精品解析：山东省职教高考2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

山东省职教高考2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数大于或等于零及分数的分母不等于零，求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则需满足且，解得且， 所以数的定义域是， 故选：D. 3. 在中，已知，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰非直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式得到一个角为直角即可判定. 【详解】由两角差的余弦公式可知：原式， ，即， 所以该三角形是直角三角形； 故选：A. 4. 在正方形中，，则向量，是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 平行向量 C. 相等向量 D. 模相等的向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的基本概念、平行向量、相等向量和模的概念求解. 【详解】选项A：向量的起点是，向量的起点是，A选项错误； 选项B：与的方向既不相同也不相反，它们不是平行向量，B选项错误； 选项C：与方向不同，所以它们不是相等向量，C选项错误； 选项D：因为是正方形对角线与的交点，所以， 所以，即向量与是模相等的向量，D选项正确. 故选：D. 5. 已知，下列表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的化简及实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误， 故选：B. 6. 已知三个数成等比数列，和为13，积为27，则公比等于（ ） A. 3 B. C. 或 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质设出这三个数，再结合已知条件列出方程，最后求解方程得到公比的值. 【详解】设这三个数分别为，，，（其中）， 已知这三个数的积为，则，所以，可得， 因为这三个数的和为，所以，得， 即，解得或， 故选：D. 7. 已知奇函数的定义域为，在区间上的图像如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数图像的性质，分析求解即可. 【详解】由图可知函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数为奇函数，其图像关于原点对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是， 故选：A. 8. 已知直线l在y轴上的截距是，且与直线平行，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可设直线l的方程是，再将点代入即可求解. 【详解】因为线l与直线平行，所以可设直线l的方程是， 将点代入可得，， 解得， 则直线l的方程是． 故选：B． 9. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）． A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的边长求出原图形的边长，进而计算原图形的周长. 【详解】作出该直观图的原图形，是一个平行四边形， 因为直观图中的线段轴， 所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，则， 点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，则， 所以， 则四边形的长度为. 故选：B. 10. 已知的解集为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解. 【详解】因为的解集为， 所以，且为方程的根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 11. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数值的符号判定所在象限角即可. 【详解】根据题意有， 所以可能为第二或第三象限角或在x轴负半轴上， 又因为， 所以可能为第二或第四象限角， 所以为第二象限角. 故选:B. 12. 已知集合，，若，则实数等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系即可求解. 【详解】因为集合，，又， 所以当时，则无解，故； 当时，则，解得. 综上，或. 故选：D. 13. 若函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图象求出的范围，再判断二次函数的图象即可. 【详解】由函数的图象可得，， 故在二次函数，，可得抛物线图象开口向下， 由，可得抛物线与轴的交点在到之间， 又对称轴为，故选项中只有C选项符合要求. 故选：C. 14. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程的形式以及充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则， 解得，故必要性不成立. 若“”，则方程表示双曲线，故充分性成立， 即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 如图所示，边长为2的正方形中，点是线段上的任一点，设，则的面积表示为的函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】在中，以为底，求出面积，由的位置得的范围，据此可求解. 【详解】在正方形中，点是线段上的任一点，则到的距离为2， 在中，以为底，所以面积. 当点与重合时，；当点与重合时，， 所以的面积表示为的函数是，. 故选：B 16. 已知，向量，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 又，所以. 故选：A. 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离为2，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立关于的方程求解. 【详解】抛物线，其焦点坐标为，准线方程为. 已知点在抛物线上，点到轴的距离为，则点的横坐标， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，解得. 故选：C. 18. 如图所示，在中，是的中点，，，则的值是（ ） A. B. 16 C. 10 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量之间的关系，结合向量的模长公式，联立方程，即可求解. 【详解】因为是的中点，所以， 因为，即，所以， 即； 又因为，，即， 所以，即， 联立方程组， 解得：， 故选：A. 19. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的周长等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，即， 所以的周长等于. 故选：D. 20. 如图所示，在正方体中，有下列说法：①直线与直线相交；②直线与直线相交；③直线与直线异面；④直线与直线平行．其中说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合正方体利用直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】①在正方体中，平面，平面，且平面平面， 直线与直线不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，故直线与直线是异面直线，因此①错误； ②在正方体中，平面，平面，且平面平面， 直线与直线不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，是异面直线，因此②错误； ③在正方体中，平面，平面，且平平面平面， 与不在同一平面内，且这两直线既不平行又不相交，故直线与直线是异面直线，因此③正确； ④在正方体中，，由平行公理可得，因此④正确. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知点，，若直线垂直于直线，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由两直线垂直求出直线的斜率，最后由两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率， 直线垂直于直线， 所以直线的斜率为，又点，， 可得，解得实数. 故答案为：. 22. 圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式即可得解. 【详解】依题意，得该圆柱的体积为. 故答案为：. 23. 已知角 的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角 的终边过点， 所以； 又因为，角 的终边在第二象限内， 且，， 则. 故答案为：. 24. 已知向量，是与方向相同的单位向量，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及单位向量的定义计算即可. 【详解】由题意可设， 则， 即与方向相同的单位向量的坐标是. 故答案为：. 25. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则该双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意作出图形，求出以为直径的圆的方程，将两圆的方程联立，可得，的坐标，从而得，再根据可求解. 【详解】 如图，设右焦点，则以为直径的圆的方程为， 由，可得， 即，，所以. 又因为，所以，即， 解得，所以，即. 故答案为： 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数（且）是指数函数，，且． （1）求实数和的值； （2）若不等式，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据指数函数的定义列出，求出值，利用求出值即可得解. （）根据对数函数的单调性列出不等式组即可得解. 【小问1详解】 函数（且）是指数函数，且， 则， 解得或（舍）， 此时函数（且）， ，解得或（舍）， 综上所述，，. 【小问2详解】 因为，所以函数在定义域上为增函数， 不等式， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 27. 如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可. 【小问1详解】 取中点，连接，如图： 因为四边形为矩形，是中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，因为，所以. 28. 有一款官方指导销售价为每台2000元的空调，在甲、乙两家超市均有销停，甲超市促销方法为：买一台单价为1950元，买两台单价为1900元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少50元，但每台单价不低于1500元：乙超市一律按原价的销售．某单位现需购买12台此款空调，试通过计算判断去哪一家超市购买花费较少． 【答案】甲超市 【解析】 【分析】根据题意列表达式，分析求解即可. 【详解】设购买台电脑时，每台的单价为元， 根据促销规则可得：， 当时，（元）， 因为，所以此时每台单价为元， 则在甲超市购买12台此款空调需要花费（元）； 在乙超市购买12台此款空调需要花费（元）， 因为， 所以去甲超市购买花费较少. 29. 已知函数（其中，，）的周期为，且图象上的一个最高点为． （1）求函数的解析式； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，且，求角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式； （2）将代入解析式，结合角的范围求出角的大小. 【小问1详解】 ∵函数图象上的一个最高点为，∴， ∵函数的周期为，∴周期，解得，则， 把最高点代入，可得， 即，所以，即， 又因为，所以当时，， 综上，函数的解析式为. 【小问2详解】 将代入中， 可得，即， 可化为，即， 因为是三角形内角，即，所以， 则，解得. 30. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于A，B两点，且A，B在以为圆心的圆上，求实数k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的短轴长可求解b的值，由离心率可求解a的值，代入椭圆的标准方程即可求解. （2）设A，B两点，联立直线与椭圆的方程，求出的值，再由点在圆上，将A，B两点代入圆的方程即可求解k的值. 【小问1详解】 椭圆的短轴长为4， 所以， 又因为离心率为， 所以， 解得， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设点， 联立直线与椭圆的方程有， 消y得，， 由韦达定理可得，，， 设以为圆心的圆的半径为r， 则以为圆心的圆的标准方程为， 因为A，B在圆上， 所以有，， 两式相减有，， 又因为， 所以有， 整理得， 因为， 所以， 因为， 所以有， 整理得，， 即，解得， 即或， 所以实数k的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省职教高考2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰非直角三角形 4. 在正方形中，，则向量，是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 平行向量 C. 相等向量 D. 模相等的向量 5. 已知，下列表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三个数成等比数列，和为13，积为27，则公比等于（ ） A. 3 B. C. 或 D. 或3 7. 已知奇函数的定义域为，在区间上的图像如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l在y轴上的截距是，且与直线平行，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）． A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10. 已知的解集为，则（ ） A. B. C. D. 1 11. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 12. 已知集合，，若，则实数等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 0或1 13. 若函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图所示，边长为2的正方形中，点是线段上的任一点，设，则的面积表示为的函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 已知，向量，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离为2，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 18. 如图所示，在中，是的中点，，，则的值是（ ） A. B. 16 C. 10 D. 2 19. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的周长等于（ ）． A. B. C. D. 20. 如图所示，在正方体中，有下列说法：①直线与直线相交；②直线与直线相交；③直线与直线异面；④直线与直线平行．其中说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知点，，若直线垂直于直线，则实数________． 22. 圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 23. 已知角 的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 24. 已知向量，是与方向相同的单位向量，则的坐标是________． 25. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数（且）是指数函数，，且． （1）求实数和的值； （2）若不等式，求实数的取值范围． 27. 如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）． 28. 有一款官方指导销售价为每台2000元的空调，在甲、乙两家超市均有销停，甲超市促销方法为：买一台单价为1950元，买两台单价为1900元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少50元，但每台单价不低于1500元：乙超市一律按原价的销售．某单位现需购买12台此款空调，试通过计算判断去哪一家超市购买花费较少． 29. 已知函数（其中，，）的周期为，且图象上的一个最高点为． （1）求函数的解析式； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，且，求角的大小． 30. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于A，B两点，且A，B在以为圆心的圆上，求实数k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $