6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.2.2直线的点斜式方程 和斜截式方程 1 学习目标 1.理解直线点斜式方程的推导过程，掌握点斜式方程的形式及适用条件。 2.掌握直线斜截式方程的形式，理解斜率和纵截距的几何意义。 3.能根据已知条件（点和斜率、斜率和纵截距）求直线方程，并能将点斜式方程转化为斜截式方程。 4.通过数形结合，提升直观想象能力。 5.通过解决实际问题，认识数学在工程、技术领域的应用价值。 已知平面内直线上的一点以及直线的倾斜角能画出一条直线． 在平面直角坐标系中, 已知直线l上的一点P0的坐标(x0, y0)和直线的斜率k, P(x, y)为直线l上异于点P0的点, 如何写出直线l的方程？ 情境导入 1. 直线的点斜式方程 （1）直线的斜率公式, 得k= , 即 y-y0=k(x-x0), 其中x≠x0． （2）交点P与点P0(x0, y0)重合时, 显然也符合上式, 即 y-y0=k(x-x0). 探索新知 1. 直线的点斜式方程 方程 y-y0=k(x-x0) 是由直线上一点P0(x0, y0)及斜率 k 确定的, 因此称为直线的点斜式方程． 探索新知 (1) 当斜率k=0时, 直线l的方程为y=y0． 此时直线 l 平行于 x 轴(或与 x 轴重合), 如图(1)所示． 探索新知 直线上任意点 纵坐标都等于y0 当斜率不存在时, 直线l的方程为x=x0． 此时直线 l 平行于 y 轴(或与 y 轴重合), 如图(2)所示． (2) 探索新知 直线上任意点 横坐标都等于x0 想一想 x轴和y轴所在的直线方程是什么？ 探索新知 y=0 x=0 x轴所在的直线方程是：y=0 y轴所在的直线方程是：x=0 探索新知 1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式. 2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0; 4.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0. 点斜式方程 y-y0=k(x-x0) 注意点： 例4 求满足下列条件的直线的点斜式方程． （1）直线经过点A(1, 2), 斜率为; 解 （1）直线过点A(1,2)且斜率 k=, 由直线的点斜式方程, 得 y-2= (x-1); 典型例题 解 （2）由直线的倾斜角α= , 得 k=tan = 又因为直线经过点A(2, 3), 由直线的点斜式方程, 得 y-3= (x-2); 例4 求满足下列条件的直线的点斜式方程． （2）直线经过点A(2, 3), 倾斜角为 ; 典型例题 （3）直线经过点M(2, 3), N(-1, -3), 由直线的斜率公式, 得k= = 因此直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)． 解 例4 求满足下列条件的直线的点斜式方程． （3）直线经过点M(2, 3), N(-1, -3)． 典型例题 2. 直线的斜截式方程 一般地, 把直线 l 与 y 轴交点(0, b)的纵坐标 b 称为直线 l 在 y 轴上的截距(纵截距)； 与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 称为直线 l 在 x 轴上的截距（横截距）． 注意 截距不是距离, 它是直线与y 轴(x 轴)交点的纵坐标(横坐标),它的值可正可负可为零． 探索新知 若直线 l 的斜率为 k, 且与 y 轴的交点为(0, b), 则直线的点斜式方程为： y-b=k(x-0) , 即 y=kx+b． 方程是由直线的斜率 k 及直线在 y 轴上的截距确定的, 因此称为直线的斜截式方程． 探索新知 几何意义： （1）左端 y 的系数恒为1 系数为1 斜率 （2）k为直线的斜率； 截距 （3）b为直线在y轴上的截距。 （可正，可负，可为0） 探索新知 名称 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0,y0) 和斜率k 斜率k和直线在 y轴上的截距b 图示 方程 . . 适用范围 斜率存在 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 探索新知 解 由直线的斜截式方程, 得 y= x+(-2), 即 y= x-2． 例5 设直线l的斜率是, 在 y 轴上的截距是-2, 写出直线 l 的斜截式方程． 典型例题 例6 已知直线 l 过点A(1, 3)和点B(-1, 7), 写出直线 l 的斜截式方程． 解 因为直线 l 过点A(1, 3)和点B(-1, 7), 由直线的斜率公式, 得 k= =- 因此, 直线的点斜式方程为 y-3=-2(x-1), 即直线 l 的斜截式方程为y =-2x+5． 典型例题 例7 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为2和7, 求直线 l 的斜截式方程． 解 因为直线l在 x 轴和y 轴上的截距分别为2和7, 即直线 l 过点(2, 0)和(7, 0),由直线的斜率公式, 得 k= =- 因此, 直线的斜截式方程为 y =-x+7． 典型例题 1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ） A.x＝3 B.y＝－5 C.2y＝x D.x＝4y－1 2.方程y＝k(x－2)表示（ ） A.通过点(－2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 练习巩固 B C 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 C 练习巩固 4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为（ ） D 5.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( ) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 练习巩固 B B 22 7.已知直线 l 的方程为 2x－y+1 = 0．求直线 l 的斜率及在 y 轴上的截距． 解：因为直线 l 的方程为 2x－y+1 = 0， 即y = 2 x+1， 所以直线 l 的斜率为2，在 y 轴上的截距为1． 练习巩固 8.已知直线 l 经过点（1，1）且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为2，求直线 l 的斜截式方程． 所以三角形的面积为(1－ k )×(1- )÷2=2 所以 k2+2k+1=0，即 (k+1)2 = 0，所以 k =－1， 解：设直线 l 的方程为 y－ 1 = k (x－ 1)， k < 0， 令x = 0，得y = 1－ k > 0， 令y = 0，得x =1- >0， 所以直线 l 的方程为 y－ 1 =－ (x－ 1)，即 y =－ x+2． 练习巩固 归纳汇总 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 作业布置 1.完成6.2.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 3.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为( ) A.9 B.－9 C. D.－ 6.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( ) A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 $