微专题8 极化恒等式与等和线 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦极化恒等式与等和线两大向量核心考点，按“基础梳理-例题精析-强化训练”逻辑架构知识点，通过考点系统梳理、解题方法指导、高考真题与模拟题训练等环节，帮助学生突破向量数量积与基底系数和的难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于专题深度聚焦与分层训练结合，创新采用“几何意义解读+分类例题示范”教学法，如极化恒等式结合三角形模式推导，等和线按k值范围分类讲解，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破，助力学生提升向量综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微专题8 极化恒等式与等和线 一、基础知识 1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则: ①·=(||2-||2)(平行四边形模式); ②·=||2-||2(三角形模式). 2.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P三点共线;反之亦然. 3.平面向量等和线定理 平面内一组基底,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1; (2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1); (3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞); (4)当等和线过O点时,k=0. 二．典型例题 1.利用极化恒等式求向量的数量积 例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=　　　　.  (2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P横坐标的取值范围是　　　　.  训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的最小值为　　　　.  (2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若·=-7,则·=　　　　.  2.利用等和线求基底系数和的值 例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.1 B. C. D. (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.  训练2 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D.1 【精准强化练】 一、单选题 1.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,在四边形MNPQ中,若=,||=6,||=10,·=-28,则·=(　　) A.64 B.42 C.36 D.28 3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,且=λa+μb,则λ+μ=(　　) A.1 B. C. D. 4.(2025·泉州质检)已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足++=0,点P是圆内一点,则·+·的取值范围是(　　) A.[-4,14) B.(-4,14] C.[-4,4) D.(-4,4] 5.(2025·沧州模拟)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内(含边界)任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 6.AB为☉C:(x-2)2+(y-4)2=25的一条弦,|AB|=6,若点P为☉C上一动点,则·的取值范围是(　　) A.[0,100] B.[-12,48] C.[-9,64] D.[-8,72] 7.(2025·广州调研)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点.若向量=m+n(m,n∈R),则m+n的取值范围是(　　) A.(1,2] B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5] 二、多选题 8.在△ABC中,A=30°,BC=2,则·的值可能是(　　) A.0 B.2 C.4 D.13 9.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2.由①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD=8,·=48,E为BD中点,且=2,则(　　) A.AE=8 B.AE=4 C.·=240 D.·=120 三、填空题 10.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧上运动,若=x+y(x,y∈R),则x+y的最大值是　　　　.  11.(2025·长沙模拟)已知点C为扇形AOB的弧上任意一点,且∠AOB=60°,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是　　　　.  12.(2025·安庆调研)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AB=2,CD=2,EF=1,点P满足·=0,则·的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题8 极化恒等式与等和线 一、基础知识 1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则: ①·=(||2-||2)(平行四边形模式); ②·=||2-||2(三角形模式). 2.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P三点共线;反之亦然. 3.平面向量等和线定理 平面内一组基底,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1; (2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1); (3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞); (4)当等和线过O点时,k=0. 二．典型例题 1.利用极化恒等式求向量的数量积 例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=　　　　.  (2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P横坐标的取值范围是　　　　.  答案　(1)3　(2)[-5,1] 解析　(1)法一(公式法)　在正方形ABCD中,E为AB的中点,且AB=2, 所以||=||=, 的夹角为∠DEC, 且cos ∠DEC==, 所以·=××=3. 法二(基底法)　在正方形ABCD中,E为AB的中点,且AB=2, 所以·=(+)·(+) =(+)·(-)=||2-||2 =4-1=3. 法三(坐标法)　以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向, 建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,2),E(1,0),C(2,2), 所以=(1,2),=(-1,2), 所以·=1×(-1)+2×2=3. 法四(极化恒等式)　设CD的中点为F, 则EF=BC=2, 由极化恒等式得·=||2-||2=22-×22=3. (2)法一(坐标法)　设P(x,y), 则=(-12-x,-y), =(-x,6-y),由·≤20, 得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20, 即(x+6)2+(y-3)2≤65, 所以点P为圆(x+6)2+(y-3)2≤65上或其内部一点, 又点P在圆x2+y2=50上, 联立得 解得 即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图所示虚线部分). 易知-5≤x≤1. 法二(极化恒等式)　设AB的中点为E,则E(-6,3), 由极化恒等式知·=-=-45≤20,即≤65, 所以点P在以E为圆心,以为半径的圆上或其内部, 即圆E:(x+6)2+(y-3)2=65. 联立圆O:x2+y2=50与圆E:(x+6)2+(y-3)2=65得x=1,y=7或x=-5,y=-5. 易求得圆O与x轴的交点为(-5,0),(5,0),所以点P横坐标的取值范围是[-5,1]. 训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的最小值为　　　　.  (2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若·=-7,则·=　　　　.  答案　(1)-6　(2)9 解析　(1)如图,取BC中点D, 连接AD,PD. 可知AD=2,由平行四边形法则知+=2, 则·(+)=2·. 在△PAD中,取AD的中点E,连接PE, 则AE=,由极化恒等式得, 2·=2(-)=2(-3). 因为P为△ABC所在平面内一点, 所以当点P与点E重合时,即PE=0时,有最小值,最小值为-6. (2)法一　由极化恒等式可得·=-=-7,解得||=8, 故由极化恒等式可得·=-=9. 法二　在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5, ∴+=0. ·=-7, 则·=(+)·(+) =+·+·+· =-·(+)- =32-=-7, ∴=16, ∴||=||=4, ∴·=(+)·(+) =·+·+·+ =-+·[-(+)]+ =-42+0+52=9. 2.利用等和线求基底系数和的值 例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.1 B. C. D. (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.  答案　(1)B　(2) 解析　(1)法一　∵E为线段AO的中点, ∴=(+)= =+=λ+μ, ∴λ=,μ=,则λ+μ=. 法二(等和线法)　 如图,AD为以,为基底值是1的等和线,过E作AD的平行线, 设λ+μ=k, 则k=. 由图易知=,故选B. (2)法一　由题意作图如图. ∵在△ABC中,=+=+ =+(-) =-+=λ1+λ2, ∴λ1=-,λ2=.故λ1+λ2=. 法二(利用等和线)　 如图,过点A作=,连接DF. 设AF与BC的延长线交于点H, 如图,BH为以,为基底值是1的等和线, 设λ1+λ2=k,则k=, 由图易知,=.因此λ1+λ2=. 规律方法　利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线; (2)平移该线,作出满足条件的等和线; (3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值. 训练2 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D.1 答案　A 解析　法一　设=t, 则==(+)=+=+(-) =+, ∴λ=-,μ=,∴λ+μ=. 法二(等和线法)　如图,BC为以,为基底值是1的等和线,过N作BC的平行线,设λ+μ=k, 则k=. 由图易知,=,故选A. 【精准强化练】 一、单选题 1.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　由极化恒等式得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]=(|a+b|2-|a-b|2)=×(10-6)=1. 2.如图,在四边形MNPQ中,若=,||=6,||=10,·=-28,则·=(　　) A.64 B.42 C.36 D.28 答案　C 解析　由·=- =36-=-28, 解得=64,所以=64, 所以·=·=-=100-64=36. 3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,且=λa+μb,则λ+μ=(　　) A.1 B. C. D. 答案　A 解析　(等和线法)如图,作=,延长CD与AG相交于G, 因为C,F,G三点共线,所以λ+μ=1.故选A. 4.(2025·泉州质检)已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足++=0,点P是圆内一点,则·+·的取值范围是(　　) A.[-4,14) B.(-4,14] C.[-4,4) D.(-4,4] 答案　A 解析　由++=0得+=, 在平行四边形ABOC中,OB=OC,故易知平行四边形ABOC是菱形,且BC=2. 设菱形ABOC对角线的交点为E, 由极化恒等式得·=-=-1, ·=-=-3, 所以·+·=2-4. 因为P是圆内一点,所以0≤||<3, 所以-4≤2-4<14, 即-4≤·+·<14.故选A. 5.(2025·沧州模拟)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内(含边界)任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 答案　C 解析　过点P作GH∥BC,分别交AC,AB的延长线于点G,H,过点D作C'B'∥GH,分别交AC,AB的延长线于点C',B',则=x+y,且x+y=1. 当点P位于点D处时,G,H分别位于C',B'处, ∵△BCD与△ABC的面积之比为2, ∴AC'=3AC,AB'=3AB, 此时=,=, ∴=x+y=x+y =x·3+y·3=μ+λ, ∴μ=3x,λ=3y,即λ+μ=3x+3y=3. 当点P位于点A处时,显然有λ+μ=0, ∴λ+μ的取值范围是[0,3].故选C. 6.AB为☉C:(x-2)2+(y-4)2=25的一条弦,|AB|=6,若点P为☉C上一动点,则·的取值范围是(　　) A.[0,100] B.[-12,48] C.[-9,64] D.[-8,72] 答案　D 解析　如图,取AB中点为Q, 连接PQ. ∴+=2, -=, ∴·=[(+)2-(-)2]=(4||2-||2). 又∵||=6,|CQ|==4, ∴·=||2-9, ∵点P为☉C上一动点, ∴|PQ|max=5+|CQ|=9, |PQ|min=5-|CQ|=1, ∴·的取值范围为[-8,72]. 7.(2025·广州调研)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点.若向量=m+n(m,n∈R),则m+n的取值范围是(　　) A.(1,2] B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5] 答案　C 解析　连接BF,过线段BC的中点P1作BF的平行线,交AB的延长线于点G, 分别以D,C为圆心,1为半径作圆, 过AB延长线上点H作平行于BF的直线HP2,且与圆D相切于点P2,连接AP1,AP2,如图所示. 设=m+n, 由等和线定理可知m+n===2, 此时m+n取最小值,点P位于点P1处; 同理,设=m+n, 由等和线定理可知m+n==5, 此时m+n取最大值,点P位于点P2处. 综上可知,m+n∈[2,5]. 二、多选题 8.在△ABC中,A=30°,BC=2,则·的值可能是(　　) A.0 B.2 C.4 D.13 答案　BC 解析　因为A=30°,BC=2,所以=4, 则△ABC外接圆的半径为2. 如图所示,圆O的半径为2,BC是圆O的一条弦,点A在圆O的优弧上,D是线段BC的中点,连接DO并延长交圆O于点E. 因为=+,=+=-, 所以·=-=-1. 因为点A在圆O的优弧上, 所以1<||≤||=2+, 所以·的取值范围是(0,6+4].结合选项可得选BC. 9.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2.由①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD=8,·=48,E为BD中点,且=2,则(　　) A.AE=8 B.AE=4 C.·=240 D.·=120 答案　AC 解析　因为·=48,BD=8, 由极化恒等式得 ·= ==AE2- =AE2-16=48, 所以AE=8, 又2=, 所以EC=2AE=16, 由极化恒等式得 ·= ==CE2-=256-16=240. 三、填空题 10.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧上运动,若=x+y(x,y∈R),则x+y的最大值是　　　　.  答案　2 解析　(等和线法)如图所示,设x+y=k,则直线AB为以,为基底k=1的等和线,所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心O最远,即此时k取得最大值,易知OE⊥AB, 因为OA=1,∠AOB=, 所以OE=,则k===2, 即x+y的最大值为2. 11.(2025·长沙模拟)已知点C为扇形AOB的弧上任意一点,且∠AOB=60°,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是　　　　.  答案　 解析　法一　设λ+μ=k, 如图,当C位于点A或点B时,A,B,C三点共线,所以k=λ+μ=1; 由等和线定理可知,当点C运动到的中点时,λ+μ最大,k=λ+μ==, 所以λ+μ∈. 法二　设圆O的半径为1,由已知可设O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过O作x轴的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 其中A,B(1,0),C(cos θ,sin θ), 其中∠BOC=θ,θ∈. 由=λ+μ(λ,μ∈R),可得(cos θ,sin θ)=λ+μ(1,0), 整理得λ+μ=cos θ,λ=sin θ, 解得λ=,μ=cos θ-, 则λ+μ=+cos θ- =θ+cos θ=. 又θ∈,所以θ+∈, ∈, 当且仅当θ=时取到最大值1, 当θ=0或θ=时,取到最小值, 所以λ+μ∈. 12.(2025·安庆调研)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AB=2,CD=2,EF=1,点P满足·=0,则·的最大值为　　　　.  答案　2 解析　因为=+,=+, 又点F分别是CD的中点, 所以=-, 所以=-, ·=(+)·(-)=-=||2-=||2-2, 又·=0,所以PA⊥PB, 又点E是AB的中点, 所以PE=AB=1, 因为=-, 所以=(-)2=-2·+, 即=2·, 设<,>=θ,||=x, 则x2=2×1×x×cos θ, 所以x=2cos θ, 所以·=x2-2=4cos 2θ-2=2cos 2θ, 所以当2θ=0即θ=0时,cos 2θ有最大值1, 即·有最大值为2 . 学科网（北京）股份有限公司 $