5.4对数函数（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.4对数函数 1 学习目标 1.理解对数函数的概念，能准确写出对数函数的解析式，明确其定义域和值域。 2.掌握对数函数的图像特征，能根据底数的不同（a>1和0<a<1）画出对数函数的图像。 3.理解并掌握对数函数的单调性、奇偶性、过定点等性质，并能运用性质解决简单问题。 4.能初步运用对数函数的知识解决与专业相关的简单实际问题。 5.通过指数函数与对数函数的互逆关系，培养学生的逆向思维能力和转化思想。 学习指数函数时, 我们讨论过细胞的分裂问题：已知某种细胞分裂时, 得到的细胞个数y是分裂次数x的函数, 这个函数表示为y=2x, x∈N*． 情境导入 反过来, 如果我们知道细胞个数, 如何得到细胞分裂的次数呢？进一步, 分裂次数x是细胞个数y的函数吗？ 由于细胞个数y是分裂次数x的函数, 这个函数表示为y=2x, x∈N*．由对数的定义可知, 分裂次数x与细胞个数y之间的关系可以写为x=log2y． 因为习惯用x表示自变量, y表示函数, 因此将这个函数写成y =log2 x． 情境导入 一般地, 形如y =loga x(a>0且a≠1)的函数称为对数函数． 由“零和负数没有对数”可知, 对数函数的定义域为(0,+∞)． 探索新知 探索新知 在对数函数的定义域(0,+∞)内, 列出x的一些特殊值, 并计算对应的函数值y, 列出x、y的对应数值, 如下表． 在同一平面直角坐标系内作出对数函数 与 的图像． 探索新知 将表中两个函数值在同一平面直角坐标系中根据对应关系对两个函数依次描点、连线, 分别得到对数函数y=log2x和y=的图像． 探索新知 观察图像, 这两个函数的图像具有以下特点： （1）函数图像都在 y 轴的右侧, 向右无限延伸, 向左无限接近y轴; （2）函数图像都经过点(1,0); （3）函数y=log2x的图像在(0,+∞)上自左至右呈上升趋势; 函数y=的图像在(0,+∞)上自左至右呈下降趋势． 探索新知 归纳得出对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像和性质． 探索新知 探索新知 想一想 对数函数的图像与指数函数的图像有什么关系？ ★关于直线y=x对称：指数函数和对数函数互为反函数，而互为反函数的两个函数图像必然关于直线y=x对称。 ★定义域与值域互换 ★单调性一致：当a>1时，是增函数，当0<a<1时，是减函数. ★特殊点对应：指数函数y=ax恒过定点(0,1)；对数函数y=logax恒过定点(1,0)；点(0,1)和点(1,0)关于直线y=x对称. 解 （1）因为x-5>0 , 即x>5, 所以函数y=log2(x-5)的定义域为(5,+∞); 例1 求下列函数的定义域． （1） y =log2 (x-5); （2） y = ; （3） y = 2 ． 典型例题 例1 求下列函数的定义域． （1） y =log2 (x-5); （2） y = ; （3） y = 2 ． 典型例题 解 （2）由; 例1 求下列函数的定义域． （1） y =log2 (x-5);（2） y = ;（3） y = 2 ． 典型例题 解 （3）由 即 , 所以y=2的定义域为+∞) ． 例2 比较下列各组中两个数值的大小. 解（1）因为函数y=log3x中的底数a=3>1, 所以函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数． 又因为0<0.7<0.8, 所以 log30.7<log30.8; （1）log30.7与log30.8;（2）log0.234与log0.235;（3）log0.23与log34． 典型例题 例2 比较下列各组中两个数值的大小. （1）log30.7与log30.8;（2）log0.234与log0.235;（3）log0.23与log34． 解 （2）因为函数y=log0.23x中的底数a=0.23<1, 所以函数y=log0.23x在(0,+∞)上是减函数． 又因为0<4<5, 所以log0.234>log0.235; 典型例题 （3）因为对数函数y=log0.2x中底数的a=0.2<1, 所以函数y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数． 又因为log0.21=0, 所以log0.23<log31=0． 同理得log34> log31=0, 则log0.23<log34． 解 例2 比较下列各组中两个数值的大小. （1）log30.7与log30.8;（2）log0.234与log0.235;（3）log0.23与log34． 典型例题 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 归纳汇总 作业布置 1.完成5.4《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 判断一个函数是对数函数，需满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0且不等于1； (3)对数的真数仅有自变量x. 下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2； ②y＝logax(a∈R)； ③y＝log8x； ④y＝ln x； ⑤y＝logx(x＋2)； ⑥y＝2log4x； ⑦y＝log2(x＋1). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不一定是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数. 只有③④符合对数函数的定义.故选B. 1.对数函数的解析式有何特征？ 【详解】在对数函数的定义表达式（，且）中， 前边的系数必须是1， 自变量在真数的位置上，且满足， 底数为常数，且满足，且，否则就不是对数函数． 2.下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】若底数或则不符合对数函数的定义，错误； 中未含有未知数，不符合对数函数的定义，错误； 自变量是，不是x本身，这是一个对数函数与二次函数的复合函数，错误； 底数为，未知数为x，符合对数函数的定义，正确. 故选：D. 3.对数函数与的图像如图，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由图像可知，为增函数，故， 为减函数，故． 故选：C. 4.已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以是减函数，所以； 因为，所以在单调递增，所以； 因为，在单调递减，所以， 所以， 故选：D 5.函数的图像过定点（   ） A． B． C． D． 【分析】根据对数函数 恒过定点求解. 【详解】∵，则， 令，， ∴函数的图像过定点． 故选：C. 6.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】要使函数有意义，则，即， 用区间表示为． 故选：C. 7.比较下列各组数值大小 (1)和 (2)和 (3)和 8.求下列函数的定义域 (1) (2) $