方法是 　 　 。 A．等效替代法 B．控制变量法 C．理想实验法 D．放大法 （2）选择球1和球Ⅱ分别置于短臂C和短臂A，是为了探究向心力大小与 　 　 。 A．质量之间的关系 B．半径之间的关系 C．标尺之间的关系 D．角速度之间的关系 （3）为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，应将实验小球Ⅰ和 　 　 （选填“Ⅱ”或“Ⅲ”）分别置于短臂A和短臂 　 　 处（选填“B”或“C”），实验时应将皮带与轮①和轮 　 　 相连，使两小球角速度相等。 （4）若选用球1和球Ⅱ分别置于A和C处做实验，则标尺上黑白相间的等分格显示出球I和球Ⅱ所受向心力的比值为9：1，则可知与皮带连接的变速塔轮半径之比为 　 　 。 考向3 向心力的来源 【典例】（2025秋•无锡期中）狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，如图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图（图中O为圆心），其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025春•常州校级期末）如图，汽车驶过圆弧形路面的顶端时，所受的重力G和支持力N都在竖直方向。此时提供汽车做圆周运动向心力的是（　　） A．重力 B．支持力 C．重力和支持力的合力 D．汽车对路面的压力 【变式2】（2025春•滨湖区校级月考）如图，一辆轿车正在水平路面上转弯时，下列说法正确的是（　　） A．水平路面对轿车弹力的方向斜向上 B．轿车需要的向心力是重力、支持力和牵引力的合力 C．轿车需要的向心力来源于地面静摩擦力 D．轿车所受的合力可能为零 一．选择题（共15小题） 1．（2025•江苏二模）竖直平面内有一“L”型光滑细杆，杆上套有相同的小球A、B。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴匀速转动，两小球A、B在杆上稳定时，其相对位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•天宁区校级期中）将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔，轻绳两端连接质量分别为m1、m2的小球A、B，旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，稳定时，轻绳和杆始终共面，连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为θ1、θ2，圆孔与A、B间轻绳长度分别为l1、l2。若θ1＜θ2，则（　　） A．m1＝m2，l1＝l2 B．m1＜m2，l1＜l2 C．m1＞m2，l1＞l2 D．m1＞m2，l1＜l2 3．（2025秋•雨花台区期中）如图所示，一物体从固定的光滑圆弧轨道上端由静止下滑，当物体滑到轨道最低点时，下列说法正确的是（　　） A．物体处于超重状态 B．物体处于平衡状态 C．物体对轨道的压力等于物体的重力 D．物体对轨道的压力大于轨道对物体的支持力 4．（2024秋•海门区校级期末）在“探究向心力大小的表达式”实验中我们常用控制变量法，利用如图所示的向心力演示器进行研究。此时正在探究的关系是（　　） A．F﹣ω B．F﹣ω2 C．F﹣m D．F﹣r 5．（2024秋•徐州期末）场地自行车比赛的圆形赛道路面与水平面的夹角为θ。如图所示，某运动员骑自行车以速率v在该赛道上做半径为R的匀速圆周运动，已知运动员质量为m，重力加速度为g，不考虑空气阻力，则（　　） A．v越大，自行车对赛道的压力越小 B．v越大，自行车对赛道的摩擦力越小 C．若，赛道对自行车的支持力等于 D．若，赛道对自行车摩擦力的方向沿斜面向下 6．（2025•沛县学业考试）如图所示，小锐同学正在荡秋千，他经过最低点P时的速度方向是（　　） A．a方向 B．b方向 C．c方向 D．d方向 7．（2025•沛县学业考试）如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力和摩擦力都减小了 C．物体所受弹力不变，摩擦力也不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 8．（2025春•苏州月考）机械设计中有许多精妙的设计，如图所示为一种将圆周运动转化为一条直线上往复运动的设计。沿竖直面内圆弧轨道做匀速圆周运动的小球a通过有转轴的连杆与物块b相连，物块b穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心。物块b从最左端第一次运动到最右端经历的时间为t。则下列说法正确的是（　　） A．小球a所受合力不变 B．小球a运动的周期为t C．小球a运动到水平直径任一端点时，物块b运动的速率最大 D．小球a与物块b速度相同时，小球a一定位于轨道最高点或最低点 9．（2025春•苏州校级月考）如图为竖直转轴过圆心O的水平圆盘，轻质弹簧一端固定在O点，另一端连接一质量为m的小物块。圆盘静止时物块恰好在P点静止，此时弹簧的伸长量为L。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L。圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中（　　） A．弹簧对小物块的弹力一直增大 B．圆盘对小物块的摩擦力逐渐减小 C．当时，小物块恰好不受摩擦力 D．当时，小物块相对圆盘恰好开始滑动 10．（2025春•苏州校级月考）如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小可能发生了变化 B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化 C．若ω2＞ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大 D．小球所受合力的大小一定发生了变化 11．（2025春•苏州校级月考）一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的拉力为T，则T随ω2变化的图象是乙图中的（　　） A． B． C． D． 12．（2025•鼓楼区校级模拟）在地面上放置着一个内壁光滑的碗，其内表面是半径为R的半球形，O为球心。在碗内有一个小物体正在水平面内做匀速圆周运动，M为圆心，OM距离为h。当小物体运动到M正右方P点时，从O点以某一初速度v0水平向右抛出一个小石子，不计空气阻力及小石子的反弹，则下列说法正确的是（　　） A．只要h合适，小石子一定能击中小物体 B．只有当的值合适，小石子才能击中小物体 C．只有当v0大小合适，小石子才能击中小物体 D．不管h、R、v0大小如何，小石子都不能击中小物体 13．（2025春•工业园区校级月考）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则下列说法错误的（　　） A．小球均静止时，弹簧的长度为L B．角速度ω＝ω0时，小球A对弹簧的压力为mg C．角速度ω0 D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变 14．（2025春•宜兴市期中）如图甲所示，一名小女孩在水泥管道内踢着足球。当足球滚到水泥管最高点时，可简化为如图乙所示的模型。质量为m的足球可视为质点，所需向心力大小为F。足球经过最高点时所受管壁的弹力大小为（　　） A．F B．Mg﹣F C．F﹣mg D．mg+F 15．（2024秋•如皋市校级期末）如图所示，质量为m1、m2的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知m1＜m2，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共1小题） （多选）16．（2025•广陵区校级模拟）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块（可视为质点），A和B距轴心O的距离分别为rA＝R，rB＝2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止。则圆盘转动的角速度从0逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B所受合外力大于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 三．实验题（共2小题） 17．（2025春•新吴区校级月考）为了探究向心力大小与角速度的关系，某实验小组设计了如图所示的装置。磁性滑块套在水平光滑粗细均匀的塑料杆上，滑块随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。磁传感器可以记录接收到一定次数强磁场对应的时间。 （1）为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量m和 　 　 （选填“线速度v”、“半径r”、“加速度a”或“周期T”）保持不变，某次旋转过程中从接收到强磁场开始计时，并且记为第0次，到接收到第n次强磁场所用时间为t，则角速度ω＝ 　 　 。 （2）改变匀速圆周运动的角速度重复实验（1）多次，以F为纵坐标，为横坐标，在坐标纸中描出数据点作图，如果图像是一条过原点的倾斜直线，且直线的斜率等于 　 　 ，表明此实验过程中向心力与 　 　 成正比（选填“角速度”、“角速度平方”或“角速度二次方根”）。 18．（2025春•无锡校级月考）在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径为r的圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g。 （1）用秒表记录运动n圈的总时间为t，那么小球做圆周运动的周期为 　 　 ，需要的向心力表达式为 　 　 。 （2）通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为h，那么小球做圆周运动中合外力提供的向心力表达式为 　 　 。 （3）改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为 　 　 。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 向心力 1.理解向心力的概念及力的分类。 2.掌握向心力公式的探究实验。 3.会解决变速圆周运动和一般曲线运动问题。 考点一　向心力，圆周运动及一般曲线运动的基本概念 一、向心力 1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向：向心力的方向始终沿半径指向圆心。 （1）向心力的方向时刻在变，向心力是变力。 （2）向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m。 4．效果力 向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 1．变速圆周运动的合力 变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果： （1）合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。 （2）合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。 2．一般曲线运动 （1）曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。 （2）处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 【注】一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了。 考点二　向心力来源的几个常见模型 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 考点三　向心力表达式的探究实验 1. 实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法) 【注意】向心力演示器原理及实验操作简介 （1）如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。 （2）小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。 （3）传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。 2．实验方法：控制变量法 3．实验过程 （1）保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系。 （2）保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系。 （3）保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系。 4．实验结论 两球相同的物理量 不同的物理量 实验结论 1 m、ω r r越大，Fn越大，Fn∝r 2 m、r ω ω越大，Fn越大，Fn∝ω2 3 r、ω m m越大，Fn越大，Fn∝m 精确的实验表明向心力的大小可以表示为 Fn＝mω2r或Fn＝m或Fn＝m()2r。 考点四 变速圆周运动与一般曲线运动 1．变速圆周运动合力的作用效果 （1）跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 （2）指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 匀速圆周运动 变速圆周运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力 特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r都适用 1. 一般曲线运动 （1）运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 （2）处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 【注意】 （1）变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝m、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。 （2）曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。 考向1 对匀速圆周运动向心力的理解 【典例】（2025春•南京期中）如图所示，某同学坐在摩天轮的座椅上随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，座椅始终保持水平。图中M、N与圆心O等高，P位于最低点，Q位于最高点。下列说法中正确的是（　　） A．M处座椅对人的支持力大于人的重力 B．N处座椅对人的作用力大于人的重力 C．P处座椅对人的支持力小于人的重力 D．Q处座椅对人的摩擦力方向水平向右 【解答】解：A.在M点，由于摩天轮在做匀速圆周运动，支持力等于人的重力，故A错误； B.在N点座椅对人的作用力指人受到的支持力与摩擦力的合力，其中支持力等于重力，方向向上，摩擦力提供向心力，方向向左，故座椅对人的作用力一定大于人的重力，故B正确； C.在P点，重力与支持力的合力提供向心力，方向向上，故支持力大于重力，故C错误； D.在Q点由支持力与重力提供向心力，方向向下，摩擦力等于零，故D错误。 故选：B。 【变式1】（2025春•无锡校级期中）摩托车正沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它（　　） A．受到重力、支持力和向心力的作用 B．所受地面的作用力与重力平衡 C．加速度不变 D．所受的合力始终变化 【解答】解：A、摩托车受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是它的合力，故A错误； B、摩托车所受地面的作用力的竖直分量与重力平衡，水平分量提供所需的向心力，故B错误； CD、摩托车做匀速圆周运动，所以加速度和合力方向时刻发生变化，即加速度和所受的合力始终变化，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式2】（2025•南京二模）如图，小车沿固定的等距螺旋轨道向上做匀速率运动，轨道各处弯曲程度相同。在此过程中，该小车（　　） A．角速度大小不变 B．向心力不变 C．处于平衡状态 D．处于超重状态 【解答】解：小车做曲线运动，具有向心加速度，所受合外力不为0，合外力提供向心力，但方向变化，其运动过程中不是平衡状态；轨道等螺距，小车运动过程在竖直方向的速度不变，小车运动过程在竖直方向没有加速度，所以小车既不处于超重状态，也不处于失重状态，只有角速度大小不变，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】（2025春•常州校级期末）如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（　　） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球受拉力和向心力的作用 C．摆球受重力和拉力的作用 D．摆球受重力和向心力的作用 【解答】解：摆球在水平面内做匀速圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，故C正确。 故选：C。 考向2 探究向心力大小的表达式 【典例】（2025春•无锡校级月考）在探究向心力Fn的大小与角速度ω的关系的过程中，将两个大小和质量相同的小球1、2分别置于长槽或短槽中（实验装置中皮带不打滑），下面的操作中能得到小球1、2转动的角速度之比为1：3的是（　　） A．小球1、2做圆周运动半径之比为1：3，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：1 B．小球1、2做圆周运动半径之比为3：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：1 C．小球1、2做圆周运动半径之比为1：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1：3 D．小球1、2做圆周运动半径之比为1：1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为3：1 【解答】解：依题意，探究向心力Fn的大小与角速度ω的关系，小球1、2做圆周运动半径应该相同，小球与变速塔轮的角速度相同，变速塔轮1、2通过皮带传动，线速度相等，根据v＝ωr可知，当皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为3：1时，小球1、2角速度之比为1：3，故ABC错误；D正确。 故选：D。 【变式1】（2025•江苏学业考试）某同学用向心力演示器进行实验，如图所示，两相同钢球所受向心力的比值为1：4，则实验中选取两个变速塔轮的半径之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【解答】解：如图所示，两相同的钢球距离转轴的距离相等，设为r，由向心力公式 F＝mω2r 由于F1：F2＝1：4 所以变速塔轮的角速度之比为 ω1：ω2＝1：2 两变速塔轮边缘的线速度相等，设为v，故两个变速塔轮的半径之比为 ，故B正确，ACD错误； 故选：B。 【变式2】（2025•南通模拟）兴趣小组用如图甲所示装置验证向心力公式，将力传感器和光电门分别固定，细线上端固定在力传感器上，下端栓接一金属小球。小球自然下垂时球心与光电门中心重合，已知球心到悬点O的距离为l，小球的直径为d，重力加速度为g。实验如下： （1）小球自然下垂时力传感器读数为F0，则小球的质量m＝ 　　 （用题中已知量表示）； （2）将小球拉离竖直方向成一定角度后由静止释放，摆动过程中，测得小球通过光电门的时间t，力传感器对应测得细线的最大拉力F，则小球经过最低点时的速度大小v＝ 　　 （用题中已知量表示）； （3）改变细线与竖直方向的夹角，重复步骤（2），多次采集实验数据； （4）正确操作得到一组数据，图乙的图像中能验证向心力公式的是 　D　 ； （5）向心力的实际值为F1＝F﹣F0，理论值为F2＝m，实验中发现F2明显大于F1，可能的原因是 　见解析　 （写一个原因即可）； （6）力传感器的核心是电阻应变片，如图乙所示，4个应变片固定在横梁上，横梁右端受向下的作用力向下弯曲，4个应变片的电阻发生改变，上表面应变片的电阻 　变大　 （选填“变大”或“变小”）。将4个应变片连接到如图丙所示电路中，B、C端输出电压的大小反映了横梁右端受力的大小，则图丙中R1对应的是　Rd （选填“Rb”或“Rd”）。 【解答】解：（1）小球自然下垂时，绳子的拉力（力传感器的示数）等于小球的重力，则F0＝mg 小球的质量 （2）小球经过最低点时的速度大小 （4）小球运动到最低点，根据向心力公式 联立解得 因此需要建立F﹣t﹣2图像，故ABC错误，D正确。 故选：D。 （5）小球质量分布不均匀，小球重心在球心的下方，摆长的测量值偏小，根据向心力公式可知，向心力F2偏大； （6）上应变片的电阻分别是Ra、Rb，外力F时，上应变片被拉伸，下应变片被压缩，根据电阻定律可知，上应变片电阻变大，下应变片电阻变小； 若图丙中R1对应的是Rc，则Ra＝R1＝Rb，Rc＝R2＝Rd 根据并联电路的电压特点以及串联电路电压的分配与电阻的关系可知φB＝φC B、C两点之间无电压输出，因此图丙中R1对应的是Rd。 故答案为：（1）；（2）；（4）D；（5）见解析；（6）Rd。 【变式3】（2025春•无锡月考）某同学在“探究向心力大小与哪些因素有关”的实验中：所用向心力演示仪如图甲所示，A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，其中A和C的半径相同。图乙是变速塔轮的原理示意图：其中塔轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，是轮⑥的2倍。可供选择的实验小球有：质量均为2m的球Ⅰ和球Ⅱ，质量为m的球Ⅲ。 （1）这个实验主要采用的方法是 　B　 。 A．等效替代法 B．控制变量法 C．理想实验法 D．放大法 （2）选择球1和球Ⅱ分别置于短臂C和短臂A，是为了探究向心力大小与 　D　 。 A．质量之间的关系 B．半径之间的关系 C．标尺之间的关系 D．角速度之间的关系 （3）为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，应将实验小球Ⅰ和 　Ⅱ　 （选填“Ⅱ”或“Ⅲ”）分别置于短臂A和短臂 　B　 处（选填“B”或“C”），实验时应将皮带与轮①和轮 　④　 相连，使两小球角速度相等。 （4）若选用球1和球Ⅱ分别置于A和C处做实验，则标尺上黑白相间的等分格显示出球I和球Ⅱ所受向心力的比值为9：1，则可知与皮带连接的变速塔轮半径之比为 　1：3　 。 【解答】解：（1）在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时用到了控制变量法。故B正确，ACD错误。 故选：B。 （2）将球I、球Il分别放在挡板C和A位置时，两球的质量、运动半径均相同，故此过程是验心力的大小与角速度的关系。故D正确，ABC错误。 故选：D。 （3）为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，需两球质量、角速度相同，则需选用实验小球I和Ⅱ，探究该关系时，由于需要两球圆周运动半径不同，故将小球置于置于短臂A和短臂B处。 皮带转动线速度相等，若需要角速度相同，则塔轮半径需相等，故实验时应将皮带与轮①和轮④相连。 （4）若选用球Ⅰ和球Ⅱ分别置于A和C处做实验，则两球质量m相同，圆周运动半径r相同，由向心力公式F＝mω2r可知向心力之比等于角速度平方之比，即 可知球1和球Ⅱ的角速度之比为 由于皮带转动线速度相等，根据v＝ωr 可知角速度与变速塔轮半径成反比，即 故答案为：（1）B；（2）D；（3）Ⅱ，B，④；（4）1：3。 考向3 向心力的来源 【典例】（2025秋•无锡期中）狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，如图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图（图中O为圆心），其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由于拉力与摩擦力的合力指向圆心，提供向心力，滑动摩擦力f的方向和相对运动方向相反，故f向后且与圆轨道相切；故拉力F偏向圆心。 故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式1】（2025春•常州校级期末）如图，汽车驶过圆弧形路面的顶端时，所受的重力G和支持力N都在竖直方向。此时提供汽车做圆周运动向心力的是（　　） A．重力 B．支持力 C．重力和支持力的合力 D．汽车对路面的压力 【解答】解：由题意知，汽车做圆周运动，由沿半径方向的合力提供向心力，此时提供汽车做圆周运动向心力的是重力和支持力的合力。故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式2】（2025春•滨湖区校级月考）如图，一辆轿车正在水平路面上转弯时，下列说法正确的是（　　） A．水平路面对轿车弹力的方向斜向上 B．轿车需要的向心力是重力、支持力和牵引力的合力 C．轿车需要的向心力来源于地面静摩擦力 D．轿车所受的合力可能为零 【解答】解：A、水平路面对轿车弹力的方向垂直于路面竖直向上，故A错误； BC、轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力，故B错误，C正确； D、由于轿车转弯时做曲线运动，根据曲线运动条件可知，轿车所受的合力一定不为零，若合力为零，轿车将做匀速直线运动，无法转弯，故D错误。 故选：C。 一．选择题（共15小题） 1．（2025•江苏二模）竖直平面内有一“L”型光滑细杆，杆上套有相同的小球A、B。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴匀速转动，两小球A、B在杆上稳定时，其相对位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设杆与水平方向的夹角为θ，竖直轴转动的角速度为ω，小球到O点的距离为L，图中虚线与转轴交点到O点的距离为H，小球随转轴转动中受力如图所示 由牛顿第二定律：mgtanθ＝mω2Lcosθ 又 解得 可见角速度相同时，θ越大，H越大，故D正确，ABC错误。 故选：D。 2．（2025秋•天宁区校级期中）将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔，轻绳两端连接质量分别为m1、m2的小球A、B，旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，稳定时，轻绳和杆始终共面，连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为θ1、θ2，圆孔与A、B间轻绳长度分别为l1、l2。若θ1＜θ2，则（　　） A．m1＝m2，l1＝l2 B．m1＜m2，l1＜l2 C．m1＞m2，l1＞l2 D．m1＞m2，l1＜l2 【解答】解：对小球受力分析，竖直方向平衡，Tcosθ＝mg，因为θ1＜θ2，故m1＞m2， 设绳上张力为T，则Tsinθ＝mω2lsinθ，轻绳和杆始终共面，则角速度相等，所以l1＜l2，故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．（2025秋•雨花台区期中）如图所示，一物体从固定的光滑圆弧轨道上端由静止下滑，当物体滑到轨道最低点时，下列说法正确的是（　　） A．物体处于超重状态 B．物体处于平衡状态 C．物体对轨道的压力等于物体的重力 D．物体对轨道的压力大于轨道对物体的支持力 【解答】解：AB、设物体滑至轨道最低点时速度为v，圆弧轨道半径为R，由牛顿第二定律得，解得轨道支持力mg，故物体处于超重状态，A正确，B错误； CD、物体对轨道的压力与轨道对物体的支持力为作用力与反作用力，大小相等，结合上述结果可知物体对轨道的压力FN＞mg，故CD错误。 故选：A。 4．（2024秋•海门区校级期末）在“探究向心力大小的表达式”实验中我们常用控制变量法，利用如图所示的向心力演示器进行研究。此时正在探究的关系是（　　） A．F﹣ω B．F﹣ω2 C．F﹣m D．F﹣r 【解答】解：图中所示两相同的球的转动半径不同，角速度和质量相同，则正在研究F与半径r的关系，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．（2024秋•徐州期末）场地自行车比赛的圆形赛道路面与水平面的夹角为θ。如图所示，某运动员骑自行车以速率v在该赛道上做半径为R的匀速圆周运动，已知运动员质量为m，重力加速度为g，不考虑空气阻力，则（　　） A．v越大，自行车对赛道的压力越小 B．v越大，自行车对赛道的摩擦力越小 C．若，赛道对自行车的支持力等于 D．若，赛道对自行车摩擦力的方向沿斜面向下 【解答】解：CD、当自行车与轨道间的摩擦力为零时，人和整体受力情况如图所示： 根据牛顿第二定律可得：mgtanθ＝m 解得：v 若，摩擦力恰好为零，此时赛道对自行车的支持力：FN 若，赛道对自行车摩擦力的方向沿斜面向上，故C正确、D错误； AB、如果速度小，自行车受到的摩擦力沿赛道向下，随着速度的增大，摩擦力开始减小，后来摩擦力沿赛道向下，随着速度增大、摩擦力增大，所以自行车对赛道的摩擦力变化情况无法确定； 竖直方向根据平衡条件可知，随着速度增大，赛道对自行车的支持力增大，则自行车对赛道的压力增大，故AB错误。 故选：C。 6．（2025•沛县学业考试）如图所示，小锐同学正在荡秋千，他经过最低点P时的速度方向是（　　） A．a方向 B．b方向 C．c方向 D．d方向 【解答】解：曲线的运动方向沿轨迹的切线方向，秋千做圆周运动，在P点，切线的方向与OP垂直，即b方向。 故选：B。 7．（2025•沛县学业考试）如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力和摩擦力都减小了 C．物体所受弹力不变，摩擦力也不变 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变 【解答】解：物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，物体受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图 竖直方向，重力G与静摩擦力f平衡，即G＝f 与物体的角速度无关，当圆筒的角速度ω增大时，摩擦力不变； 支持力N指向圆心，提供向心力，即N＝mω2r 当圆筒的角速度ω增大时，所需要的向心力变大，则物体所受弹力N增大；故D正确，ABC错误。 故选：D。 8．（2025春•苏州月考）机械设计中有许多精妙的设计，如图所示为一种将圆周运动转化为一条直线上往复运动的设计。沿竖直面内圆弧轨道做匀速圆周运动的小球a通过有转轴的连杆与物块b相连，物块b穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心。物块b从最左端第一次运动到最右端经历的时间为t。则下列说法正确的是（　　） A．小球a所受合力不变 B．小球a运动的周期为t C．小球a运动到水平直径任一端点时，物块b运动的速率最大 D．小球a与物块b速度相同时，小球a一定位于轨道最高点或最低点 【解答】解：A．因小球a做匀速圆周运动，故a所受合力大小不变，但方向时刻变化，故A错误； B．物块b从最左端第一次运动到最右端经历的时间t为半个周期，故T＝2t 故B错误； C．小球a运动到水平直径任一端点时，物块b的速度为0，故C错误； D．根据杆关联速度的特点，当两者速度相同时，两者速度方向与杆的夹角一定相同，因b的速度方向一定沿水平方向，故小球a的速度方向也一定沿水平方向，而满足此条件的位置，只有最高点和最低点，故D正确。 故选：D。 9．（2025春•苏州校级月考）如图为竖直转轴过圆心O的水平圆盘，轻质弹簧一端固定在O点，另一端连接一质量为m的小物块。圆盘静止时物块恰好在P点静止，此时弹簧的伸长量为L。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L。圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中（　　） A．弹簧对小物块的弹力一直增大 B．圆盘对小物块的摩擦力逐渐减小 C．当时，小物块恰好不受摩擦力 D．当时，小物块相对圆盘恰好开始滑动 【解答】解：AB．角速度较小时，根据牛顿第二定律可得kL﹣f＝mω2•2L 当圆盘的角速度ω由0缓慢增大至小物块相对圆盘滑动的过程中，摩擦力先减小后反向增大，弹簧弹力不变，故AB错误； C．小物块恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律可得kL＝mω2•2L 所以 故C错误； D．小物块相对圆盘恰好开始滑动时，根据牛顿第二定律可得kL+f＝mω2•2L，kL＝f 联立可得 故D正确。 故选：D。 10．（2025春•苏州校级月考）如图，矩形框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿过PQ杆。当矩形框绕MN轴分别以不同的角速度ω1和ω2匀速转动时，小球相对于杆的位置不变。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小可能发生了变化 B．杆PQ对小球的弹力大小一定发生了变化 C．若ω2＞ω1，则角速度为ω2时杆PQ对小球的弹力更大 D．小球所受合力的大小一定发生了变化 【解答】解：A、小球相对于杆的位置不变，弹簧的形变量不变，由胡克定律可知弹簧的弹力大小不变，故A错误； B、小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如图所示 当角速度较小时，杆对小球的弹力向外，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度较大时，此时杆对小球的弹力向里，弹簧的弹力在水平方向的分力和杆对小球的支持力的合力提供向心力，当角速度合适时，杆对小球弹力的大小相同，故B错误； C、若金属框的角速度较小，杆对小球的弹力方向垂直于杆向外，如图所示 在水平方向上，由牛顿第二定律得Fsinα﹣FN＝mω2r，则FN＝Fsinα﹣mω2rω变大，则FN变小，小球对杆压力的大小变小，故C错误； D、小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，小球所受合外力的大小F合＝mω2r，当角速度ω变化时，则F合一定发生变化，故D正确。 故选：D。 11．（2025春•苏州校级月考）一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的拉力为T，则T随ω2变化的图象是乙图中的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：AB、设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力N和绳的拉力T而平衡，T＝mgcosθ≠0，故AB错误； CD、ω增大时，T增大，N减小，当N＝0时，角速度为ω0。 当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得， Tsinθ﹣Ncosθ＝mω2Lsinθ， Tcosθ+Nsinθ＝mg， 解得T＝mω2Lsin2θ+mgcosθ； 当ω＞ω0时，小球离开锥子，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得 Tsinβ＝mω2Lsinβ， 所以T＝mLω2，此时图象的反向延长线经过原点。 可知T﹣ω2图线的斜率变大，故C正确，D错误。 故选：C。 12．（2025•鼓楼区校级模拟）在地面上放置着一个内壁光滑的碗，其内表面是半径为R的半球形，O为球心。在碗内有一个小物体正在水平面内做匀速圆周运动，M为圆心，OM距离为h。当小物体运动到M正右方P点时，从O点以某一初速度v0水平向右抛出一个小石子，不计空气阻力及小石子的反弹，则下列说法正确的是（　　） A．只要h合适，小石子一定能击中小物体 B．只有当的值合适，小石子才能击中小物体 C．只有当v0大小合适，小石子才能击中小物体 D．不管h、R、v0大小如何，小石子都不能击中小物体 【解答】解：小物体在碗内做匀速圆周运动，由重力和弹力的合力提供向心力，OP连线与竖直方向的夹角设为θ，根据牛顿第二定律有： 由几何关系有： 联立以上两式并变形解得： 小石子做平抛运动，有： 变形解得： 根据等时性和周期性可知，小石子击中小物体，需要有：nT＝t（n取正整数） 由数学知识可知，显然不可能，所以小石子不可能击中小物体，ABC错误，D正确。 故选：D。 13．（2025春•工业园区校级月考）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则下列说法错误的（　　） A．小球均静止时，弹簧的长度为L B．角速度ω＝ω0时，小球A对弹簧的压力为mg C．角速度ω0 D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变 【解答】解：A．若两球静止时，均受力平衡，对B球分析可知杆的弹力为零，有NB＝mg，设弹簧的压缩量为x，再对A球分析可得：mg＝kx1，故弹簧的长度为L1＝L﹣x＝L，故A正确； BC．当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面，即NB′＝0，设杆与转盘的夹角为θ，由牛顿第二定律可知：mLcosθω2，F1sinθ＝mg，而对A球依然处于平衡，有F1sinθ+mg＝Fk＝kx2，而由几何关系：sinθ，联立四式解得Fk＝2mg，ω0，则弹簧对A球的弹力为2mg，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力为2mg，故B错误，C正确； D．当角速度从ω0继续增大时，B球将飘起来，杆与水平方向的夹角 θ 变小，对A与B的系统，在竖直方向始终处于平衡状态，有Fk＝2mg，则弹簧对A球的弹力是2mg，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力依然为2mg，故D正确。 本题选择错误的选项； 故选：B。 14．（2025春•宜兴市期中）如图甲所示，一名小女孩在水泥管道内踢着足球。当足球滚到水泥管最高点时，可简化为如图乙所示的模型。质量为m的足球可视为质点，所需向心力大小为F。足球经过最高点时所受管壁的弹力大小为（　　） A．F B．Mg﹣F C．F﹣mg D．mg+F 【解答】解：足球在最高点，受到重力和弹力作用，两力方向均竖直向下，根据牛顿第二定律有：mg+F弹＝F 所以：F弹＝F﹣mg，故ABD错误，C正确。 故选：C。 15．（2024秋•如皋市校级期末）如图所示，质量为m1、m2的两个小球A、B套在光滑圆环上，圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，已知m1＜m2，不计空气阻力。小球相对圆环静止时，两小球在圆环上相对位置可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：光滑圆环绕竖直方向的直径匀速旋转，稳定后，两小球在圆环上在水平面内做匀速圆周运动，小球所受重力与圆环的支持力提供向心力，则小球一定在O点所在水平面的下面。 如图所示： 根据牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω2Rsinθ 解得：ω，两小球转动的角速度相等，θ相同，则两小球在同一水平面上，故C正确，ABD错误。 故选：C。 二．多选题（共1小题） （多选）16．（2025•广陵区校级模拟）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块（可视为质点），A和B距轴心O的距离分别为rA＝R，rB＝2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止。则圆盘转动的角速度从0逐渐缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（　　） A．B所受合外力大于A所受合外力 B．A受到的摩擦力一直指向圆心 C．B受到的摩擦力一直指向圆心 D．A、B两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为 【解答】解：A、由向心力，其中mA＝mB，ωA＝ωB，rB＞rA，所以B物体的向心力大于A物体，物块做圆周运动的向心力由合外力提供，故B所受合外力大于A物体，故A正确； B、初始角速度较小时，A、B由静摩擦力提供向心力，摩擦力都指向圆心，当角速度增大到一定程度，B所需向心力增大，先达到最大静摩擦力fm之后角速度继续增大，细线产生拉力，A受到的摩擦力会先指向圆心，当拉力和B的最大静摩擦力共同提供B的向心力后，A受到的摩擦力方向会背离圆心，所以A受到的摩擦力不是一直指向圆心，故B错误； C、因为B的转动半径大，随着角速度增大，B所需向心力先达到最大静摩擦力，之后即使角速度继续增大，B受到的最大静摩擦力一直指向圆心，与细线拉力共同提供向心力，所以B受到的摩擦力一直指向圆心，所以B受到的摩擦力是一直指向圆心，故C正确； D、当A、B刚要滑动时，B受到最大静摩擦力fm指向圆心，A受到最大静摩擦力fm背离圆心，由牛顿第二定律，对A：，对B：，解得，故D错误； 故选：AC。 三．实验题（共2小题） 17．（2025春•新吴区校级月考）为了探究向心力大小与角速度的关系，某实验小组设计了如图所示的装置。磁性滑块套在水平光滑粗细均匀的塑料杆上，滑块随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。磁传感器可以记录接收到一定次数强磁场对应的时间。 （1）为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量m和 　半径r　 （选填“线速度v”、“半径r”、“加速度a”或“周期T”）保持不变，某次旋转过程中从接收到强磁场开始计时，并且记为第0次，到接收到第n次强磁场所用时间为t，则角速度ω＝ 　　 。 （2）改变匀速圆周运动的角速度重复实验（1）多次，以F为纵坐标，为横坐标，在坐标纸中描出数据点作图，如果图像是一条过原点的倾斜直线，且直线的斜率等于 　mr（2nπ）2 ，表明此实验过程中向心力与 　角速度平方　 成正比（选填“角速度”、“角速度平方”或“角速度二次方根”）。 【解答】解：（1）为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量m和半径r保持不变，角速度为 （2）由F＝mrω2得到 因此如果图像是一条过原点的倾斜直线，且图像的斜率等于mr（2nπ）2，表明此实验过程中向心力与角速度平方成正比。 故答案为：（1）半径r，；（2）mr（2nπ）2，角速度平方。 18．（2025春•无锡校级月考）在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个半径为r的圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g。 （1）用秒表记录运动n圈的总时间为t，那么小球做圆周运动的周期为 　　 ，需要的向心力表达式为 　　 。 （2）通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为h，那么小球做圆周运动中合外力提供的向心力表达式为 　　 。 （3）改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为 　　 。 【解答】解：（1）钢球做圆周运动的周期为 根据向心力公式F＝mω2r 又因为 解得 （2）设悬线与竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动合力提供向心力，则 F＝mgtanθ，又 解得 （3）根据， 解得 斜率为 故答案为：（1），；（2）；（3）。 2 学科网（北京）股份有限公司 $