6. 4生活中的圆周运动（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦生活中的圆周运动核心知识点，系统梳理车辆转弯（火车、汽车）、拱形桥与航天器失重、绳杆模型、离心运动等应用场景，构建从水平面到竖直面圆周运动的递进学习支架，衔接向心力公式与实际问题分析。 资料以模型建构为核心，通过“题型导航-重难讲解-典例探究-跟踪训练”结构，融入火车转弯、洗衣机脱水等生活实例，培养学生运动与相互作用观念及科学推理能力。课中辅助教师分层教学，课后通过能力培优练与高考链接，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

4. 生活中的圆周运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯） 1 题型2 汽车过拱形桥与航天器中的失重现象 8 题型3 绳球类杆球类模型 12 题型4 离心运动 18 【能力培优练】 23 【链接高考】 36 【重难题型讲解】 题型1 （火车转弯、汽车转弯） 1、汽车转弯问题模型如下 （1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。 （2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。 2、火车转弯模型如下 （1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。 速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力， 当F合=Fn时，。 （2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。 （3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。 ★特别提醒 车辆转弯问题的解题策略 （1）对于车辆转弯问题，一定要搞清楚合力的方向，指向圆心方向的合外力提供车辆做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。 （2）当外侧高于内侧时，向心力由车辆自身的重力和地面（轨道）对车辆的摩擦力（支持力）的合力提供，大小还与车辆的速度有关。 【探究归纳】车辆转弯属于水平面圆周运动，火车靠外轨高于内轨的重力与支持力合力提供向心力，减小轮缘与轨道挤压；汽车靠静摩擦力提供向心力，转弯速度过大时静摩擦力不足会侧滑，需结合分析安全行驶速度。 【典例1-1】我国高速铁路运营里程居世界首列。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、轨道的支持力和向心力 B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 C．当火车上乘客增多时，若列车仍以的速度通过该圆弧轨道，内轨会受到轮缘的侧向挤压 D．火车转弯速度小于时，车轮轮缘受到内轨的侧向压力 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，列车受重力、轨道的支持力，由这两个力的合力提供列车做圆周运动的向心力，如图所示 故A错误； B．当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，效果最好，所以实际转弯速度不是越小越好，故B错误； C．若列车以的速度通过该圆弧轨道，由 可得，即只要满足转弯时的速度为，列车就不会对内外轨产生挤压，与质量无关，故C错误； D．火车转弯速度小于时，内轨对车轮轮缘的压力沿接触面指向轮缘向外，故D正确。 故选D。 【典例1-2】（多选）如图所示为一段公路转弯处的地图，3D地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令。在不违反交通规则的前提下，下列说法正确的是（　　） A．汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力 B．若弯道路面是水平的，为防止侧滑，汽车应低速转弯 C．若弯道路面是倾斜的，为了防止汽车侧滑，应为内（东北）高外（西南）低 D．若弯道路面是倾斜的，为了防止汽车侧滑，应为外（西南）高内（东北）低 【答案】BD 【详解】A．如果弯道是水平的，则汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力作用，由摩擦力提供向心力，故A错误； B．若弯道路面是水平的，由静摩擦力提供向心力，根据 可知速度越大，需要提供的静摩擦力越大，所以为了防止侧滑，汽车应低速转弯，故B正确； CD．如果弯道是倾斜的，重力和支持力的合力可以提供向心力，而向心力指向圆心，所以3D地图上应标出外（西南）高内（东北）低，故C错误，D正确； 故选BD。 【典例1-3】(1)质量为2000kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为14000N。汽车经过半径为50m的弯路时。如果车速达到72km/h。这辆车会不会发生侧滑？请通过计算说明。 (2)如图所示是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为15°，不考虑空气阻力，g取10m/s2。为方便计算，取sin15°≈0.259=0.3，cos15°≈0.966=1。 ①某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少（结果保留根号）？ ②若该运动员骑自行车以18m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少（结果保留整数）？方向如何？ 【详解】（1）当汽车在水平面上以做圆周运动，所需要的向心力 故汽车会发生侧滑； （2）①设人和自行车的总质量为m，若不受摩擦力作用则由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 ②当自行车速为 此时重力和支持力的合力不足以提供向心力，斜面对人和自行车施加沿斜面向下的静摩擦力，其受力分析如图所示 在y轴方向，根据平衡条件可得 在x轴方向，根据牛顿第二定律可得 联立解得 跟踪训练1如图甲所示，质量为的汽车在倾角为的路面上做匀速圆周运动，简化图如图乙所示，其中为圆周运动的圆心，圆周在水平面内，重力加速度为。当汽车以速率行驶时，恰好没有侧滑的趋势，下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中，受到重力、支持力、牵引力、阻力、向心力 B．汽车做圆周运动的半径 C．路面对汽车的支持力等于 D．当汽车的速率大于时，路面受到汽车侧向摩擦力的方向由A指向 【答案】C 【详解】A．汽车在圆轨道上做圆周运动，受到重力、支持力、牵引力、阻力，向心力是合力的作用效果，故A错误； BC．汽车在路面上刚好没有侧向摩擦力时的受力分析如图所示 根据牛顿第二定律有 解得 路面对汽车的支持力，故B错误，C正确： D．当汽车的速率大于时，汽车有向外运动的趋势，受力分析图如图所示 由牛顿第三定律可得，此时路面受到的侧向摩擦力的方向由指向A，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用 B．列车转弯过程中的向心加速度为gtanθ，方向与水平面的夹角为θ C．水杯与桌面间无摩擦 D．水杯内水面与桌面不平行 【答案】AC 【详解】B．设玩具小熊的质量为m，则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列车做水平面内圆周运动的向心力F（如图） 有mgtanθ=ma 可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为a=gtanθ 方向与水平面平行，所以B错误； A．列车的向心加速度a=gtanθ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车的轮缘对轨道无侧向挤压作用，所以A正确； C．水杯的向心加速度a=gtanθ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，则水杯与桌面间的静摩擦力为零，所以C正确； D．在杯内水面取一微小质量元，此质量元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a=gtanθ，可知水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ，与桌面平行，故D错误。 故选AC。 跟踪训练3如图所示，某同学在进行无人机操作训练时让质量为m的无人机，在距水平地面高度为h的水平面内以速率v0绕圆心O做半径为R的匀速圆周运动，O'为圆心O在水平地面上的投影，某时刻该飞机上释放一重物，不计空气对重物的作用力，重力加速度大小为g。求： (1)空气对无人机作用力的大小； (2)重物落地点与O'点的距离。 【详解】（1）设无人机的作用力F以竖直方向的夹角为α， ， 解得空气对无人机的作用力大小为 （2）重物落地的时间，得 重物的水平位移 根据几何关系，重物落地点与O'的距离 解得 题型2 汽车过航天器中的失重现象 1、汽车过拱形桥 （1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。 （2）汽车过拱形桥时，在最高点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 （3）汽车过凹形桥时，在最低点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。 ★特别提醒 处理圆周运动力学问题的一般思路 （1）确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心。 （2）根据几何关系求出轨道半径。 （3）对物体进行受力分析，确定向心力来源。 （4）根据牛顿第二定律列方程求解。 2、航天器中的失重现象 （1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。 （2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 【探究归纳】汽车过拱形桥最高点时，重力与支持力的合力提供向心力，满足，支持力小于重力，处于失重状态；航天器绕地飞行时，万有引力全部提供向心力，，支持力为零，处于完全失重状态。 【典例2-1】如图所示，一辆四轮汽车接连通过拱桥和凹陷路段。已知拱桥和凹陷路段可视为半径均为的弧形面，单只轮胎能承受的最大压力为车重的0.4倍，重力加速度为，汽车可视为质点，为保证汽车不脱离拱桥最高点且不爆胎，则汽车匀速行驶的速度大小应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设车恰好不脱离拱桥时速度为，则有 解得 设车恰好不爆胎时车速为，则有 解得 故为保证汽车不脱离拱桥最高点且不爆胎，综合可知车速度满足。 故选A。 【典例2-2】（多选）一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时速度为，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力是总重力的。已知骑手与摩托车总质量为，重力加速度大小取。则（　　） A．此时骑手处于失重状态 B．此时骑手处于超重状态 C．拱桥半径约为 D．拱桥半径约为 【答案】AD 【详解】AB．一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时，加速度方向向下，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力小于总重力，所以处于失重状态，故A正确，B错误； CD．根据牛顿第二定律可得 其中 代入数据解得拱桥半径为，故C错误，D正确。 故选AD。 【典例2-3】有一辆质量为900kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，不计空气阻力，。 (1)汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？ (2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？ 【详解】（1）汽车到达桥顶时速度为6m/s，根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 根据牛顿第三定律可得，汽车对桥的压力大小为。 （2）设汽车以速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力，根据牛顿第二定律可得 解得 跟踪训练1今年五一后，某校高一学生在研学实践时骑自行车在甘孜州内一条山路上匀速率行驶，地形如图所示，行驶过程中爆胎可能性最大的地段应是（　　） A．a处 B．b处 C．c处 D．d处 【答案】D 【详解】AC．在a处或c处，均为坡顶，有 则支持力，爆胎可能性均很低，故AC错误； BD．在b处或d处，均为坡底，有 则支持力 且半径越小，越大，越容易爆胎， 而b处比d处半径大，则d处车子所受最大，最容易爆胎，故B错误，D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，圆心分别为O1、O2的圆轨道AB、BC固定在竖直平面内，B点为两个圆轨道的最低点，O1A、O2C水平，且。 将光滑小球从A点由静止释放，则小球第一次经过B点前后瞬间，小球（　　） A．速度突然减小 B．角速度突然减小 C．向心加速度突然增大 D．受到轨道的支持力突然减小 【答案】BD 【详解】小球第一次经过B点时，因水平方向受力为零，可知速度不变，根据 因半径变大，则角速度突然减小；根据 可知向心加速度突然减小；根据 受到轨道的支持力突然减小。 故选BD。 跟踪训练3石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为。一辆质量为的汽车以恒定速率匀速通过该桥，Q点为桥最高点，，求： (1)该汽车通过桥时的角速度大小； (2)向心加速度大小； (3)汽车通过最高点时桥对汽车的支持力。 【详解】（1）该汽车通过桥时的角速度大小 （2）向心加速度大小 （3）在最高点，对车，由牛顿第二定律有 代入题中数据，解得汽车通过最高点时桥对汽车的支持力大小 方向竖直向上。 题型3 1、模型建立 （1）轻绳模型：小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。 （2）轻杆模型：小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。 2、模型分析 比较项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 过最高点的临界条件 小球恰能做圆周运动时，由 得v临= 小球恰能做圆周运动时，得v临=0。 讨论分析 ★特别提醒 对于竖直平面内的圆周运动，一般题目都会给出关键词“恰好”，当物体恰好过圆周运动最高点时，物体自身的重力完全充当向心力，，从而可以求出最高点的速度v=。 【探究归纳】竖直圆周运动的绳球、杆球模型，核心区别在于向心力的来源：绳球模型中绳仅能提供拉力，最高点临界速度为v=（重力完全提供向心力）；杆球模型中杆可提供拉力或支持力，最高点临界速度为 0，支持力可平衡重力，需结合受力分析列向心力公式求解。 【典例3-1】如图所示，轻杆长2l，中点O固定在水平转轴上，杆两端分别固定着质量分别为m、2m的两个小球。在转轴带动下轻杆在竖直平面内绕O点匀速转动，某时刻轻杆处于竖直方向且转轴在竖直方向上恰好不受杆的作用力。重力加速度为g，球的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轻杆处于竖直方向时转轴在竖直方向上恰好不受杆的作用力，可知质量为m的小球在最低点，质量为2m的小球位于最高点，则对m小球由牛顿第二定律 对2m的小球 其中T1=T2，解得 故选C。 【典例3-2】（多选）如图所示，小球a、b分别在轻质细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为R，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a经过最高点时的速度可能小于 B．小球b经过最高点时的速度可能小于 C．小球a经过最高点时，细绳对小球a可能没有力的作用 D．小球b经过最高点时，细杆对小球b一定有力的作用 【答案】BC 【详解】A．小球a用细绳，在最高点时，细绳只能提供拉力，根据向心力公式 因为 所以，故A错误； B．小球b用细杆，细杆可提供拉力或支持力，在最高点时，根据向心力公式 可正可负，当为支持力时，可以小于，故B正确； C．当小球a在最高点速度时，即细绳对小球a可能没有力的作用，故C正确； D．当小球b在最高点速度时，即细杆对小球b没有力的作用，故D错误。 故选BC。 【典例3-3】图甲是一游乐场西瓜飞椅游玩项目，其模型简化为图乙，转轴两侧对称，水平横杆半径，西瓜座椅和游客总质量，等效为大小不计的小球，悬线长，运动过程不计阻力，（取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)若转轴不转动，小球绕点在竖直面内左右摆动。 ①当小球通过最低点时的速度为时，悬线的拉力大小； ②当悬线与竖直方向的夹角时小球的速度为，此时悬线的拉力大小。 (2)若转轴匀速转动，稳定后悬线与竖直方向的夹角，转轴转动的角速度大小。 【详解】（1）①最低点时根据牛顿第二定律 解得                                          ②                           解得 （2）绕转动的半径     由 解得 跟踪训练1如图所示，两根等长轻绳下端均系在小球上，两轻绳的另一端分别系在一固定水平杆上的两点，与水平杆夹角均为。小球在最低点时，给小球垂直纸面的初速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做往复运动，某次小球运动到最低点时，轻绳从点断开，小球恰好在水平面内做匀速圆周运动（图虚线所示）。已知每根轻绳长，小球质量，，，则（　　） A．轻绳从点断开后，轻绳的拉力为 B．轻绳从点断开后，小球的速度大小为 C．轻绳从点断开前，小球运动到最低点时的向心力大小为 D．轻绳从点断开前，小球运动到最低点时，轻绳的拉力大小为 【答案】D 【详解】AB．轻绳从点断开后，轻绳的拉力和重力的合力提供向心力 竖直方向 水平方向 轨道半径为 联立解得轻绳的拉力为，小球的速度大小为 故AB错误； CD．轻绳从点断开前，小球运动到最低点时的向心力 轨道半径为 解得向心力大小为 轻绳的拉力大小满足 解得 故错误，正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）一个小球质量为m，用长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度地释放小球。当悬线碰到钉子的前后瞬间，下列说法中正确的是（　　） A．小球的线速度不变 B．悬线对球拉力不变 C．小球的向心力突然减小 D．小球的角速度突然增大 【答案】AD 【详解】ACD．把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的前后瞬间，由于重力与拉力都与速度垂直，所以小球的线速度不变；根据， 由于半径变小，则小球的向心力突然增大，小球的角速度突然增大，故AD正确，C错误； B．根据牛顿第二定律得 可得 由于半径变小，则悬线对球拉力变大，故B错误。 故选AD。 跟踪训练3一质量为的小球，用长为细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（g取），求： (1)若过最高点时的速度为，此时向心力多大？ (2)若过最低点时的速度为，此时绳的拉力大小？ 【详解】（1）若过最高点时的速度为，此时向心力 （2）过最低点时 解得 题型4 离心运动 1、离心运动 （1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 （3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出； 当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；如图所示: 2、向心运动：当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。 ★特别提醒 1、物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。 2、近心运动和离心运动本质上并不是因为受到了近心力或离心力的作用，而是物体实际受到的向心力力与所需向心力之间的差异引起的现象。 3、当物体受到的向心力小于物体所需的向心力，物体做离心运动；当物体受到的向心力大于所需的向心力，物体做近心运动。 3、离心运动应用举例 （1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。 （2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。 （3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。 （4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。 4、离心运动举例 （1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。 （2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。 这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。 ★特别提醒 离心运动的应用和防止的意义在于合理利用离心现象的优点，同时避免其可能带来的危害。理解和应用离心运动对于提高生产效率、保障生活安全具有重要意义。同时，合理防止离心运动可能带来的危害也是不可或缺的。 【探究归纳】离心运动是物体做圆周运动时，若合外力突然消失或合外力不足以提供所需向心力，物体将沿圆周切线方向飞出或逐渐远离圆心的运动；其本质是物体的惯性表现，生活中洗衣机脱水、离心分离机均利用该原理，车辆转弯过快侧滑则是离心运动的危害实例。 【典例4-1】“科技让生活更美好”，洗衣机脱水原理就来自于圆周运动知识。如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则（　　） A．加大脱水筒转动的线速度，脱水效果会更好 B．加大脱水筒转动的角速度，衣服对筒壁的压力不变 C．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到离心力的结果 D．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服受到的摩擦力提供 【答案】A 【详解】A．加大脱水筒转动的线速度，则水滴需要的向心力增大，当附着力不足以提供水滴做圆周运动的向心力时，水滴做离心运动，脱水效果更好，A正确； B．衣服做圆周运动的向心力由筒壁对衣服的弹力提供，加大脱水筒转动的角速度，筒壁对衣服的支持力增大，根据牛顿第三定律可知，衣服对筒壁的压力增大，B错误； C．水会从脱水筒甩出是因为附着力不足以提供向心力，水滴做离心运动的结果，C错误； D．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服受到的筒壁的弹力提供，D错误； 故选A。 【典例4-2】（多选）一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平面的夹角分别为和，且。转台绕过支架顶点的竖直轴线以角速度匀速转动，两个小物块、随支架转动且与支架相对静止。已知、距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（　　） A．物块、的向心加速度大小相等 B．物块、受到的摩擦力不可能同时为零 C．当物块受到的摩擦力为零时，受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下 D．若物块受到的摩擦力为零时，受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下 【答案】BC 【详解】A．由 依题意相同， 解得，A错误； B．如图所示，若物块A恰好不受摩擦力作用，由牛顿第二定律 有 设物块、距离水平转台的高度为 有 解得 若物块B恰好不受摩擦力作用 同理可得 依题意 解得 故物块、受到的摩擦力不可能同时为零，B正确； C．由前面分析可知，当物块A恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为 当物块B恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为 因为 有 由 得当物块受到的摩擦力为零时，物块需要的向心力大于重力、支持力能提供的合力，物块B有沿斜面向上滑的趋势，故受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下，C正确； D．由前面分析可知，当物块受到的摩擦力为零，由，物块A需要的向心力小于重力、支持力能提供的合力，物块A有沿斜面向下滑的趋势，故受到的摩擦力一定沿支架左边平面向上，D错误。 故选BC。 跟踪训练12025年春晚舞台上，一组机器人扭秧歌。机器人通过内置电动机驱动机械臂匀速转动，从而使手帕在竖直面内做匀速圆周运动。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若机械臂的转速增大，手帕转动的角速度也增大 B．若机械臂突然停止转动，手帕仍保持匀速圆周运动 C．手帕上P、Q两点的向心加速度大小相等 D．手帕上P、Q两点的线速度大小相等 【答案】A 【详解】A．根据 可知若机械臂的转速增大，手帕转动的角速度也增大，故A正确； B．若机械臂突然停止转动，提供的向心力减小，由于受重力作用，则手帕将逐渐停止运动，故B错误； C．手帕上P、Q两点属于同轴转动，所以两点的角速度大小相同，根据 可知由于P、Q两点的不相等，故手帕上P、Q两点的向心加速度大小不相等，故C错误； D．手帕上P、Q两点属于同轴转动，所以两点的角速度大小相同，根据 可知由于P、Q两点的不相等，故手帕上P、Q两点的线速度大小不相等，故D错误。 故选A。 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑水平面上，一物体正沿Pa方向做匀速直线运动，某时刻突然加上水平力F，则以下说正确的是（　　） A．由于受到拉力作用，物体运动的速率一定发生变化 B．若拉力F的大小不变，则物体可能沿图中圆形轨迹运动 C．若拉力F为图示方向的恒力，则物体可能沿图中Pc轨迹运动 D．若拉力F为图示方向的恒力，则物体不可能沿图中Pb轨迹运动 【答案】BC 【详解】AB．若拉力F的大小不变，若满足 （R为图中圆的半径）则物体会沿图中圆形轨迹运动，此时物体运动的速率不发生变化，故A错误，B正确； CD．若拉力F为图示方向的恒力，则物体将以v为初速度在水平面内做类平抛运动，物体可能沿图中Pb轨迹运动，但是不可能沿图中Pc轨迹运动，故C正确，D错误。 故选BC。 【能力培优练】 1．如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为的菜盘，处放一质量为的菜盘，，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是（　　） A．A、B两处菜盘的周期之比为 B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为 C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为 D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为 【答案】C 【详解】A．两菜盘均视为质点且不打滑，圆盘上A、B两个点，属于同轴转动，角速度与周期均相等，可知A、B两处菜盘的周期之比为，故A错误； B．根据角速度与线速度的关系有 根据题意有 解得A、B两处菜盘的线速度大小之比为，故B错误； C．根据向心加速度的表达式有 可知，A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为，故C正确； D．根据向心力表达式有 根据题意有， A、B两处菜盘受到的静摩擦力提供菜盘做圆周运动向心力，则受到的静摩擦力大小之比为，故D错误。 故选C。 2．如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动。现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】受力分析如图所示 AB．对球分析水平方向，根据牛顿第二定律可得 竖直方向由平衡条件可得 联立解得 角速度 与绳长l无关，故A错误，B正确； CD．由上述公式解得 可知绳对小球的拉力F与绳长l成正比，故CD错误。 故选B。 3．如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 【答案】A 【详解】当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设此时最大角速度为，根据牛顿第二定律有 解得 故角速度的范围为 故选A。 4．如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．小球的高度可能降低 B．弹簧弹力的大小一定变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大 【答案】D 【详解】AB．小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，如图所示 小球在竖直方向受力平衡，则有 根据胡克定律有 联立可得 可知角为定值，故小球的高度不变，弹簧弹力的大小不变，故AB错误； C．由题分析，可知当转速较小时，杆对小球的弹力背离转轴，根据牛顿第二定律有 解得 当转速较大时，杆对小球的弹力指向转轴，据牛顿第二定律有 解得 由题知，故小球对杆压力的大小可能减小，也可能增大，故C错误； D．小球所受合外力的大小 由题知，故小球所受合外力的大小一定变大，故D正确。 故选D。 5．如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 【答案】B 【详解】A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，则有 若v0=0，可得小球所受的支持力 根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误； B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B正确； C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为，根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C错误； D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有 解得 此时小球对管内壁没有压力，故D错误。 故选B。 6．（25-26高三上·重庆渝北·月考）如图所示，两个质量分别为和的小木块和（可视为质点）叠放在水平圆盘上，与转轴的距离为，小木块与之间的动摩擦因数为0.4，小木块与圆盘之间的动摩擦因数为0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始缓慢加速转动，直到小木块与或小木块与桌面之间将要发生相对滑动时，立即改为匀速转动，从而保持系统之间的相对静止，下列说法正确的是（　　） A．圆盘匀速转动时的角速度为 B．圆盘匀速转动时，小木块受到的摩擦力大小为 C．圆盘缓慢加速转动过程中，小木块受到的摩擦力的方向始终指向转轴 D．圆盘缓慢加速转动过程中，圆盘对小木块的摩擦力不做功 【答案】A 【详解】A．若小木块A与B之间将要发生相对滑动，立即转为匀速转动，对小木块A有 解得 若小木块B与圆盘之间将要发生相对滑动时，立即转为匀速转动，对小木块A、B有 解得 所以后者成立，圆盘匀速转动时角速度为，A正确； B．此时对小木块A有，B错误； CD．圆盘加速转动，小木块A、B的速度都要增大，所以小木块B对小木块A的摩擦力及圆盘对小木块B的摩擦力分别对小木块A、B做正功，小木块B对小木块A的摩擦力方向与运动方向成锐角，CD错误。 故选A。 7．（24-25高一上·四川绵阳·期中）四月好春光，绵阳外国语学校某年级学生到户外踏青赏花，老师组织大家趣味游戏。某同学肩挑两个箩筐站在原地匀速转动起来（肩膀到扁担两端的距离相同），如图所示两边箩筐所装物体质量不同（左边质量大于右边质量），扁担长度为L，两边箩筐绳长相同都为，左边绳子与竖直方向夹角为α，右边绳子与竖直方向夹角为β，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．因为两边箩筐质量不同，则 B．该同学转动时两边绳子所受拉力大小相同 C．两边箩筐的向心力大小不相同 D．两边箩筐线速度大小不相同 【答案】C 【详解】A．由 则，因为两边箩筐角速度大小相同，所以夹角，故A错误； D．由，则线速度大小相同，故D错误； B．由，质量不同则重力mg不同，两边绳子拉力大小不同，故B错误； C．，质量不同则向心力大小不同，故C正确。 故选C。 8．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段练习）圆锥摆是我们在研究生活中的圆周运动时常遇到的一类物理模型。如图所示，质量相同的1、2两个小钢球（均可视为质点）用长度相等的轻质细线拴在同一悬点，在不同水平面内做匀速圆周运动，组成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆。若不计空气阻力，则（ ） A．绳子对小钢球1的拉力大于绳子对小钢球2的拉力 B．小钢球1的角速度大于小钢球2的角速度 C．小钢球1的向心力大小小于小钢球2的向心力大小 D．小钢球1的线速度大小大于小钢球2的线速度大小 【答案】C 【详解】BCD．设细线与竖直方向的夹角为 ，根据牛顿第二定律可得 可得， 由图可知 ，则小钢球1的角速度小于小钢球2的角速度，小钢球1的向心力大小小于小钢球2的向心力大小，小钢球1的线速度大小小于小钢球2的线速度大小，故BD错误，C正确； A．竖直方向根据受力平衡可得 可得 由于 ，则绳子对小钢球1的拉力小于绳子对小钢球2的拉力，故A错误。 故选C。 9．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）（多选）如图所示摩天轮在竖直平面内做匀速圆周运动，某时刻甲乘客所在的吊舱正好处在最高点，乙乘客所在吊舱处在最低点，若两乘客质量相等，则此时（　　） A．吊舱对甲、乙的作用力方向相反 B．吊舱对甲的作用力大于对乙的作用力 C．吊舱对乙的作用力大于对甲的作用力 D．甲乘客处于失重状态，乙乘客处于超重状态 【答案】CD 【详解】A．此时吊舱对甲、乙的作用力方向都竖直向上，方向相同，A错误； BC．依题意，甲、乙都做匀速圆周运动，甲、乙质量相等，设均为，甲、乙做圆周运动的轨道半径为，速度大小为 对甲受力分析有 对乙受力分析有 解得，B错误，C正确； D．由前面分析知，甲乘客的加速度竖直向下，处于失重状态，乙乘客的加速度竖直向上，处于超重状态，D正确。 故选CD。 10．（25-26高二上·湖南·月考）（多选）如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘绕竖直转轴匀速转动时，可视为质点，质量为的餐盘相对于转盘静止。已知餐盘到转轴的距离为，餐盘在时间内转过的角度为。重力加速度大小为，餐盘与转盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　） A．餐盘的线速度大小为 B．餐盘的向心加速度大小为 C．转盘对餐盘的作用力大小为 D．餐盘与转盘间的动摩擦因数不小于 【答案】AD 【详解】AB．餐盘的角速度为 则线速度大小 餐盘的向心加速度大小为，故A正确，B错误； C．转盘对餐盘的摩擦力大小 支持力大小 则转盘对餐盘的作用力大小，故C错误； D．餐盘相对转盘静止，则有 解得 可知餐盘与转盘间的动摩擦因数不小于，故D正确。 故选AD。 11．（25-26高三上·河北衡水·月考）（多选）如图甲所示，两个完全相同物块A和B（均可视为质点）放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连，两物块质量均为1kg。与圆心距离分别为和，其中且。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度绕轴匀速转动时，绳中弹力与的变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．物块与圆盘间的动摩擦因数 B．A受到的摩擦力为零时，角速度为1rad/s C．A受到的摩擦力方向指向圆心达到最大时，角速度为rad/s D．当角速度为rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动 【答案】BD 【详解】A．角速度较小时，物块各自受到的静摩擦力提供向心力，绳中无拉力，根据牛顿第二定律可得f=mω2R 因为RA＜RB，所以物块B与圆盘间的静摩擦力先达到最大值，随着角速度增大，轻绳出现拉力，拉力FT和最大静摩擦力的合力提供向心力，对物块B分析 FT+μmg=mω2RB 解得FT=mω2RB-μmg 结合图像可知：，μmg =1 可得RB=2m，μ=0.1，故A错误； B．当ω=1rad/s时，绳中的拉力FT=mω2RB-μmg=1×12×2N-0.1×1×10N=1N 在对A分析，根据牛顿第二定律可得FT+f=mω2RA 解得f=0，故B正确； C．当角速度ω=rad/s时，绳中的拉力 A受到的摩擦力，方向指向圆心没有达到最大，C错误； D．当A恰好要相对圆盘发生滑动时，其摩擦力为最大值且方向沿半径向外，对A分析，根据牛顿第二定律可得：FT-μmg=mω2RA 此时对B分析：FT+μmg=mω2RB 联立解得ω=rad/s，故D正确； 故选BD。 12．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）（多选）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道，着陆坡，减速停止区三部分组成，B点处对应圆弧半径为。比赛中质量的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为，着陆坡的倾角，重力加速度，忽略空气阻力影响，则（　　）。 A．运动员从B点水平飞出的速度大小为 B．运动员从B点飞出后离斜面最远时速度大小为 C．运动员从B点飞出后经离斜面最远 D．运动员在B点对轨道的压力为 【答案】AD 【详解】A．运动员从B点水平飞出后做平抛运动，因此有， 落在斜坡上时，位移偏转角度为37°，即， 联立解得，故A正确； B．运动员从B点飞出后离斜面最远时速度方向与斜面平行， 则有，， 联立解得，故B错误； C．运动员从B点飞出后离斜面最远时，竖直方向有， 解得，故C错误； D．运动员在B点飞出前在做圆周运动， 根据牛顿第二定律有 解得， 根据牛顿第三定律，运动员在B点对轨道的压力与轨道对运动员的支持力相等，故D正确。 故选AD。 13．（16-17高一下·黑龙江大庆·月考）有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。 (1)汽车到达桥顶时速度为5m/s，汽车对桥的压力是多大？ (2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？ (3)如果拱桥的半径增大到与地球半径R=6400km一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？ 【详解】（1）重力和支持力合力提供向心力，有 解得 由牛顿第三定律，汽车对桥的压力大小 （2）车对桥无压力时，有 解得 （3）车对桥无压力时，有 解得 14．（25-26高二上·四川南充·月考）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量的汽车在水平公路的弯道上行驶，速度大小，其轨迹可视为半径的圆弧。若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。 (1)求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； (2)求汽车转弯时不发生侧滑所允许的最大速度。 【详解】（1）汽车转弯时需要向心力，由向心力公式 代入数据得 （2）汽车不侧滑时，最大静摩擦力提供向心力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力 由向心力公式 联立得 整理得 代入数据得 15．（2025·辽宁·二模）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点。当轻杆绕轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成角，b绳沿水平方向且长为L，重力加速度为g。求： (1)当轻杆绕轴角速度时，b绳保持水平且拉力刚好为零。 (2)当角速度时，求a绳的拉力和b绳的拉力分别是多少？ 【详解】（1） 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，由水平方向上的合力提供向心力，当b绳拉力为零时，有 解得 （2）可知当角速度时，此时b绳有拉力，故， 解得， 【链接高考】 1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 2．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为 近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有 在最低点根据牛顿第二定律有 代入数据解得T=7N 故选C。 3．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 【答案】D 【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定，故为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内。故ABC错误，故D正确。 故选D。 4．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得 联立解得 （2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为 ， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 生活中的圆周运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯） 1 题型2 汽车过拱形桥与航天器中的失重现象 5 题型3 绳球类杆球类模型 8 题型4 离心运动 12 【能力培优练】 15 【链接高考】 20 【重难题型讲解】 题型1 （火车转弯、汽车转弯） 1、汽车转弯问题模型如下 （1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。 （2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。 2、火车转弯模型如下 （1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。 速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力， 当F合=Fn时，。 （2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。 （3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。 ★特别提醒 车辆转弯问题的解题策略 （1）对于车辆转弯问题，一定要搞清楚合力的方向，指向圆心方向的合外力提供车辆做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心。 （2）当外侧高于内侧时，向心力由车辆自身的重力和地面（轨道）对车辆的摩擦力（支持力）的合力提供，大小还与车辆的速度有关。 【探究归纳】车辆转弯属于水平面圆周运动，火车靠外轨高于内轨的重力与支持力合力提供向心力，减小轮缘与轨道挤压；汽车靠静摩擦力提供向心力，转弯速度过大时静摩擦力不足会侧滑，需结合分析安全行驶速度。 【典例1-1】我国高速铁路运营里程居世界首列。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．火车转弯时受到重力、轨道的支持力和向心力 B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好 C．当火车上乘客增多时，若列车仍以的速度通过该圆弧轨道，内轨会受到轮缘的侧向挤压 D．火车转弯速度小于时，车轮轮缘受到内轨的侧向压力 【典例1-2】（多选）如图所示为一段公路转弯处的地图，3D地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令。在不违反交通规则的前提下，下列说法正确的是（　　） A．汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力 B．若弯道路面是水平的，为防止侧滑，汽车应低速转弯 C．若弯道路面是倾斜的，为了防止汽车侧滑，应为内（东北）高外（西南）低 D．若弯道路面是倾斜的，为了防止汽车侧滑，应为外（西南）高内（东北）低 【典例1-3】(1)质量为2000kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为14000N。汽车经过半径为50m的弯路时。如果车速达到72km/h。这辆车会不会发生侧滑？请通过计算说明。 (2)如图所示是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为15°，不考虑空气阻力，g取10m/s2。为方便计算，取sin15°≈0.259=0.3，cos15°≈0.966=1。 ①某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少（结果保留根号）？ ②若该运动员骑自行车以18m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100kg，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少（结果保留整数）？方向如何？ 跟踪训练1如图甲所示，质量为的汽车在倾角为的路面上做匀速圆周运动，简化图如图乙所示，其中为圆周运动的圆心，圆周在水平面内，重力加速度为。当汽车以速率行驶时，恰好没有侧滑的趋势，下列说法正确的是（　　） A．汽车在行驶过程中，受到重力、支持力、牵引力、阻力、向心力 B．汽车做圆周运动的半径 C．路面对汽车的支持力等于 D．当汽车的速率大于时，路面受到汽车侧向摩擦力的方向由A指向 跟踪训练2（多选）某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用 B．列车转弯过程中的向心加速度为gtanθ，方向与水平面的夹角为θ C．水杯与桌面间无摩擦 D．水杯内水面与桌面不平行 跟踪训练3如图所示，某同学在进行无人机操作训练时让质量为m的无人机，在距水平地面高度为h的水平面内以速率v0绕圆心O做半径为R的匀速圆周运动，O'为圆心O在水平地面上的投影，某时刻该飞机上释放一重物，不计空气对重物的作用力，重力加速度大小为g。求： (1)空气对无人机作用力的大小； (2)重物落地点与O'点的距离。 题型2 汽车过航天器中的失重现象 1、汽车过拱形桥 （1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。 （2）汽车过拱形桥时，在最高点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 （3）汽车过凹形桥时，在最低点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。 ★特别提醒 处理圆周运动力学问题的一般思路 （1）确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心。 （2）根据几何关系求出轨道半径。 （3）对物体进行受力分析，确定向心力来源。 （4）根据牛顿第二定律列方程求解。 2、航天器中的失重现象 （1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。 （2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 【探究归纳】汽车过拱形桥最高点时，重力与支持力的合力提供向心力，满足，支持力小于重力，处于失重状态；航天器绕地飞行时，万有引力全部提供向心力，，支持力为零，处于完全失重状态。 【典例2-1】如图所示，一辆四轮汽车接连通过拱桥和凹陷路段。已知拱桥和凹陷路段可视为半径均为的弧形面，单只轮胎能承受的最大压力为车重的0.4倍，重力加速度为，汽车可视为质点，为保证汽车不脱离拱桥最高点且不爆胎，则汽车匀速行驶的速度大小应满足（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时速度为，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力是总重力的。已知骑手与摩托车总质量为，重力加速度大小取。则（　　） A．此时骑手处于失重状态 B．此时骑手处于超重状态 C．拱桥半径约为 D．拱桥半径约为 【典例2-3】有一辆质量为900kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，不计空气阻力，。 (1)汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？ (2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？ 跟踪训练1今年五一后，某校高一学生在研学实践时骑自行车在甘孜州内一条山路上匀速率行驶，地形如图所示，行驶过程中爆胎可能性最大的地段应是（　　） A．a处 B．b处 C．c处 D．d处 跟踪训练2（多选）如图所示，圆心分别为O1、O2的圆轨道AB、BC固定在竖直平面内，B点为两个圆轨道的最低点，O1A、O2C水平，且。 将光滑小球从A点由静止释放，则小球第一次经过B点前后瞬间，小球（　　） A．速度突然减小 B．角速度突然减小 C．向心加速度突然增大 D．受到轨道的支持力突然减小 跟踪训练3石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一。假设某拱形桥为圆的一部分，半径为。一辆质量为的汽车以恒定速率匀速通过该桥，Q点为桥最高点，，求： (1)该汽车通过桥时的角速度大小； (2)向心加速度大小； (3)汽车通过最高点时桥对汽车的支持力。 题型3 1、模型建立 （1）轻绳模型：小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。 （2）轻杆模型：小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。 2、模型分析 比较项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 过最高点的临界条件 小球恰能做圆周运动时，由 得v临= 小球恰能做圆周运动时，得v临=0。 讨论分析 ★特别提醒 对于竖直平面内的圆周运动，一般题目都会给出关键词“恰好”，当物体恰好过圆周运动最高点时，物体自身的重力完全充当向心力，，从而可以求出最高点的速度v=。 【探究归纳】竖直圆周运动的绳球、杆球模型，核心区别在于向心力的来源：绳球模型中绳仅能提供拉力，最高点临界速度为v=（重力完全提供向心力）；杆球模型中杆可提供拉力或支持力，最高点临界速度为 0，支持力可平衡重力，需结合受力分析列向心力公式求解。 【典例3-1】如图所示，轻杆长2l，中点O固定在水平转轴上，杆两端分别固定着质量分别为m、2m的两个小球。在转轴带动下轻杆在竖直平面内绕O点匀速转动，某时刻轻杆处于竖直方向且转轴在竖直方向上恰好不受杆的作用力。重力加速度为g，球的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）如图所示，小球a、b分别在轻质细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为R，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a经过最高点时的速度可能小于 B．小球b经过最高点时的速度可能小于 C．小球a经过最高点时，细绳对小球a可能没有力的作用 D．小球b经过最高点时，细杆对小球b一定有力的作用 【典例3-3】图甲是一游乐场西瓜飞椅游玩项目，其模型简化为图乙，转轴两侧对称，水平横杆半径，西瓜座椅和游客总质量，等效为大小不计的小球，悬线长，运动过程不计阻力，（取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）求： (1)若转轴不转动，小球绕点在竖直面内左右摆动。 ①当小球通过最低点时的速度为时，悬线的拉力大小； ②当悬线与竖直方向的夹角时小球的速度为，此时悬线的拉力大小。 (2)若转轴匀速转动，稳定后悬线与竖直方向的夹角，转轴转动的角速度大小。 跟踪训练1如图所示，两根等长轻绳下端均系在小球上，两轻绳的另一端分别系在一固定水平杆上的两点，与水平杆夹角均为。小球在最低点时，给小球垂直纸面的初速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做往复运动，某次小球运动到最低点时，轻绳从点断开，小球恰好在水平面内做匀速圆周运动（图虚线所示）。已知每根轻绳长，小球质量，，，则（　　） A．轻绳从点断开后，轻绳的拉力为 B．轻绳从点断开后，小球的速度大小为 C．轻绳从点断开前，小球运动到最低点时的向心力大小为 D．轻绳从点断开前，小球运动到最低点时，轻绳的拉力大小为 跟踪训练2（多选）一个小球质量为m，用长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度地释放小球。当悬线碰到钉子的前后瞬间，下列说法中正确的是（ ） A．小球的线速度不变 B．悬线对球拉力不变 C．小球的向心力突然减小 D．小球的角速度突然增大 跟踪训练3一质量为的小球，用长为细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（g取），求： (1)若过最高点时的速度为，此时向心力多大？ (2)若过最低点时的速度为，此时绳的拉力大小？ 题型4 离心运动 1、离心运动 （1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 （3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出； 当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；如图所示: 2、向心运动：当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。 ★特别提醒 1、物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。 2、近心运动和离心运动本质上并不是因为受到了近心力或离心力的作用，而是物体实际受到的向心力力与所需向心力之间的差异引起的现象。 3、当物体受到的向心力小于物体所需的向心力，物体做离心运动；当物体受到的向心力大于所需的向心力，物体做近心运动。 3、离心运动应用举例 （1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。 （2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。 （3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。 （4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。 4、离心运动举例 （1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。 （2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。 这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。 ★特别提醒 离心运动的应用和防止的意义在于合理利用离心现象的优点，同时避免其可能带来的危害。理解和应用离心运动对于提高生产效率、保障生活安全具有重要意义。同时，合理防止离心运动可能带来的危害也是不可或缺的。 【探究归纳】离心运动是物体做圆周运动时，若合外力突然消失或合外力不足以提供所需向心力，物体将沿圆周切线方向飞出或逐渐远离圆心的运动；其本质是物体的惯性表现，生活中洗衣机脱水、离心分离机均利用该原理，车辆转弯过快侧滑则是离心运动的危害实例。 【典例4-1】“科技让生活更美好”，洗衣机脱水原理就来自于圆周运动知识。如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而未滑动，则（　　） A．加大脱水筒转动的线速度，脱水效果会更好 B．加大脱水筒转动的角速度，衣服对筒壁的压力不变 C．水会从脱水筒甩出是因为水滴受到离心力的结果 D．衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服受到的摩擦力提供 【典例4-2】（多选）一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平面的夹角分别为和，且。转台绕过支架顶点的竖直轴线以角速度匀速转动，两个小物块、随支架转动且与支架相对静止。已知、距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（　　） A．物块、的向心加速度大小相等 B．物块、受到的摩擦力不可能同时为零 C．当物块受到的摩擦力为零时，受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下 D．若物块受到的摩擦力为零时，受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下 跟踪训练12025年春晚舞台上，一组机器人扭秧歌。机器人通过内置电动机驱动机械臂匀速转动，从而使手帕在竖直面内做匀速圆周运动。忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若机械臂的转速增大，手帕转动的角速度也增大 B．若机械臂突然停止转动，手帕仍保持匀速圆周运动 C．手帕上P、Q两点的向心加速度大小相等 D．手帕上P、Q两点的线速度大小相等 跟踪训练2（多选）如图所示，光滑水平面上，一物体正沿Pa方向做匀速直线运动，某时刻突然加上水平力F，则以下说正确的是（　　） A．由于受到拉力作用，物体运动的速率一定发生变化 B．若拉力F的大小不变，则物体可能沿图中圆形轨迹运动 C．若拉力F为图示方向的恒力，则物体可能沿图中Pc轨迹运动 D．若拉力F为图示方向的恒力，则物体不可能沿图中Pb轨迹运动 【能力培优练】 1．如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为的菜盘，处放一质量为的菜盘，，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是（　　） A．A、B两处菜盘的周期之比为 B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为 C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为 D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为 2．如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动。现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，游乐场里有一个半径、盘面与水平面的夹角的倾斜匀质圆盘，圆盘可绕过圆盘圆心且垂直于盘面的固定对称轴以一定的角速度匀速转动。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距点距离处。已知小孩与盘面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则角速度可能的取值是（　　） A．0.5rad/s B． C． D．2.5rad/s 4．如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．小球的高度可能降低 B．弹簧弹力的大小一定变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大 5．如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 6．（25-26高三上·重庆渝北·月考）如图所示，两个质量分别为和的小木块和（可视为质点）叠放在水平圆盘上，与转轴的距离为，小木块与之间的动摩擦因数为0.4，小木块与圆盘之间的动摩擦因数为0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始缓慢加速转动，直到小木块与或小木块与桌面之间将要发生相对滑动时，立即改为匀速转动，从而保持系统之间的相对静止，下列说法正确的是（　　） A．圆盘匀速转动时的角速度为 B．圆盘匀速转动时，小木块受到的摩擦力大小为 C．圆盘缓慢加速转动过程中，小木块受到的摩擦力的方向始终指向转轴 D．圆盘缓慢加速转动过程中，圆盘对小木块的摩擦力不做功 7．（24-25高一上·四川绵阳·期中）四月好春光，绵阳外国语学校某年级学生到户外踏青赏花，老师组织大家趣味游戏。某同学肩挑两个箩筐站在原地匀速转动起来（肩膀到扁担两端的距离相同），如图所示两边箩筐所装物体质量不同（左边质量大于右边质量），扁担长度为L，两边箩筐绳长相同都为，左边绳子与竖直方向夹角为α，右边绳子与竖直方向夹角为β，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ） A．因为两边箩筐质量不同，则 B．该同学转动时两边绳子所受拉力大小相同 C．两边箩筐的向心力大小不相同 D．两边箩筐线速度大小不相同 8．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段练习）圆锥摆是我们在研究生活中的圆周运动时常遇到的一类物理模型。如图所示，质量相同的1、2两个小钢球（均可视为质点）用长度相等的轻质细线拴在同一悬点，在不同水平面内做匀速圆周运动，组成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆。若不计空气阻力，则（ ） A．绳子对小钢球1的拉力大于绳子对小钢球2的拉力 B．小钢球1的角速度大于小钢球2的角速度 C．小钢球1的向心力大小小于小钢球2的向心力大小 D．小钢球1的线速度大小大于小钢球2的线速度大小 9．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）（多选）如图所示摩天轮在竖直平面内做匀速圆周运动，某时刻甲乘客所在的吊舱正好处在最高点，乙乘客所在吊舱处在最低点，若两乘客质量相等，则此时（　　） A．吊舱对甲、乙的作用力方向相反 B．吊舱对甲的作用力大于对乙的作用力 C．吊舱对乙的作用力大于对甲的作用力 D．甲乘客处于失重状态，乙乘客处于超重状态 10．（25-26高二上·湖南·月考）（多选）如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘绕竖直转轴匀速转动时，可视为质点，质量为的餐盘相对于转盘静止。已知餐盘到转轴的距离为，餐盘在时间内转过的角度为。重力加速度大小为，餐盘与转盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　） A．餐盘的线速度大小为 B．餐盘的向心加速度大小为 C．转盘对餐盘的作用力大小为 D．餐盘与转盘间的动摩擦因数不小于 11．（25-26高三上·河北衡水·月考）（多选）如图甲所示，两个完全相同物块A和B（均可视为质点）放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连，两物块质量均为1kg。与圆心距离分别为和，其中且。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度绕轴匀速转动时，绳中弹力与的变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（ ） A．物块与圆盘间的动摩擦因数 B．A受到的摩擦力为零时，角速度为1rad/s C．A受到的摩擦力方向指向圆心达到最大时，角速度为rad/s D．当角速度为rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动 12．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）（多选）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道，着陆坡，减速停止区三部分组成，B点处对应圆弧半径为。比赛中质量的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为，着陆坡的倾角，重力加速度，忽略空气阻力影响，则（　　）。 A．运动员从B点水平飞出的速度大小为 B．运动员从B点飞出后离斜面最远时速度大小为 C．运动员从B点飞出后经离斜面最远 D．运动员在B点对轨道的压力为 13．（16-17高一下·黑龙江大庆·月考）有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。 (1)汽车到达桥顶时速度为5m/s，汽车对桥的压力是多大？ (2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？ (3)如果拱桥的半径增大到与地球半径R=6400km一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？ 14．（25-26高二上·四川南充·月考）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量的汽车在水平公路的弯道上行驶，速度大小，其轨迹可视为半径的圆弧。若汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。 (1)求这辆汽车转弯时需要的向心力大小F； (2)求汽车转弯时不发生侧滑所允许的最大速度。 15．（2025·辽宁·二模）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点。当轻杆绕轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成角，b绳沿水平方向且长为L，重力加速度为g。求： (1)当轻杆绕轴角速度时，b绳保持水平且拉力刚好为零。 (2)当角速度时，求a绳的拉力和b绳的拉力分别是多少？ 【链接高考】 1．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 4．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $