专题二十六 概率 讲义 2026年中考数学一轮复习

该初中数学中考复习教案聚焦“概率”专题，覆盖中考核心考点包括随机事件判断、概率意义、公式应用、几何概率、列表与树状图法、游戏公平性分析及频率估计概率，按“概念理解-计算方法-实际应用”逻辑架构知识体系。设计“题型分类梳理-典例方法精讲-变式真题训练-课后综合巩固”教学流程，通过真题例题解析突破概率计算与应用难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“分层突破+素养导向”的教学策略，如列表法与树状图法例题通过列表展示所有可能结果，培养学生的推理意识和抽象能力。设置基础过关、能力提升、挑战突破三级练习，结合中考真题即时反馈，确保学生高效掌握概率应用，教师可灵活调整复习节奏，有效提升学生应考能力和数学思维。

专题二十六 概率 【题型一】随机事件 【例1】（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【分析】分析可能出现的情况，得出必然事件． 【解答】解：摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球， ∴至少有1个球是红球， 故选：C． 【变式2】（2025•扬州）下列说法不正确的是（　　） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定 【分析】根据随机事件，全面调查与抽样调查的定义，折线统计图及方差的意义进行判断即可． 【解答】解：明天下雨是随机事件，则A不符合题意， 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式，则B符合题意， 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，则C不符合题意， 若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙组数据更稳定，则D不符合题意， 故选：B． 【变式3】（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（　　） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字， 向上两面的数字和为5是随机事件，则A不符合题意， 向上两面的数字和大于1是必然事件，则B符合题意， 向上两面的数字和大于12是不可能事件，则C不符合题意， 向上两面的数字和为偶数是随机事件，则D不符合题意， 故选：B． 【题型二】概率的意义 【例1】（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”， ∴只能有一个面标有“3”， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 【变式1】（2025•西宁）下列说法正确的是（　　） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是S甲2＝0.1，S乙2＝0.3，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【分析】根据概率，方差等，逐一进行判断即可． 【解答】解：A．概率很大的事件不一定会发生，故A选项错误； B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件，故B选项正确； C．∵S甲2＝0.1，S乙2＝0.3， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误； D．某抽奖活动的中奖概率为，不表示抽奖10次就有1次中奖，故D选项错误； 故选：B． 【变式2】（2024•连云港）下列说法正确的是（　　） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【分析】分别利用概率的意义，随机事件的定义分析得出即可． 【解答】解：A、10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到奖票的概率都一样大，故此选项不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故此选项不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故此选项符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次不一定有1次正面朝上，故此选项不符合题意． 故选：C． 【题型三】概率公式 【例1】（2025•兰州）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画出树状图，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：如图， 由图可知，共有9种可能的情况，符合条件的只有1种， ∴两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是． 故选：A． 【变式1】（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 【变式2】（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． 【题型四】几何概率 【例1】（2025•广东）如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，证明出△ABC是等腰直角三角形，求出AD＝BD＝CD，然后得到AB2，然后分别求出S扇形ABC和S圆，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD＝BD＝CD， ∴AB2， ∴S扇形ABCπ，2π， ∴该粒米落在扇形内的概率为， 故选：D． 【变式1】（2024•威海）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】设⊙O的半径为r，先利用余弦的定义求出∠COE＝60°，则∠BOE＝30°，再证明四边形OCED为矩形得到S△OCE＝S△ODE，所以阴影部分的面积＝S扇形BOE，然后根据几何概率的求法得到点P落在阴影部分的概率． 【解答】解：设⊙O的半径为r， ∵CE⊥AO， ∴∠OCE＝90°， ∵点C是AO的中点， ∴OCOAOE， 在Rt△OCE中，∵cos∠COE， ∴∠COE＝60°， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°， ∵ED⊥OB， ∴∠ODE＝90°， ∵∠COD＝∠OCE＝90°， ∴四边形OCED为矩形， ∴S△OCE＝S△ODE， ∴阴影部分的面积＝S扇形BOE， ∴点P落在阴影部分的概率． 故选：B． 【变式2】（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB＝2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的边长，即可求出几何概率． 【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a， 则小正方形的边长为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 【变式2】（2025•雅安）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　40°　 ． 【分析】利用一等奖区域所对的圆心角度数＝360°×一等奖区域所占的分数求解即可． 【解答】解：一等奖区域所对的圆心角度数为：360°40°． 故答案为：40°． 【题型五】列表法与树状图法 【例1】（2025•陕西）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　　 ； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种， ∴从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种， ∴甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为． 【例2】（2025•南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4．先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是　　 ； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【分析】（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， ∴取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）由树状图可知，取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， ∴取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 【变式1】（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　　 ． 【分析】得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果， 所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为， 故答案为：． 【变式2】（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为 　　 ； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵现有A，B，C共3部电影， ∴甲同学选择A电影的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为． 【变式3】（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是B ； A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【分析】（1）根据题意，可知随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件； （2）根据题意画出相应的树状图，然后即可求得两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【解答】解：（1）由题意可得， 若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件， 故答案为：B； （2）设有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别用A、B、C、D表示， 树状图如下所示： 由上可得，一共有12种等可能性，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的可能性有2种， ∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 【题型六】游戏公平性 【例1】（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【变式1】（2025•厦门校级模拟）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（　　） A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对 【分析】把所有可能出现的情况列出来，分别求出它们的概率即可解答． 【解答】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之和为偶数和奇数的情况如下表： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表知，甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种， ∴两者之和为偶数的概率为， 则两者之和为奇数的概率为1， ∴此游戏是公平的， 故选：A． 【变式2】（2025•山西模拟）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，﹣2）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（　　） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【分析】列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：如图： 共有16种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有6种，和为偶数的情况有10， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 【变式3】（2025•碑林区校级模拟）孪生素数就是相差2的素数对，是否存在无限多对孪生素数，这就是孪生素数猜想，它是数论中的核心问题．2013年华人数学家张益唐在孪生素数问题上取得重大突破．小明同学制作了四张背面完全相同的卡片，正面分别写上四个最小的素数2，3，5，7，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，则正面数字是偶数的概率是 　　 ． （2）小明和小颖做游戏，从以上四张卡片中，随机抽取两张卡片，若两张卡片上的数字是孪生素数，则小明获胜；否则，小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两张卡片上的数字是孪生素数有4种，接着根据概率公式可计算出小明获胜的概率与小颖获胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【解答】解：（1）从这四张卡片中随机抽取一张，正面数字是偶数的概率； 故答案为：； （2）不公平． 理由如下： 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是孪生素数有4种， 所以小明获胜的概率，小颖获胜的概率＝1， 因为， 所以上述游戏不公平． 【题型七】利用频率估计概率 【例1】（2025•贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55， 故选：B． 【变式1】（2024•贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【分析】根据概率的定义判断即可． 【解答】解：A、小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意； B、小星定点投篮1次，不一定可以投中，故不符合题意； C、小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意； D、小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024•扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　0.53　 .（精确到0.01） 【分析】根据表格中的数据可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，据此可得出结论． 【解答】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53． 故答案为：0.53． 【课后练习】 1．（2025•北京）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种， ∴摸出的球是白球的概率为． 故选：A． 2．（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 3．（2025•潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出相邻两个方格所涂颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图为： 共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的结果数为2， 所以相邻两个方格所涂颜色不同的概率． 故选：C． 4．（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴． 故选：A． 5．（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故选：B． 6．（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用树状图表示从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为50元的有2种， 所以两球上金额的和为50元的概率是． 故选：C． 7．（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为　　 ． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好使得关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数解的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，因为b2﹣4a≥0，所以能使该一元二次方程有实数根占3种， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为， 故答案为：． 8．（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 2 3 6 1 （1，2） （1，3） （1，6） 4 （4，2） （4，3） （4，6） 5 （5，2） （5，3） （5，6） 共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），共4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率为． 故答案为：． 9．（2025•雅安）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求m的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【分析】（1）由选择“非遗传承人”的人数除以所占百分比即可； （2）求出“今天我当家”的百分比即可求出m，求出求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，补全补全条形图； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有2种，再由概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）本次随机调查学生的人数为10÷25%＝40（名）， 答：此次调查了40名学生； （2）m%20%， ∴m＝20． 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为40﹣（10+12+8）＝10（人）， 补全条形图如下： （3）把“甲、乙、丙、丁”分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有2种，即AB、BA， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为． 10．（2025•云南）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院． 游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P． 【分析】（1）画树状图，即可得出结论； （2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有6种等可能的结果总数，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）； （2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即（1，1），（2，2）， ∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P． 11．（2025•青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 【分析】用树状图表示印有“生”、“旦”、“净”、“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：从印有“生”、“旦”、“净”、“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种， 所以抽取到的两张卡片中有“生”的概率为． 答：抽取到的两张卡片中有“生”的概率为． 12．（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 　　 ； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向， ∴从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种， ∴这两个小组研究方向不同的概率为． 13．（2025•淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　　 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字， ∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为． 14．（2025•盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表． 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面都朝上的频数m 18 37 61 78 103 118 141 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） 0.225 0.231 0.254 0.244 0.258 0.246 0.252 （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是　0.25　 .（精确到0.01） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）画树状图如下： 由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果， 所以2枚硬币正面都朝上的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十六 概率 【题型一】随机事件 【例1】（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【变式2】（2025•扬州）下列说法不正确的是（　　） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定 【变式3】（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（　　） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【题型二】概率的意义 【例1】（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”， ∴只能有一个面标有“3”， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 【变式1】（2025•西宁）下列说法正确的是（　　） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是S甲2＝0.1，S乙2＝0.3，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【变式2】（2024•连云港）下列说法正确的是（　　） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【题型三】概率公式 【例1】（2025•兰州）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画出树状图，再利用概率公式求解即可． 【解答】解：如图， 由图可知，共有9种可能的情况，符合条件的只有1种， ∴两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是． 故选：A． 【变式1】（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 【题型四】几何概率 【例1】（2025•广东）如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，证明出△ABC是等腰直角三角形，求出AD＝BD＝CD，然后得到AB2，然后分别求出S扇形ABC和S圆，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD＝BD＝CD， ∴AB2， ∴S扇形ABCπ，2π， ∴该粒米落在扇形内的概率为， 故选：D． 【变式1】（2024•威海）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•雅安）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　 　 ． 【题型五】列表法与树状图法 【例1】（2025•陕西）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　　 ； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸出标有数字1的小球的结果有1种， ∴从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种， ∴甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为． 【例2】（2025•南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4．先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是　　 ； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【分析】（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， ∴取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）由树状图可知，取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， ∴取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 【变式1】（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为　 　 ． 【变式2】（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为 　 　 ； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【变式3】（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 ； A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【题型六】游戏公平性 【例1】（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【变式1】（2025•厦门校级模拟）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（　　） A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对 【变式2】（2025•山西模拟）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，﹣2）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（　　） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【变式3】（2025•碑林区校级模拟）孪生素数就是相差2的素数对，是否存在无限多对孪生素数，这就是孪生素数猜想，它是数论中的核心问题．2013年华人数学家张益唐在孪生素数问题上取得重大突破．小明同学制作了四张背面完全相同的卡片，正面分别写上四个最小的素数2，3，5，7，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，则正面数字是偶数的概率是 　 　 ． （2）小明和小颖做游戏，从以上四张卡片中，随机抽取两张卡片，若两张卡片上的数字是孪生素数，则小明获胜；否则，小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【题型七】利用频率估计概率 【例1】（2025•贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55， 故选：B． 【变式1】（2024•贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【变式2】（2024•扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　 　 .（精确到0.01） 【课后练习】 1．（2025•北京）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•潍坊）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•成都）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为　 ． 8．（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　 ． 9．（2025•雅安）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求m的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率． 10．（2025•云南）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院． 游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y．若x＝y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P． 11．（2025•青岛）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． 12．（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 　 　 ； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 13．（2025•淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 14．（2025•盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表． 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面都朝上的频数m 18 37 61 78 103 118 141 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） 0.225 0.231 0.254 0.244 0.258 0.246 0.252 （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是　 　 .（精确到0.01） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $