5.5指数函数与对数函数的应用（教案）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块下册》 第五章指数函数与对数函数 5.5指数函数与对数函数的应用 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节内容是对前两节课知识的深化与拓展，通过实际问题的解决，帮助学生体会指数函数与对数函数在刻画现实世界变化规律中的重要作用，实现从数学理论到实际应用的过渡。教材选取了与生活、经济、科技等领域密切相关的实例，如复利计算（重点）、人口增长、放射性物质衰变、声强级计算等，注重培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。同时，本节内容也为后续学习更复杂的函数应用及相关专业课程奠定了基础，具有承上启下的关键作用。通过本节的学习，学生能够进一步理解函数模型的构建过程，提升数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经学习了指数函数和对数函数的定义、图像及基本性质，能够进行简单的指数与对数运算，这为本节课的学习提供了必要的知识储备。但中职学生在数学学习中普遍存在抽象思维能力较弱、知识应用意识不强、对数学与实际生活联系的认识不足等问题。他们更倾向于直观、具体的学习方式，对理论性较强的内容兴趣不高，但对与专业相关或生活中常见的实际问题较为关注。此外，学生在将实际问题转化为数学模型、运用数学知识解决问题的步骤和方法上还存在困难，尤其是在理解问题情境、设定变量、建立函数关系式以及对结果进行解释和检验等环节需要教师的引导和帮助。因此，教学中应多选取贴近学生生活和专业的实例，降低问题的抽象性，通过分步引导和小组合作等方式，激发学生的学习兴趣，提升其应用能力。 六、教学目标 1.能识别实际问题中的指数增长、指数衰减模型，列出函数表达式； 2.能运用对数函数解决涉及“倍数关系”“等级划分”的实际问题； 3.掌握指数函数与对数函数模型的求解步骤，并能解释结果的实际意义。 4.通过实例分析，经历“问题情境—抽象模型—求解验证”的数学建模过程； 5.感受数学在解决生活、职业问题中的工具性作用，增强应用意识； 6.通过人口、环境等案例，培养社会责任感和科学态度。 七、教学重点 1.指数函数模型（增长与衰减）和对数函数模型在实际问题中的应用。 2.运用指数函数与对数函数解决实际问题的基本步骤和方法。 八、教学难点 1.将实际问题抽象转化为数学模型（即建立指数函数或对数函数关系式）。 2.理解不同问题情境中函数模型参数的实际意义，并对计算结果进行合理的解释和检验。 九、教学方法 情境教学法：展示案例，营造情境，认识应用，激发兴趣动力，体会指数函数、对数函数在生活中的广泛应用。 问题驱动法：设计问题，引导思考，联系指数、对数函数的特征，培养解决问题能力，构建知识框架。 小组合作探究法：小组研讨，交换意见分享思考疑问，启发学习，完成推导，提升协作沟通能力，加深知识理解。 多媒体辅助教学法：工具动态呈现生成过程，演示理解定义攻克难点，展示推导环节和图形变化，转化抽象知识，增强效果效率。 讲授法：探究讨论后，针对问题和重点讲解，把握核心内容，为解决问题打下基础。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 数学建模的背景与发展，及建模的过程。 让学生了解数学建模这一思想，介绍数学建模大赛，了解建模的过程 提出问题 1．指数函数模型 某小微企业2022年营业收入为200万元,根据市场调研,预期在未来10年内,平均每年营业收入按8%的增长率增长,预计该企业2032年的营业收入约为多少万元(保留到个位)． 引导学生联系实际思考 探索新知 设在2022年后的第x年该企业的营业收入为y万元,则第1年,即当x=1时, y=200×(1+8%)=200×1.08, 第2年,即当x=2时, y=200×1.08×(1+8%)=200×1.082,第3年,即当x=3时, y=200×1.082×(1+8%)=200×1.083,…… 由此得到,第x年该企业的营业收入为y=200×1.08x(x∈N且1≤x≤10)． 当x=10时,得到2032年该企业的营业收入为 y=200×1.0810≈432． 即该企业2032年的营业收入约为432万元. 总结：使用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)所表达的函数模型，其特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，也称为“指数激增”。 体会用数学知识解决问题的一般策略掌握基本步骤 提出问题 2．对数函数模型 2022年某县人口总数约120万,如果预计人口的年平均自然增长率为1.25%,哪一年该县人口总数将超过140万？ 创设问题情境 探索新知 设x年后人口总数为140万,依题意得 120×(1+0.0125)x=140,即 即2035年该县人口总数将超过140万． 总结：用对数型函数f(x)=mlogax(m,n,a为常数，m>0,x>0,a>1)表达的函数模型，其特点是开始阶段增长得较快，但随着x的增大，函数值变化得越来越慢，也称“蜗牛式增长”。 探究与发现 指数的爆炸式增长源自指数运算的性质,对指数运算不熟悉的人,在估算指数的值时,可能会出现很大的误差．例如,先猜测下列各指数值大约是多少： 1.013651.02365 0.993651.01219×0.98146． 然后实际去计算一下,看看你的猜测是否正确,你从中体会到什么？ 详解见PPT. 体会数学知识解决问题的一般策略和基本步骤 联系实际拓宽知识面 巩固练习 案例一 2008年3月，在福布斯全球财富排行榜上，77岁的美国人沃伦·巴菲特成为了全球首富.而在1962年，巴菲特的个人资产仅有100万美元.46年来，他依靠在股票、外汇等市场上的投资，平均年增长率约达27.11%，到2008年，作为全球首富的巴菲特究竟拥有多少资产呢？如果保持同样的增速，2026年他的资产有多少呢？ 案例二 城镇化是现代化的必由之路，是我国最大的内需潜力和发展动能所在，对全面建设社会主义现代化国家意义重大。《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》显示，2017年末城镇常住人口81347万人，比去年末提高1.17个百分点，如果按此速度增长，那么到2035年末，我国城镇常住人口大约为多少？(精确到万人) 案例三 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人). 案例四、五以及详解略 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成5.5《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 5.5指数函数与对数函数的应用 一、指数函数模型 1. 增长型：y=a(1+r)ˣ 2 衰减型：y=a(1-r)ˣ 二、对数函数模型 三、解决实际问题的步骤 1. 审题：理解题意，明确已知量、未知量 2. 设元：设出合适的自变量和因变量 3. 建模：建立指数或对数函数关系式 4. 求解：运用指数对数运算求解 5. 检验与解释：结果是否符合实际意义 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处：本节课通过选取学生熟悉的储蓄、人口增长、放射性衰变、声强级等实例，较好地激发了学生的学习兴趣。教学过程中注重引导学生经历数学建模的完整过程，从情境分析到模型建立，再到求解和解释，步骤清晰，符合学生的认知规律。小组合作练习的设置，增强了学生的参与度和合作意识，有助于不同层次学生的共同提高。对指数函数的增长与衰减模型、对数函数的压缩作用进行了对比和总结，帮助学生构建了清晰的知识框架。 不足之处：在将实际问题转化为数学模型的环节，部分学生仍存在困难，尤其是对于题目中隐含条件的挖掘和变量关系的确定。虽然进行了小组讨论，但个别学生参与度不高，依赖他人。课堂练习的时间略显紧张，对于练习结果的点评可以更加深入，特别是针对不同解法。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $