5.5指数函数与对数函数的应用（教案）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块下册》

第五章指数函数与对数函数

5.5指数函数与对数函数的应用

一、教材

高等教育出版社《数学》（基础模块下册）（修订版）

二、教学时长

1课时（可根据学生水平调整）

三、授课类型

新授课

四、教材分析

本节内容是对前两节课知识的深化与拓展，通过实际问题的解决，帮助学生体会指数函数与对数函数在刻画现实世界变化规律中的重要作用，实现从数学理论到实际应用的过渡。教材选取了与生活、经济、科技等领域密切相关的实例，如复利计算（重点）、人口增长、放射性物质衰变、声强级计算等，注重培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。同时，本节内容也为后续学习更复杂的函数应用及相关专业课程奠定了基础，具有承上启下的关键作用。通过本节的学习，学生能够进一步理解函数模型的构建过程，提升数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养。

五、学情分析

从知识基础来看，学生已经学习了指数函数和对数函数的定义、图像及基本性质，能够进行简单的指数与对数运算，这为本节课的学习提供了必要的知识储备。但中职学生在数学学习中普遍存在抽象思维能力较弱、知识应用意识不强、对数学与实际生活联系的认识不足等问题。他们更倾向于直观、具体的学习方式，对理论性较强的内容兴趣不高，但对与专业相关或生活中常见的实际问题较为关注。此外，学生在将实际问题转化为数学模型、运用数学知识解决问题的步骤和方法上还存在困难，尤其是在理解问题情境、设定变量、建立函数关系式以及对结果进行解释和检验等环节需要教师的引导和帮助。因此，教学中应多选取贴近学生生活和专业的实例，降低问题的抽象性，通过分步引导和小组合作等方式，激发学生的学习兴趣，提升其应用能力。

六、教学目标

1.能识别实际问题中的指数增长、指数衰减模型，列出函数表达式；

2.能运用对数函数解决涉及“倍数关系”“等级划分”的实际问题；

3.掌握指数函数与对数函数模型的求解步骤，并能解释结果的实际意义。

4.通过实例分析，经历“问题情境—抽象模型—求解验证”的数学建模过程；

5.感受数学在解决生活、职业问题中的工具性作用，增强应用意识；

6.通过人口、环境等案例，培养社会责任感和科学态度。

七、教学重点

1.指数函数模型（增长与衰减）和对数函数模型在实际问题中的应用。

2.运用指数函数与对数函数解决实际问题的基本步骤和方法。

八、教学难点

1.将实际问题抽象转化为数学模型（即建立指数函数或对数函数关系式）。

2.理解不同问题情境中函数模型参数的实际意义，并对计算结果进行合理的解释和检验。

九、教学方法

情境教学法：展示案例，营造情境，认识应用，激发兴趣动力，体会指数函数、对数函数在生活中的广泛应用。

问题驱动法：设计问题，引导思考，联系指数、对数函数的特征，培养解决问题能力，构建知识框架。

小组合作探究法：小组研讨，交换意见分享思考疑问，启发学习，完成推导，提升协作沟通能力，加深知识理解。

多媒体辅助教学法：工具动态呈现生成过程，演示理解定义攻克难点，展示推导环节和图形变化，转化抽象知识，增强效果效率。

讲授法：探究讨论后，针对问题和重点讲解，把握核心内容，为解决问题打下基础。

十、教学环节设计

教学环节	教学内容	设计意图
情境导入	数学建模的背景与发展，及建模的过程。	让学生了解数学建模这一思想，介绍数学建模大赛，了解建模的过程
提出问题	1．指数函数模型	引导学生联系实

	某小微企业2022年营业收入为200万元,根据市场调研,预期在未来10年内,平均每年营业收入按8%的增长率增长,预计该企业2032年的营业收入约为多少万元(保留到个位)．	际思考
探索新知	设在2022年后的第x年该企业的营业收入为y万元,则第1年,即当x=1时, y=200×(1+8%)=200×1.08, 第2年,即当x=2时, y=200×1.08×(1+8%)=200×1.082,第3年,即当x=3时, y=200×1.082×(1+8%)=200×1.083,…… 由此得到,第x年该企业的营业收入为y=200×1.08x(x∈N且1≤x≤10)． 当x=10时,得到2032年该企业的营业收入为 y=200×1.0810≈432． 即该企业2032年的营业收入约为432万元. 总结：使用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)所表达的函数模型，其特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，也称为“指数激增”。	体会用数学知识解决问题的一般策略掌握基本步骤
提出问题	2．对数函数模型 2022年某县人口总数约120万,如果预计人口的年平均自然增长率为1.25%,哪一年该县人口总数将超过140万？	创设问题情境
探索新知	设x年后人口总数为140万,依题意得 120×(1+0.0125)x=140,即 即2035年该县人口总数将超过140万． 总结：用对数型函数f(x)=mlogax(m,n,a为常数，m>0,x>0,a>1)表达的函数模型，其特点是开始阶段增长得较快，但随着x的增大，函数值变化得越来越慢，也称“蜗牛式增长”。 探究与发现	体会数学知识解决问题的一般策略和基本步骤