6. 2向心力（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦向心力核心知识点，系统梳理从定义、方向、作用效果及性质等基础概念，到大小影响因素、实验探究表达式，再到变速圆周运动分析及与牛顿第二定律结合应用的完整脉络，构建递进式学习支架。 资料以科学探究为核心，通过感受向心力实验、向心力演示器实验等培养学生实验能力，结合链球、摩天轮等生活实例深化物理观念，题型分类与高考真题链接助力科学思维提升。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2. 向心力 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 向心力 1 题型2 向心力的大小的影响因素 4 题型3 变速圆周运动和一般的曲线运动 7 题型4 探究向心力大小的表达式 11 题型5 牛顿第二定律与向心力结合解决问题 16 【能力培优练】 19 【链接高考】 30 【重难题型讲解】 题型1 1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 2、向心力方向：指向圆心，向心力方向与速度方向垂直，是变力。圆周运动的向心力方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。 3、向心力作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 4、向心力的性质：向心力是按效果命名的力，在受力分析的时候不能单独分析。 ★特别提醒 （1）向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 （2）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。 （3）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定。 【探究归纳】向心力是物体做圆周运动时，指向圆心的合外力（或合外力的径向分量），其作用是改变线速度的方向，不改变大小；向心力由重力、弹力、摩擦力等一种或多种力提供，并非独立存在的力。 【典例1-1】如图甲所示，机器人转动八角巾手帕时形成一个匀速转动的圆盘。为手帕的中心，为手帕上的三个点（如图乙），各点到点的距离关系为，下列说法正确的是（　　） A．A点的线速度大于点的线速度 B．点的周期大于点的周期 C．点的角速度小于A点的角速度 D．A点所受的合力不一定指向圆心 【答案】A 【详解】BC．根据题意可知A、B、C三点同轴转动，所以A、B、C三点的角速度相等，周期也相等，故BC错误； A．根据，因为，所以A点的线速度大于C点的线速度，故A正确； D．因为八角巾手帕做匀速圆周转动，所以A点所受的合力提供向心力，一定指向圆心，故D错误。 故选A。 【典例1-2】（多选）下列关于向心力的叙述中，正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体，除受其他的物体对它的作用外，还受到一个向心力的作用 B．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是某几个力的合力，也可以是某一个力的分力 C．做匀速圆周运动的物体，所受的向心力是一个恒力 D．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小 【答案】BD 【详解】A．向心力是按力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的合力，也可以是某一个力的分力，实际上在进行受力分析时，不能够认为物体受到向心力，故A错误； B．向心力是由其他力沿半径方向的合力提供，即向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是某几个力的合力，也可以是某一个力的分力，故B正确； C．向心力的方向时刻沿半径指向圆心，即方向发生变化，可知，向心力是一个变力，故C错误； D．向心力方向时刻指向圆心，与速度方向垂直，所以向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，故D正确。 故选BD。 跟踪训练1下列关于向心力的说法中正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用 B．向心力和重力、弹力一样，是性质力 C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力不一定提供向心力 【答案】C 【详解】A．做匀速圆周运动的物体受到重力、弹力等力，不受到向心力的作用，向心力是重力、弹力等力的合力，A错误； B．重力、弹力是性质力，向心力是效果力，B错误； C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力，C正确； D．无论匀速还是非匀速圆周运动，向心力均由合外力的法向分量提供，D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）关于做圆周运动的物体，下列说法正确的是（　　） A．做圆周运动物体的加速度都指向圆心 B．做匀速圆周运动物体所受的合力是变力 C．做变速圆周运动的物体，向心力的作用是只改变线速度方向 D．做匀速圆周运动的物体因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 【答案】BC 【详解】A．做变速圆周运动的物体，加速度的一个分量提供向心加速度指向圆心，另一个分量沿切线方向改变速度大小，所以加速度不指向圆心，A错误； BD．做匀速圆周运动的物体合力全部提供向心力，一定指向圆心，大小不变，方向时刻改变，是变力，B正确，D错误； C．做变速圆周运动的物体，向心力始终与线速度方向垂直，只改变线速度方向，C正确。 故选BC。 题型2 的大小的影响因素 1、感受向心力实验：如图所示，在绳子的一端拴一个小球，另一端握在手中。将手举过头顶，使小球在水平面内做圆周运动。此时，小球所受的向心力近似等于手通过绳对小球的拉力。换用不同质量的小球，并改变小球转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化； （1）保持小球转动的速度和绳的长度不变，改变小球的质量，感受向心力的变化。 （2）保持绳的长度和小球的质量不变，改变小球转动的速度，感受向心力的变化。 （3）保持小球的质量和小球转动的速度不变，改变绳的长度，感受向心力的变化。 2、实验结论: 物体做圆周运动需要的向心力与物体质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。 3、向心力的大小公式：Fn＝mrω2；又因为及和，所以。 4、由表达式可以看出： （1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比。 （2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比。 （3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比。 （4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比。 （5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。 ★特别提醒 对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动（如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动），其向心力大小随速率的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。 【探究归纳】向心力大小由公式决定，核心影响因素是物体质量m、圆周运动半径r，以及线速度v、角速度ω、周期T等运动状态量，质量越大、线速度越快或半径越小，向心力越大。 【典例2-1】自然界中的曲线运动是很常见的。掷出的链球、公转的地球等，它们的运动轨迹都是曲线。下列说法正确的是（　　） A．受变力作用的物体一定做曲线运动 B．物体做曲线运动时，其加速度一定不断变化 C．速度变化的物体一定做曲线运动 D．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直 【答案】D 【详解】A．若受变力作用的物体合外力的方向与速度方向在同一直线上，物体做直线运动，故A错误； B．物体做曲线运动时，其加速度可能不变，例如平抛运动，故B错误； C．速度变化的物体不一定做曲线运动，例如匀变速直线运动的速度时刻变化，故C错误； D．物体做匀速率曲线运动时，合外力不做功，故其所受合外力的方向总是与速度方向垂直，故D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）3月30日，在2021年成都女子链球比赛中，亚洲纪录保持者王峥以71米93夺冠。比赛中，运动员站在投掷圈内，双手握住铁链的把手，人带动链球加速旋转将链球掷出，整个过程可简化为加速圆周运动和斜抛运动两个过程。忽略空气阻力，则（　　） A．加速圆周运动过程中，链球受到的合力指向圆心 B．加速圆周运动过程中，铁链对链球的拉力做正功 C．掷出后在空中运动的过程中，链球做匀变速运动 D．链球飞出的水平距离与掷出时速度的方向无关 【答案】BC 【详解】A．加速圆周运动过程中，拉力和重力的合力提供两个效果，一是指向圆心的力改变速度方向，另一个是沿切线方向改变速度大小，合外力不是指向圆心，故A错误； B．加速圆周运动过程中，链球的速度越来越大，动能增加，则铁链对链球的拉力做正功，故B正确； C．掷出后在空中运动的过程中，只受重力，加速度恒定，则链球做匀变速运动，故C正确； D．设速度与水平方向夹角为，则水平距离为 则链球飞出的水平距离与掷出时速度的方向有关，故D错误。 故选BC。 跟踪训练1如图所示， 2023年9月30日，杭州亚运会田径项目男子链球决赛，中国00后小将王琦凭借第五轮的72米97成功夺冠，在他投掷过程中，对于绳子上A、B两点的描述正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】CD．绳子上A、B两点同轴转动，有 故C正确，D错误； AB．根据 且 则 故AB错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）链球是田径运动中利用双手投掷的竞远项目，运动员两手握着链球上铁链的把手，人带动链球旋转，最后加力使球脱手而出。某运动员在一次链球训练时，落点到抛出点的距离为x=80m，通过训练录像测得链球离地的最大高度为h=20m，（忽略空气阻力，不计链球抛出时离地高度，重力加速度g取10m/s2），求： （1）链球从最高点到地面经历的时间。 （2）链球在最高点的速度大小。 （3）若链球脱手前做圆周运动的半径为r=1.5m，则链球脱手前瞬间角速度的大小。    【详解】（1）链球从最高点到地面做自由落体运动有 链球从最高点到地面经历的时间 （2）从最高点到地面，链球做平抛运动，链球在最高点的速度大小 （3）链球脱手后竖直方向的速度 链球脱手瞬间的速度为 链球脱手前瞬间角速度的大小 题型3 变速圆周运动和一般的曲线运动 1、变速圆周运动 （1）运动员抛出链球的过程中，使链球越转越快，在链球速度比较大的时候，抛出链球，使链球运动的更远，这个过程中链球做变速圆周运动。 （2）如图所示，当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心（合力不指向圆心物体做变速圆周运动的受力条件）时，物体做变速圆周运动。 速度减小的圆周运动 速度增大的圆周运动 ①向心分力Fn，产生向心加速度an，只改变线速度方向。 ②切向分力Fτ，产生切向加速度aτ，改变线速度的大小。 ③当合外力与速度夹锐角时，物体线速度增加。 ④当合外力与速度夹钝角时，物体线速度减小。 2、一般的曲线运动 （1）运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。 （2）研究方法：如图所示把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 一般的曲线运动的研究方法 【探究归纳】类平抛运动是初速度与恒力（非重力）垂直的匀变速曲线运动，可分解为初速度方向匀速运动和恒力方向匀加速运动，遵循运动的合成与分解规律。 【典例3-1】A、B两球在向心力演示器上做圆周运动，如图所示。已知A、B两球的质量之比为，做圆周运动的半径之比为、角速度之比为。据此可知，两球所受向心力的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向心力表达式可知，两球所受向心力的大小之比为 故选C。 【典例3-2】（多选）如图所示，物理课老师用手掌托一苹果，在竖直平面内顺时针方向做匀速圆周运动，手掌始终保持水平。苹果从最高点c运动到最低点a的过程，下列说法正确的是（　　） A．苹果的线速度不变 B．苹果做匀变速曲线运动 C．苹果先处于失重状态后处于超重状态 D．手掌对苹果的摩擦力先增大后减小 【答案】CD 【详解】AB．苹果在竖直平面内顺时针方向做匀速圆周运动，可知线速度大小不变，方向变化，加速度大小不变，方向始终指向圆心，故苹果的线速度在变，加速度在变，苹果做非匀变速曲线运动。 故AB错误； CD．如图所示    从c运动到，竖直方向有 可知 水平方向有 角度逐渐变大，可知从c运动到，苹果处于失重状态，手掌对苹果的摩擦力增大。 从运动到a，竖直方向有 可知 水平方向有 角度逐渐变小，可知从运动到a，苹果处于超重状态，手掌对苹果的摩擦力减小。 故CD正确。 故选CD。 跟踪训练1小王沿一圆形花坛匀速跑步（做匀速圆周运动），若当他运动的半径不变，角速度增大为原来的2倍时，向心力的大小比角速度增大前的向心力大45N，则小王在角速度增大前的向心力大小为（　　） A．15N B．30N C．45N D．60N 【答案】A 【详解】设小王运动的半径不变为r，质量为m，小王在角速度增大前的向心力大小为F，则有 角速度增大为原来的2倍时，向心力大小 由题意可知 且 联立解得 故选A。 跟踪训练2游乐场旋转转盘的模拟装置如图所示。绕竖直轴以角速度ω匀速转动的水平圆盘上放着质量为m的物块，物块与圆盘保持相对静止且离圆心距离为r。求： (1)物块的线速度v； (2)物块受到的摩擦力大小。 【详解】（1）根据圆周运动的线速度、角速度及半径的关系可得。 （2）物块做匀速圆周运动的向心力由摩擦力提供，则有。 题型4 探究向心力大小的表达式 一、实验仪器 1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺 二、实验步骤：匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。 （1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。 （2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 （3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 （4）重复几次以上实验。 三、数据处理 （1）m、r一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 ω ω2 （2）m、ω一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 r （3）r、ω一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 m （4）分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。 （5）实验结论 ①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比； ②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比； ③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。 ★特别提醒 向心力公式的探究实验主要的原理是控制变量法，通过依次改变某一个物理量而控制另两个物理量不变的方式来探究各参数之间的关系，从而推导出向心力的表达式。向心力的表达式有多种形式可以相互转换：。 【探究归纳】探究向心力大小的表达式实验，用控制变量法，保持半径或角速度不变，改变质量、角速度、半径，通过比较滑块被拉伸的弹簧形变程度反映向心力大小，得出向心力与质量、角速度平方、半径成正比，推导得公式。 【典例4-1】“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。本次实验使用的两个小球质量相等，且通过调节装置使得两个小球具有相同的转动半径： (1)下列实验与本实验所采用的实验探究方法相同的是________。（填字母序号） A．探究平抛运动的特点 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 (2)两个小球转动时的线速度大小关系为vA vB。（选填“＞”、“＜”或“=”） (3)逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的 （选填“线速度大小”、“角速度平方”或“周期平方”）之比；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值 （选填“不变”、“变大”或“变小”）。 【答案】(1)C (2)＜ (3) 角速度平方 不变 【详解】（1）A．该实验采取的方法为控制变量法，探究平抛运动的特点采用的是“等效法”，故A错误。 B．探究两个互成角度的力的合成规律采用的是“等效替代法”，故B错误； C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系，是利用控制变量法，故C正确。 故选C。 （2）根据实验装置可知，传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，套有皮带的塔轮边缘处的速度大小相等，即 由于，则 两个小球具有相同的转动半径R，所以两个小球转动时的线速度， 解得。 （3）[1][2]根据可知，左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球线速度平方之比、角速度平方之比或周期平方的反比；在加速转动手柄的过程中，由于左、右两塔轮角速度之比不变，因此左右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。 跟踪训练1某探究小组用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。请回答以下问题： ①在该实验中，主要利用 来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系； A．理想实验法                B．微元法            C．控制变量法            D．等效替代法 ②探究向心力与角速度之间的关系时，应选择半径 （填“相同”或“不同”）的两个塔轮； ③探究向心力与角速度之间的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为，可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为 。 A．                B．                C．                D． 【答案】 C 不同 D 【详解】①[1]探究向心力、质量、半径与角速度之间的关系采用的是控制变量法。 故选C。 ②[2]探究向心力与角速度之间的关系时，应使两个塔轮的角速度不同，则应选择半径不同的两个塔轮。 ③[3]探究向心力与角速度之间的关系时，两个小球所受的向心力的比值为，根据公式 可得角速度之比为，传动皮带线速度大小相等； 根据 可知塔轮的半径之比为。 跟踪训练2用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动，根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两球所受的向心力大小之比。 (1)该实验中，利用了______来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系； A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)探究向心力大小与半径的关系时，在控制角速度相同的情况下，应将两个质量相等的钢球分别放在 （选填“A和B”、“A和C或“B和C”）位置； (3)为了探究向心力大小与物体质量的关系，应比较下表中的第1组和第 组数据；为了探究向心力大小与转速的关系，应比较下表中的第1组和第 组数据。 组数 小球的质量m/g 转动半径r/cm 转速n/（r·s-1） 1 14.0 15.00 1 2 28.0 15.00 1 3 14.0 15.00 2 4 14.0 30.00 l 【答案】(1)C (2)B和C (3) 2 3 【详解】（1）该实验中，利用了控制变量法来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，故选C； （2）探究向心力大小与半径的关系时，在控制角速度相同的情况下，应将两个质量相等的钢球分别放在B和C位置； （3）[1]为了探究向心力大小与物体质量的关系，应保持半径和转速不变，则应比较下表中的第1组和第2组数据； [2]为了探究向心力大小与转速的关系，应保持半径和质量不变，应比较下表中的第1组和第3组数据。 题型5 牛顿第二定律与向心力结合解决问题 1、牛顿第二定律与向心力结合解决问题：圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。 2、圆周运动中的动力学问题分析 （1）向心力的确定 ①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置。 ②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。 （2）向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 （3）解决圆周运动问题步骤 ①审清题意，确定研究对象。 ②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等。 ③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 ④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。 【探究归纳】解决圆周运动问题时，将牛顿第二定律 F合=ma与向心力公式结合，明确圆周运动的圆心位置，分析物体受力并找出指向圆心的合外力，该合外力即为向心力，再代入联立求解相关物理量。 【典例5-1】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一个物体随着圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小 C．物体所受弹力增大，摩擦力不变 D．物体所受弹力减小，摩擦力也减小 【答案】C 【详解】物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，物体受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的弹力；竖直方向，重力G与静摩擦力f平衡，即 与物体的角速度无关，当圆筒的角速度增大时，摩擦力不变；弹力F指向圆心，提供向心力，即 当圆筒的角速度增大时，所需要的向心力变大，则物体所受弹力增大；故C正确，ABD错误。 故选C。 【典例5-2】（多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．转速的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为0 【答案】AB 【详解】A．根据周期和角速度的关系可知，周期，选项A正确； B．根据转速和角速度的关系可知，，选项B正确； C．由于座舱受到的重力和摩天轮对座舱的作用力的合力充当向心力，向心力不等于0，摩天轮对座舱的作用力不等于mg，选项C错误； D．座舱做匀速圆周运动，受到的合力充当向心力，向心力不等于0，合力也不等于0，选项C错误。 故选AB。 跟踪训练1一小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。关于小球的受力，下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力和离心力 B．小球受到重力、支持力和向心力 C．小球的向心力是由支持力提供的 D．小球的向心力是由重力和支持力的合力提供的 【答案】D 【详解】由于漏斗壁光滑，所以小球受到重力和支持力作用，向心力只是效果力，小球的向心力是由重力和支持力的合力提供。 故选D。 跟踪训练2做匀速圆周运动的物体，质量为1kg，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时； （1）线速度的大小； （2）向心力的大小； 【详解】（1）线速度大小为 （2）向心力的大小为 【能力培优练】 1．如图所示，一圆筒绕中心轴转动，小物块紧靠在圆筒的内壁上，相对于圆筒处于静止状态。小物块受到的作用力有（　　） A．重力、静摩擦力和弹力 B．重力、滑动摩擦力和弹力 C．重力、静摩擦力、弹力和向心力 D．重力、静摩擦力、弹力和离心力 【答案】A 【详解】对小物体块研究，做匀速圆周运动，受重力、支持力和向上的静摩擦力。故选A。 2．关于力和运动，下列说法正确的是（　　） A．物体所受合力为零，只能处于静止状态 B．物体在变力的作用下，可能做直线运动 C．卫星绕地球做匀速圆周运动时，所受合力不变 D．滑动摩擦力只能使物体减速，不能使物体加速 【答案】B 【详解】A．物体所受合力为零时，可能静止或做匀速直线运动，故A错误； B．物体在变力作用下，只要力的方向与速度方向共线（如大小变化但方向不变的力），即可做直线运动（如变加速直线运动），故B正确； C．卫星匀速圆周运动时，合力为向心力，大小不变，但方向始终变化，故C错误； D．滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，但可能与物体运动方向相同，从而使其加速，故D错误。 故选B。 3．在速降滑雪运动中，当滑雪板压在雪地上时会把雪内的空气压出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地与滑雪板间的动摩擦因数，雪面松紧程度的不同造成运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数也不同，假设滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到最低点的过程中速率不变，忽略空气阻力的影响，运动员可视为质点，则（    ） A．运动员下滑过程中受四个力作用 B．运动员下滑过程中向心加速度不变 C．运动员下滑过程中受的合外力大小不变 D．运动员下滑过程中受的摩擦力不断增大 【答案】C 【详解】A．运动员受重力、支持力、摩擦力三个力，题目明确忽略空气阻力，故A错误； B．向心加速度方向始终指向圆心，方向不断变化，故B错误； C．滑雪运动员速率不变，轨迹为半圆（半径固定），运动员做匀速率圆周运动，向心力大小为，故合外力大小不变，故C正确； D．切线方向切向加速度为0，有 其中为速度与水平方向的夹角，从减至，减小，摩擦力减小，故D错误。 故选C。 4．如图，内壁光滑两端开口的圆筒在竖直方向固定，圆筒半径为，高为，一质量为的小球以的速度从圆筒上端紧贴圆筒沿切线方向水平入射，关于小球在圆筒内运动的情况，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，小球对圆筒内壁的压力逐渐增大 B．小球运动到圆筒底部时的速度大小为 C．小球运动到圆筒底部时对圆筒的压力大小为 D．若增大小球的入射速度，小球在圆筒中运动的时间增加 【答案】C 【详解】AC．运动过程中，小球水平方向速率大小不变做匀速圆周运动，则有 对圆筒内壁的压力大小不变，故A错误，C正确； BD．竖直方向做自由落体运动，由 得 与入射速度无关，运动到圆筒底部时竖直方向速度 小球运动到圆筒底部时的速度大小为，故BD错误。 故选C。 5．由贵州科学城组织的低空经济科普体验活动于2025年1月4日在观山湖公园如期举行。其中，形似UFO的大型无人驾驶飞碟eVTOL航空器进行了空中盘旋的表演。若其在空中盘旋的运动可看成速率为、半径为的匀速圆周运动。已知该航空器质量为，则其在盘旋过程中所需的向心力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向心力公式有，故C正确，ABD错误。 故选C。 6．如图所示，P、Q两带孔小球穿在水平杆上，P、Q用细线连接，可沿杆滑动。已知P、Q的质量分别为5m和2m，与杆之间的动摩擦因数分别为2μ和μ，P在竖直中心轴线处，Q到轴线的距离为L。初始时系统静止，细线刚好被拉直。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。整个装置绕着转动，随着角速度缓慢增大，下列判断正确的是（　　） A．转动角速度为时，P受到沿P→Q方向的静摩擦力 B．转动角速度为时，P受到沿Q→P方向的静摩擦力 C．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 D．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 【答案】B 【详解】AB．分析可知，角速度缓慢增大过程中，Q一开始只受到静摩擦力作用，直到角速度增大到一定程度时，静摩擦力不足以提供向心力，细线开始提供拉力，则此瞬间有 解得细线产生拉力的临界角速度为 所以转动角速度为时，细线中没有拉力，则P不受到摩擦力；转动角速度为时，摩擦力不足以提供向心力，Q受到Q→P方向的拉力，则P受到P→Q方向的拉力以及Q→P方向的静摩擦力。故A错误，B正确； CD．P、Q不产生滑动的情况下，细线中的最大拉力大小等于P的最大静摩擦力，为 则P、Q即将产生滑动瞬间，对Q有 联立解得滑动的临界角速度为 则转动角速度为或时，Q不会滑动。故CD错误。 故选B。 7．如图所示，ABC为竖直放置的光滑半圆环，O为圆心，B为最低点。AB为固定在环上的光滑直杆，在AB直杆上和半圆环的BC部分分别套着两个相同的小环P、Q，现让半圆环绕对称轴OB匀速转动。当角速度为ω1时，小环P在A、B之间的中间位置与直杆保持相对静止；当角速度为ω2时，小环Q在B、C之间的中间位置与半圆环保持相对静止。则关于ω1与ω2的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．P点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，则有 解得 A正确，B错误； CD．同理，Q点的小球受到重力和杆的支持力，在水平面内做匀速圆周运动，合力的方向沿水平方向，OQ与竖直方向之间的夹角为，则有 解得 C错误，D错误。 故选A。 8．运球转身是篮球运动中重要进攻技术之一，其中拉球转身的动作是难点。如图甲所示为运动员拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图乙所示的模型。薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动。假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600g，球心到转轴的距离为45cm，则要顺利完成此转身动作，篮球和手的速度至少为（　　） A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0.5m/s 【答案】A 【详解】对篮球受力分析，竖直方向最大静摩擦力等于重力，即 由，水平方向手对球的作用力提供向心力 联立解得 故选A。 9．质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直线成θ角，则以下正确的是（     ） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球只受重力、拉力的作用 C．摆球做匀速圆周运动的向心力为mgtanθ D．摆球做匀速圆周运动的向心加速度为gtanθ 【答案】BCD 【详解】AB.摆球受重力，拉力作用，重力和拉力的合力提供向心力，A错误B正确． CD.重力和拉力的合力提供向心力：，所以向心加速度，CD正确 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．物体运动的速率不变，则其加速度为零 B．形状规则的物体的重心不一定为它的几何中心 C．静止在水平桌面上的物体所受支持力就是它的重力 D．静摩擦力的方向可能与运动方向相同 【答案】BD 【详解】A．匀速圆周运动中物体的速率不变，但是加速度不为0，A错误； Ｂ．只有形状规则且质量分布均匀的物体重心在它的几何中心，B正确； Ｃ．静止在水平桌面上的物体所受的支持力大小等于物体的重力，但是二力的施力物体不同，所以支持力不是重力，C错误； Ｄ．叠放在一起相对静止的物体，下面物体在拉力作用下，使两个物体一起加速运动，上面物体的加速度由静摩擦力作用产生的，所以静摩擦力与物体运动方向相同，D正确。 故选BD。 11．（多选）学生在体育课上练习投掷铅球，铅球出手高度、出手速度大小及抛出角度对成绩均有影响。如图所示，某同学投掷铅球，出手位置到地面的高度为h，初速度大小为，与水平方向夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．铅球抛出后继续上升的高度为 B．铅球落地时速度大小为，方向竖直向下 C．若初速度变为，其余条件不变，则水平射程变为原来的2倍 D．铅球经过最高点的曲率半径（最高点对应的圆弧半径）为 【答案】AD 【详解】A．铅球初速度在竖直方向和水平方向的分速度分别为， 在竖直方向上做自由落体运动，设最大上升高度为，有，故A项正确； B．从铅球抛出后到落地，设铅球的竖直方向速度为，有 落地时的速度为 铅球在水平方向做匀速直线运动，因此其水平方向始终有分速度，即其落地时速度方向不可能竖直向下，故B项错误； C．结合之前的分析可知，铅球抛出后初速度在竖直方向分速度为，铅球在竖直方向做竖直上抛运动，有 设运动时间为t，有 解得 由于铅球的初速度变为，则由其分析可知，铅球的运动时间增加。在水平方向由 由于铅球初速度变为二倍，所以水平方向的速度也增加二倍，但其时间变长，所以铅球在水平方向的位移大于二倍，故C项错误； D．铅球到达最高点时，其竖直方向速度为零，此时的速度为水平方向速度，有之前的分析可知 此时铅球的重力为其向心力，有 解得，故D项正确。 故选AD。 12．（多选）如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的线速度为 B．该盒子做匀速圆周运动的周期为 C．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为2mg D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg 【答案】CD 【详解】A．盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力，此时对球，重力提供向心力，有 则该盒子做匀速圆周运动的线速度为 所以A错误； B．盒子做匀速圆周运动的周期为 所以B错误； C．盒子经过最低点C时，对球，支持力与重力的合力提供向心力，有 解得 所以C正确； D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，球受到盒子左壁的水平向右的压力Fx提供向心力，有 根据牛顿第三定律，小球对盒子左壁的压力大小为 所以D正确。 故选CD。 13．某实验小组准备用如图1所示的装置来探究向心力大小与速度大小的关系。轻质细线的一端系着小钢球，另一端固定在力传感器上，将小钢球拉起一定高度后由静止释放，光电门测出小钢球的球心经过最低点时的挡光时间，力传感器测出此时细线的拉力大小。已知小钢球的直径为、质量为，当地的重力加速度为。 (1)某次光电门记录的挡光时间为，则小钢球经过最低点时的速度大小为 。 (2)多次改变小钢球的释放位置，测出多组数据，作出图像，若图像为图2中的 （选填“A”“B”或“C”），说明向心力大小与速度大小的平方可能成正比。 【答案】(1) (2)A 【详解】（1）某次光电门记录的挡光时间为，则小钢球经过最低点时的速度大小为 （2）根据牛顿第二定律可得 又 整理可得 若图像为图2中的A，说明向心力大小与速度大小的平方可能成正比。 14．“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”的实验装置如图所示。 （1）本实验主要用到的科学方法是 ； A．控制变量法    B．等效替代法    C． 理想模型法    D．演绎推理法 （2）探究向心力与角速度之间的关系时，选择半径 选填“相同”或“不同”的两个塔轮；同时应将质量相同的小球分别放在 处； A 挡板A和挡板B    B．挡板A和挡板C    C． 挡板B和挡板C （3）探究向心力与角速度之间的关系时，若图中左右标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比1：9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的左右变速塔轮对应的半径之比为 。 【答案】 A 不同 B 3：1 【详解】[1]由于向心力大小与半径、角速度、质量有关，因此要采用控制变量法。 故选A。 [2]探究向心力与角速度之间的关系时，根据线速度与角速度的关系，可知应选择半径不同的两个塔轮。 [3]为了保证两小球做圆周运动的半径相同，应将质量相同的两小球分别放在挡板A和挡板C。 故选B。 [4]探究向心力与角速度之间的关系时，左右标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1：9；根据向心力公式F = mrω2 角速度之比 根据线速度与角速度的关系 因此左右塔轮半径之比 15．如图甲所示是某同学设计的验证向心力大小表达式的实验装置图。力传感器下端用一刚性细绳悬挂一质量为m的小球，小球下方固定一宽度为d的轻质遮光片，重力加速度为g。光电门置于小球正下方最低点处。实验步骤如下： (1)当小球静止时，悬点与毫米刻度尺的零刻度线对齐，小球位置如图乙所示，则悬点到球心的距离 ； (2)将小球拉升到一定高度（细绳始终伸直）后释放，用光电门记录小球第一次经过最低点时的遮光时间为，则小球经过最低点的速度 （用题目中物理量符号表示）。用力传感器测得小球第一次通过最低点时细绳的拉力大小F，改变小球拉升的高度，重复步骤（2），测得多组数据，根据测量得到的数据在坐标纸上绘制的图像如图丙所示，其横坐标表示的物理量为 （填“”、“”或“”）； (3)图线与纵轴的截距为b，斜率为k；若满足 ， ，则能验证向心力表达式成立（选用m，d，g，L表示）； (4)向心力的实际值为，理论值为，实验中发现上明显大于，可能的原因是 。 【答案】(1)86.30/86.31/86.32/86.29/86.28 (2) (3) (4)小球速度测量偏大。 【详解】（1）刻度尺的最小刻度为1mm，则悬点到球心的距离L=86.30cm （2）[1]小球经过最低点的速度大小表达式为 [2]小球第一次过最低点时，有 联立可得 则拉力大小与成线性关系，可知横坐标表示的物理量为 （3）[1][2]根据，若斜率，图线与纵轴的截距为 则能验证向心力表达式成立。 （4）小球下方固定一宽度为d的轻质遮光片，可知遮光片的速度大于小球速度，即小球速度测量偏大，导致理论值明显大于。 16．如图所示，有一质量为2kg的小球A与质量为1kg的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O，当小球A在水平板上绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：（重力加速度大小为） (1)轻绳的拉力大小； (2)小球A运动的线速度大小。 【详解】（1）设物块质量为，小球质量为，根据题意受力平衡，受重力和轻绳的拉力，故轻绳拉力 （2）小球做匀速圆周运动的向心力大小等于轻绳拉力，根据牛顿第二定律 解得 【链接高考】 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）光滑水平细杆和竖直细杆固接于O点构成了“”装置，如图所示。A是内径略大于杆直径的圆环、B是质量与A相同的小球，A、B均可视为质点，其中A套在水平细杆上，B系着长度相等的两根轻绳，轻绳上端分别系于O点和A环上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。当整个装置一起以角速度ω绕竖直杆匀速转动时，小球B到水平杆的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小球B做匀速圆周运动的半径为，则圆环A做匀速圆周运动的半径为，左边绳的拉力为，右边绳的拉力为，两绳与水平杆的夹角均为，两物体的质量都为m。对A分析，根据牛顿第二定律有 对B分析，在水平方向上根据牛顿第二定律有 联立可得 对B分析，在竖直方向根据平衡条件有 联立可得 根据几何关系可知小球B到水平杆的距离 解得 故选D。 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图所示是一只蜜蜂的飞行轨迹，这只蜜蜂以恒定的速率依次经过A、B、C、D四个点，则蜜蜂飞过哪个位置时受到的合力最大（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】蜜蜂在每小段的运动都可以视为圆周运动的一部分，因为是匀速率飞行，合力方向指向各自圆心，点对应的圆周半径最小，合力提供向心力 根据向心力公式 可知蜜蜂在点所受合力最大。 故选D。 3．（2025·甘肃白银·二模）（多选）如图所示，质量为的小球套在与竖直方向成角的倾斜光滑轻杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，图中水平，间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，距离等于距离，小球在点时弹簧弹力大小恰好等于小球重力。轻杆绕竖直轴做匀速圆周运动，且小球随轻杆稳定转动时轨迹平面水平，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．当小球在点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为 B．当小球在点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为 C．小球在点与轻杆相对静止，小球对轻杆的弹力可能为零 D．小球在点与轻杆相对静止，缓慢增大角速度，小球可能仍在点相对轻杆静止 【答案】AB 【详解】A．当小球在点与轻杆相对静止，受力分析后由轻杆的弹力的水平分量充当向心力 即， 解得此时的角速度为，故A正确； B．当小球在点与轻杆相对静止时，弹簧弹力与轻杆弹力的水平分量充当小球的向心力， 有，且 解得，故B正确； C．小球在点与轻杆相对静止，由于对称性，此时弹簧的长度与A处时相等，弹力大小也为。小球竖直方向上，轻杆弹力不为0。故C错误； D．小球在点与轻杆相对静止，缓慢增大角速度，所需要的向心力增加，轻杆弹力不足以提供小球的加速度，故小球会向上运动，不能在B处静止，故D错误。 故选 AB。 4．（2023·浙江·高考真题）“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。 ①采用的实验方法是 A．控制变量法　　B．等效法　　C．模拟法 ②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的 之比（选填“线速度大小”、“角速度平方”或“周期平方”）；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值 （选填“不变”、“变大”或“变小”）。 【答案】 A 角速度平方 不变 【详解】①[1]本实验先控制住其它几个因素不变，集中研究其中一个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法； 故选A。 ②[2]标尺上露出的红白相间的等分格数之比为两个小球所受向心力的比值，根据 在小球质量和转动半径相同的情况下，可知左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的角速度平方之比。 [3]设皮带两塔轮的半径为R1、R2，塔轮的线速度为v；则有 ， 小球质量和转动半径相同的情况下，可知 由于两变速盘的半径之比不变，则两小球的角速度平方之比不变，左、右标尺露出红白相间等分标记的比值不变。 5．（2025·湖北·模拟预测）某兴趣小组设计了如图甲所示的实验装置，来探究向心力大小与角速度大小的关系。将一个质量分布均匀，边长为的磁性正方体滑块放置在转台上，长为且不可伸长的绝缘细线与转台平行，一端连接磁性滑块内侧，另一端连到固定在转轴上的力传感器上，力传感器与计算机连接可以显示细线上拉力的大小。磁性滑块静止时，力传感器示数为零。转台左侧固定一智能手机，智能手机中的“磁传感器”能实时记录手机附近磁场的大小，磁体越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。当转台绕竖直轴水平匀速转动时，手机记录滑块多次经过时的磁场脉冲信号，如图乙所示。 (1)由图乙可得滑块做匀速圆周运动的角速度大小 （用、表示）。 (2)经多次实验后，以力传感器的示数为纵轴，对应的角速度平方为横轴，建立直角坐标系，描点后拟合为一条直线，如图丙所示，试分析图像不过原点的原因： 。 (3)该小组通过分析发现由丙图还可计算出滑块的质量，则 （用、、、表示）。 【答案】(1) (2)滑块与转台间存在摩擦力 (3) 【详解】（1）由图乙可知，滑块做匀速圆周运动的周期为 根据匀速圆周运动角速度与周期的关系 解得滑块做匀速圆周运动的角速度大小 （2）若滑块和转台之间存在摩擦力，则有 解得 不考虑摩擦力时，图像应恰好过原点，不过原点，可能是由于滑块与转台间存在摩擦力。 （3）由上述分析以及图丙可知，图像的斜率为 因为滑块做圆周运动的半径为滑块中心到力传感器的距离 代入上式解得滑块的质量 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2. 向心力 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 向心力 1 题型2 向心力的大小的影响因素 3 题型3 变速圆周运动和一般的曲线运动 5 题型4 探究向心力大小的表达式 7 题型5 牛顿第二定律与向心力结合解决问题 11 【能力培优练】 13 【链接高考】 18 【重难题型讲解】 题型1 1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 2、向心力方向：指向圆心，向心力方向与速度方向垂直，是变力。圆周运动的向心力方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。 3、向心力作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 4、向心力的性质：向心力是按效果命名的力，在受力分析的时候不能单独分析。 ★特别提醒 （1）向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 （2）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。 （3）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定。 【探究归纳】向心力是物体做圆周运动时，指向圆心的合外力（或合外力的径向分量），其作用是改变线速度的方向，不改变大小；向心力由重力、弹力、摩擦力等一种或多种力提供，并非独立存在的力。 【典例1-1】如图甲所示，机器人转动八角巾手帕时形成一个匀速转动的圆盘。为手帕的中心，为手帕上的三个点（如图乙），各点到点的距离关系为，下列说法正确的是（　　） A．A点的线速度大于点的线速度 B．点的周期大于点的周期 C．点的角速度小于A点的角速度 D．A点所受的合力不一定指向圆心 【典例1-2】（多选）下列关于向心力的叙述中，正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体，除受其他的物体对它的作用外，还受到一个向心力的作用 B．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是某几个力的合力，也可以是某一个力的分力 C．做匀速圆周运动的物体，所受的向心力是一个恒力 D．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小 跟踪训练1下列关于向心力的说法中正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用 B．向心力和重力、弹力一样，是性质力 C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力不一定提供向心力 跟踪训练2（多选）关于做圆周运动的物体，下列说法正确的是（　　） A．做圆周运动物体的加速度都指向圆心 B．做匀速圆周运动物体所受的合力是变力 C．做变速圆周运动的物体，向心力的作用是只改变线速度方向 D．做匀速圆周运动的物体因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 题型2 的大小的影响因素 1、感受向心力实验：如图所示，在绳子的一端拴一个小球，另一端握在手中。将手举过头顶，使小球在水平面内做圆周运动。此时，小球所受的向心力近似等于手通过绳对小球的拉力。换用不同质量的小球，并改变小球转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化； （1）保持小球转动的速度和绳的长度不变，改变小球的质量，感受向心力的变化。 （2）保持绳的长度和小球的质量不变，改变小球转动的速度，感受向心力的变化。 （3）保持小球的质量和小球转动的速度不变，改变绳的长度，感受向心力的变化。 2、实验结论: 物体做圆周运动需要的向心力与物体质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。 3、向心力的大小公式：Fn＝mrω2；又因为及和，所以。 4、由表达式可以看出： （1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比。 （2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比。 （3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比。 （4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比。 （5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。 ★特别提醒 对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动（如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动），其向心力大小随速率的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。 【探究归纳】向心力大小由公式决定，核心影响因素是物体质量m、圆周运动半径r，以及线速度v、角速度ω、周期T等运动状态量，质量越大、线速度越快或半径越小，向心力越大。 【典例2-1】自然界中的曲线运动是很常见的。掷出的链球、公转的地球等，它们的运动轨迹都是曲线。下列说法正确的是（　　） A．受变力作用的物体一定做曲线运动 B．物体做曲线运动时，其加速度一定不断变化 C．速度变化的物体一定做曲线运动 D．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直 【典例2-2】（多选）3月30日，在2021年成都女子链球比赛中，亚洲纪录保持者王峥以71米93夺冠。比赛中，运动员站在投掷圈内，双手握住铁链的把手，人带动链球加速旋转将链球掷出，整个过程可简化为加速圆周运动和斜抛运动两个过程。忽略空气阻力，则（　　） A．加速圆周运动过程中，链球受到的合力指向圆心 B．加速圆周运动过程中，铁链对链球的拉力做正功 C．掷出后在空中运动的过程中，链球做匀变速运动 D．链球飞出的水平距离与掷出时速度的方向无关 跟踪训练1如图所示， 2023年9月30日，杭州亚运会田径项目男子链球决赛，中国00后小将王琦凭借第五轮的72米97成功夺冠，在他投掷过程中，对于绳子上A、B两点的描述正确的是（　　）    A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）链球是田径运动中利用双手投掷的竞远项目，运动员两手握着链球上铁链的把手，人带动链球旋转，最后加力使球脱手而出。某运动员在一次链球训练时，落点到抛出点的距离为x=80m，通过训练录像测得链球离地的最大高度为h=20m，（忽略空气阻力，不计链球抛出时离地高度，重力加速度g取10m/s2），求： （1）链球从最高点到地面经历的时间。 （2）链球在最高点的速度大小。 （3）若链球脱手前做圆周运动的半径为r=1.5m，则链球脱手前瞬间角速度的大小。    题型3 变速圆周运动和一般的曲线运动 1、变速圆周运动 （1）运动员抛出链球的过程中，使链球越转越快，在链球速度比较大的时候，抛出链球，使链球运动的更远，这个过程中链球做变速圆周运动。 （2）如图所示，当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心（合力不指向圆心物体做变速圆周运动的受力条件）时，物体做变速圆周运动。 速度减小的圆周运动 速度增大的圆周运动 ①向心分力Fn，产生向心加速度an，只改变线速度方向。 ②切向分力Fτ，产生切向加速度aτ，改变线速度的大小。 ③当合外力与速度夹锐角时，物体线速度增加。 ④当合外力与速度夹钝角时，物体线速度减小。 2、一般的曲线运动 （1）运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。 （2）研究方法：如图所示把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 一般的曲线运动的研究方法 【探究归纳】类平抛运动是初速度与恒力（非重力）垂直的匀变速曲线运动，可分解为初速度方向匀速运动和恒力方向匀加速运动，遵循运动的合成与分解规律。 【典例3-1】A、B两球在向心力演示器上做圆周运动，如图所示。已知A、B两球的质量之比为，做圆周运动的半径之比为、角速度之比为。据此可知，两球所受向心力的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）如图所示，物理课老师用手掌托一苹果，在竖直平面内顺时针方向做匀速圆周运动，手掌始终保持水平。苹果从最高点c运动到最低点a的过程，下列说法正确的是（　　） A．苹果的线速度不变 B．苹果做匀变速曲线运动 C．苹果先处于失重状态后处于超重状态 D．手掌对苹果的摩擦力先增大后减小 跟踪训练1小王沿一圆形花坛匀速跑步（做匀速圆周运动），若当他运动的半径不变，角速度增大为原来的2倍时，向心力的大小比角速度增大前的向心力大45N，则小王在角速度增大前的向心力大小为（ ） A．15N B．30N C．45N D．60N 跟踪训练2游乐场旋转转盘的模拟装置如图所示。绕竖直轴以角速度ω匀速转动的水平圆盘上放着质量为m的物块，物块与圆盘保持相对静止且离圆心距离为r。求： (1)物块的线速度v； (2)物块受到的摩擦力大小。 题型4 探究向心力大小的表达式 一、实验仪器 1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺 二、实验步骤：匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。 （1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。 （2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 （3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 （4）重复几次以上实验。 三、数据处理 （1）m、r一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 ω ω2 （2）m、ω一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 r （3）r、ω一定 序号 1 2 3 4 5 6 F向 m （4）分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。 （5）实验结论 ①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比； ②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比； ③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。 ★特别提醒 向心力公式的探究实验主要的原理是控制变量法，通过依次改变某一个物理量而控制另两个物理量不变的方式来探究各参数之间的关系，从而推导出向心力的表达式。向心力的表达式有多种形式可以相互转换：。 【探究归纳】探究向心力大小的表达式实验，用控制变量法，保持半径或角速度不变，改变质量、角速度、半径，通过比较滑块被拉伸的弹簧形变程度反映向心力大小，得出向心力与质量、角速度平方、半径成正比，推导得公式。 【典例4-1】“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。本次实验使用的两个小球质量相等，且通过调节装置使得两个小球具有相同的转动半径： (1)下列实验与本实验所采用的实验探究方法相同的是________。（填字母序号） A．探究平抛运动的特点 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 (2)两个小球转动时的线速度大小关系为vA vB。（选填“＞”、“＜”或“=”） (3)逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的 （选填“线速度大小”、“角速度平方”或“周期平方”）之比；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值 （选填“不变”、“变大”或“变小”）。 跟踪训练1某探究小组用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。请回答以下问题： ①在该实验中，主要利用 来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系； A．理想实验法                B．微元法            C．控制变量法            D．等效替代法 ②探究向心力与角速度之间的关系时，应选择半径 （填“相同”或“不同”）的两个塔轮； ③探究向心力与角速度之间的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为，可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为 。 A．                B．                C．                D． 跟踪训练2用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动，根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两球所受的向心力大小之比。 (1)该实验中，利用了______来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系； A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)探究向心力大小与半径的关系时，在控制角速度相同的情况下，应将两个质量相等的钢球分别放在 （选填“A和B”、“A和C或“B和C”）位置； (3)为了探究向心力大小与物体质量的关系，应比较下表中的第1组和第 组数据；为了探究向心力大小与转速的关系，应比较下表中的第1组和第 组数据。 组数 小球的质量m/g 转动半径r/cm 转速n/（r·s-1） 1 14.0 15.00 1 2 28.0 15.00 1 3 14.0 15.00 2 4 14.0 30.00 l 题型5 牛顿第二定律与向心力结合解决问题 1、牛顿第二定律与向心力结合解决问题：圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。 2、圆周运动中的动力学问题分析 （1）向心力的确定 ①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置。 ②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。 （2）向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 （3）解决圆周运动问题步骤 ①审清题意，确定研究对象。 ②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等。 ③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 ④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。 【探究归纳】解决圆周运动问题时，将牛顿第二定律 F合=ma与向心力公式结合，明确圆周运动的圆心位置，分析物体受力并找出指向圆心的合外力，该合外力即为向心力，再代入联立求解相关物理量。 【典例5-1】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一个物体随着圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小 C．物体所受弹力增大，摩擦力不变 D．物体所受弹力减小，摩擦力也减小 【典例5-2】（多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．转速的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为0 跟踪训练1一小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。关于小球的受力，下列说法正确的是（ ） A．小球受到重力和离心力 B．小球受到重力、支持力和向心力 C．小球的向心力是由支持力提供的 D．小球的向心力是由重力和支持力的合力提供的 跟踪训练2做匀速圆周运动的物体，质量为1kg，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时； （1）线速度的大小； （2）向心力的大小； 【能力培优练】 1．如图所示，一圆筒绕中心轴转动，小物块紧靠在圆筒的内壁上，相对于圆筒处于静止状态。小物块受到的作用力有（　　） A．重力、静摩擦力和弹力 B．重力、滑动摩擦力和弹力 C．重力、静摩擦力、弹力和向心力 D．重力、静摩擦力、弹力和离心力 2．关于力和运动，下列说法正确的是（　　） A．物体所受合力为零，只能处于静止状态 B．物体在变力的作用下，可能做直线运动 C．卫星绕地球做匀速圆周运动时，所受合力不变 D．滑动摩擦力只能使物体减速，不能使物体加速 3．在速降滑雪运动中，当滑雪板压在雪地上时会把雪内的空气压出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地与滑雪板间的动摩擦因数，雪面松紧程度的不同造成运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数也不同，假设滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到最低点的过程中速率不变，忽略空气阻力的影响，运动员可视为质点，则（    ） A．运动员下滑过程中受四个力作用 B．运动员下滑过程中向心加速度不变 C．运动员下滑过程中受的合外力大小不变 D．运动员下滑过程中受的摩擦力不断增大 4．如图，内壁光滑两端开口的圆筒在竖直方向固定，圆筒半径为，高为，一质量为的小球以的速度从圆筒上端紧贴圆筒沿切线方向水平入射，关于小球在圆筒内运动的情况，下列说法正确的是（　　） A．运动过程中，小球对圆筒内壁的压力逐渐增大 B．小球运动到圆筒底部时的速度大小为 C．小球运动到圆筒底部时对圆筒的压力大小为 D．若增大小球的入射速度，小球在圆筒中运动的时间增加 5．由贵州科学城组织的低空经济科普体验活动于2025年1月4日在观山湖公园如期举行。其中，形似UFO的大型无人驾驶飞碟eVTOL航空器进行了空中盘旋的表演。若其在空中盘旋的运动可看成速率为、半径为的匀速圆周运动。已知该航空器质量为，则其在盘旋过程中所需的向心力大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，P、Q两带孔小球穿在水平杆上，P、Q用细线连接，可沿杆滑动。已知P、Q的质量分别为5m和2m，与杆之间的动摩擦因数分别为2μ和μ，P在竖直中心轴线处，Q到轴线的距离为L。初始时系统静止，细线刚好被拉直。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。整个装置绕着转动，随着角速度缓慢增大，下列判断正确的是（　　） A．转动角速度为时，P受到沿P→Q方向的静摩擦力 B．转动角速度为时，P受到沿Q→P方向的静摩擦力 C．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 D．转动角速度为时，Q将沿P→Q方向滑行 7．如图所示，ABC为竖直放置的光滑半圆环，O为圆心，B为最低点。AB为固定在环上的光滑直杆，在AB直杆上和半圆环的BC部分分别套着两个相同的小环P、Q，现让半圆环绕对称轴OB匀速转动。当角速度为ω1时，小环P在A、B之间的中间位置与直杆保持相对静止；当角速度为ω2时，小环Q在B、C之间的中间位置与半圆环保持相对静止。则关于ω1与ω2的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．运球转身是篮球运动中重要进攻技术之一，其中拉球转身的动作是难点。如图甲所示为运动员拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图乙所示的模型。薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动。假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600g，球心到转轴的距离为45cm，则要顺利完成此转身动作，篮球和手的速度至少为（　　） A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0.5m/s 9．质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直线成θ角，则以下正确的是（     ） A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球只受重力、拉力的作用 C．摆球做匀速圆周运动的向心力为mgtanθ D．摆球做匀速圆周运动的向心加速度为gtanθ 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．物体运动的速率不变，则其加速度为零 B．形状规则的物体的重心不一定为它的几何中心 C．静止在水平桌面上的物体所受支持力就是它的重力 D．静摩擦力的方向可能与运动方向相同 11．（多选）学生在体育课上练习投掷铅球，铅球出手高度、出手速度大小及抛出角度对成绩均有影响。如图所示，某同学投掷铅球，出手位置到地面的高度为h，初速度大小为，与水平方向夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．铅球抛出后继续上升的高度为 B．铅球落地时速度大小为，方向竖直向下 C．若初速度变为，其余条件不变，则水平射程变为原来的2倍 D．铅球经过最高点的曲率半径（最高点对应的圆弧半径）为 12．（多选）如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（　　） A．该盒子做匀速圆周运动的线速度为 B．该盒子做匀速圆周运动的周期为 C．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为2mg D．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg 13．某实验小组准备用如图1所示的装置来探究向心力大小与速度大小的关系。轻质细线的一端系着小钢球，另一端固定在力传感器上，将小钢球拉起一定高度后由静止释放，光电门测出小钢球的球心经过最低点时的挡光时间，力传感器测出此时细线的拉力大小。已知小钢球的直径为、质量为，当地的重力加速度为。 (1)某次光电门记录的挡光时间为，则小钢球经过最低点时的速度大小为 。 (2)多次改变小钢球的释放位置，测出多组数据，作出图像，若图像为图2中的 （选填“A”“B”或“C”），说明向心力大小与速度大小的平方可能成正比。 14．“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”的实验装置如图所示。 （1）本实验主要用到的科学方法是 ； A．控制变量法    B．等效替代法    C． 理想模型法    D．演绎推理法 （2）探究向心力与角速度之间的关系时，选择半径 选填“相同”或“不同”的两个塔轮；同时应将质量相同的小球分别放在 处； A 挡板A和挡板B    B．挡板A和挡板C    C． 挡板B和挡板C （3）探究向心力与角速度之间的关系时，若图中左右标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比1：9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的左右变速塔轮对应的半径之比为 。 15．如图甲所示是某同学设计的验证向心力大小表达式的实验装置图。力传感器下端用一刚性细绳悬挂一质量为m的小球，小球下方固定一宽度为d的轻质遮光片，重力加速度为g。光电门置于小球正下方最低点处。实验步骤如下： (1)当小球静止时，悬点与毫米刻度尺的零刻度线对齐，小球位置如图乙所示，则悬点到球心的距离 ； (2)将小球拉升到一定高度（细绳始终伸直）后释放，用光电门记录小球第一次经过最低点时的遮光时间为，则小球经过最低点的速度 （用题目中物理量符号表示）。用力传感器测得小球第一次通过最低点时细绳的拉力大小F，改变小球拉升的高度，重复步骤（2），测得多组数据，根据测量得到的数据在坐标纸上绘制的图像如图丙所示，其横坐标表示的物理量为 （填“”、“”或“”）； (3)图线与纵轴的截距为b，斜率为k；若满足 ， ，则能验证向心力表达式成立（选用m，d，g，L表示）； (4)向心力的实际值为，理论值为，实验中发现上明显大于，可能的原因是 。 16．如图所示，有一质量为2kg的小球A与质量为1kg的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O，当小球A在水平板上绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：（重力加速度大小为） (1)轻绳的拉力大小； (2)小球A运动的线速度大小。 【链接高考】 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）光滑水平细杆和竖直细杆固接于O点构成了“”装置，如图所示。A是内径略大于杆直径的圆环、B是质量与A相同的小球，A、B均可视为质点，其中A套在水平细杆上，B系着长度相等的两根轻绳，轻绳上端分别系于O点和A环上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。当整个装置一起以角速度ω绕竖直杆匀速转动时，小球B到水平杆的距离为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图所示是一只蜜蜂的飞行轨迹，这只蜜蜂以恒定的速率依次经过A、B、C、D四个点，则蜜蜂飞过哪个位置时受到的合力最大（　　） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·二模）（多选）如图所示，质量为的小球套在与竖直方向成角的倾斜光滑轻杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，图中水平，间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，距离等于距离，小球在点时弹簧弹力大小恰好等于小球重力。轻杆绕竖直轴做匀速圆周运动，且小球随轻杆稳定转动时轨迹平面水平，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．当小球在点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为 B．当小球在点与轻杆相对静止，轻杆转动的角速度为 C．小球在点与轻杆相对静止，小球对轻杆的弹力可能为零 D．小球在点与轻杆相对静止，缓慢增大角速度，小球可能仍在点相对轻杆静止 4．（2023·浙江·高考真题）“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。 ①采用的实验方法是 A．控制变量法　　B．等效法　　C．模拟法 ②在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的 之比（选填“线速度大小”、“角速度平方”或“周期平方”）；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值 （选填“不变”、“变大”或“变小”）。 5．（2025·湖北·模拟预测）某兴趣小组设计了如图甲所示的实验装置，来探究向心力大小与角速度大小的关系。将一个质量分布均匀，边长为的磁性正方体滑块放置在转台上，长为且不可伸长的绝缘细线与转台平行，一端连接磁性滑块内侧，另一端连到固定在转轴上的力传感器上，力传感器与计算机连接可以显示细线上拉力的大小。磁性滑块静止时，力传感器示数为零。转台左侧固定一智能手机，智能手机中的“磁传感器”能实时记录手机附近磁场的大小，磁体越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。当转台绕竖直轴水平匀速转动时，手机记录滑块多次经过时的磁场脉冲信号，如图乙所示。 (1)由图乙可得滑块做匀速圆周运动的角速度大小 （用、表示）。 (2)经多次实验后，以力传感器的示数为纵轴，对应的角速度平方为横轴，建立直角坐标系，描点后拟合为一条直线，如图丙所示，试分析图像不过原点的原因： 。 (3)该小组通过分析发现由丙图还可计算出滑块的质量，则 （用、、、表示）。 / 学科网（北京）股份有限公司 $