6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.1两点间距离公式 和线段中点坐标公式 1 学习目标 1.熟练运用两点间距离公式计算平面内任意两点间的距离。 2.熟练运用线段中点坐标公式求已知线段的中点坐标，或根据中点坐标及一个端点坐标求另一个端点坐标。 3.运用两个公式解决一些简单的实际问题和几何问题。 4.通过经历公式的推导过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想。 5.通过公式的发现和应用，激发学生的学习兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性，体验数学在解决实际问题中的价值。 围棋, 起源于中国, 春秋战国时期即有记载．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵, 在我国古时称为“弈”．围棋使用正方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子, 棋盘上有纵横各19条线段, 361个交叉点, 棋子必须落在交叉点上, 双方交替行棋, 以目数多者为胜． 如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系, 黑白棋子所落的位置是否可以用点的坐标表示呢？ 情境导入 棋盘两枚棋子之间的距离和中间位置, 对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和和以两枚棋子所在点为端点的线段的中点． 在平面直角坐标系中, 平面上任意一点M与有序实数对(a, b)一一对应, 这个有序实数对就是点的坐标．反之, 对于任意一个有序实数对(a, b),都有平面上唯一的一点M与它对应． 情境导入 服务机器人装配与维护专业中, 机器人行进路线上的关键点非常重要．如果把网格地图看作平面直角坐标系, 机器人所在位置以及行进路线中的关键点可以用点的坐标表示, 关键点的距离和中间位置, 对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点． 情境导入 数轴上的点与实数是一一对应的, 若点 A对应的实数是-1, 点B对应的实数是2, 那么A、B两点间的距离是多少？ A、B两点间的距离是2-(-1)=3 在平面直角坐标系中, 每个点对应着一个有序实数对, 即每个点都有坐标, 那么两点间的距离与它们的坐标又有怎样的关系呢？ 情境导入 1. 两点间距离公式 如图, 点M(a, b)到 x 轴的距离为| b |, 到 y 轴的距离为| a | ． 探索新知 在平面直角坐标系中, 点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(5,5), 点C的坐标为(5,2), 则点A与点C之间的距离|AC|=|5-1|=4, 点B与点C之间的距离|CB|=|5-2|=3． 在Rt△ABC中, 根据勾股定理, 有 |AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25, 则 |AB|=5, 即A、B两点间的距离为5． 探索新知 一般地, 设点A的坐标为(x1, y1), 点B的坐标为(x2, y2), 则点C的坐标为(x2, y1), 且有 |AC|=|x2-x1|, |BC|=|y2-y1|. (x2,y2) (x2,y1) A(x1,y1) 在Rt△ABC中, 根据勾股定理, 有 |AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, 即A、B两点间的距离为 |AB|= ． 公式称为两点间距离公式． 探索新知 探索新知 想一想 两点间距离公式写成|AB|=正确么？ 例1 计算P1(2,-5) 与P2(5,-1)两点间的距离． 解 由两点间距离公式, 得 即P1与P2两点间的距离5． 典型例题 解 由两点间距离公式, 得 |AB|==2 因为线段AB是圆的一条直径, 所以圆的周长为2 例2 已知线段AB是圆的一条直径, 在平面直角坐标系中, A点坐标为(-3,-1), B点坐标为(1,1), 求这个圆的周长． 典型例题 在平面直角坐标系中, 若线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2), 线段AB的中点为M(x0, y0), 如何求线段AB的中点M(x0, y0)的坐标呢？ 若数轴上点A对应的实数是-1, 点B对应的实数是2, 线段AB的中点是点C, 那么如何求点C 对应的实数？ 2. 线段的中点坐标公式 情境导入 分别过点A(x1, y1)、B(x2, y2)、 M(x0, y0) 向 x轴作垂线, 垂足分别是点A′(x1, 0)、B′(x2, 0)、M ′(x0, 0), 则|A′M ′|=|M ′B′|． 因为 A′M ′|=| x0-x1|=x0-x1, | M ′B′|=| x2-x0|=x2-x0 , 所以 x0-x1=x2-x0, 即 x0= ． 同理, 分别过点A(x1, y1)、B(x2, y2)、M(x0, y0) 向 y 轴作垂线, 则有 y0= ． 探索新知 因此, 若已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)且线段AB的中点为M(x0, y0), 则有 x0= , y0= ． 公式称为线段AB的中点坐标公式. 探索新知 例3 已知点A(2, 3)与B(8, -3), 求线段AB的中点坐标． 解 设线段AB的中点为M(x0, y0), 由中点坐标公式, 得 x0= , y0= ． 即线段AB的中点 M 的坐标为(5, 0) ． 典型例题 例4 如图, 已知△ABC的三个顶点分别是A(2, 4)、B(-1, 1)、C(5, 3)． （1）求BC边上的中点D的坐标, （2）计算BC边上的中线的长度． 分析（1）已知点B(-1, 1)和点C(5, 3), 由中点坐标公式, 即可求出BC 边上的中点D的坐标, （2）连接点A和点D, 得到BC 边上的中线AD,由两点间距离公式, 即可求出线段AD的长度． 典型例题 解 （1）设线段BC的中点D的坐标为(x0, y0), 由点B(-1,1)、C(5,3)和中点坐标公式, 得 即BC边上的中点D的坐标为(2, 2) ; 典型例题 解（2）由两点间距离公式, 得 即BC 边上的中线长度为2． 在三角形中, 连接一个顶点和它对边中点的线段称为三角形的中线, 一个三角形有三条中线． 典型例题 已知线段两个端点的坐标,可以确定线段中点的坐标．如果知道线段的一个端点和中点的坐标,能否确定另一个端点？怎么求它的坐标？ 探究与发现 例5 已知线段P1P2的一个端点P1(3, 4),线段P1P2的中点P(1, 5),求线段另一个端点P2的坐标． 解 设线段另一个端点P2的坐标为(x, y), 由点P(1, 5)是线段P1P2的中点, 根据中点坐标公式, 得 1= , y0= , 即 x=-1，y=6． 因此, 线段另一个端点P2的坐标为 (-1, 6) ． 典型例题 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 归纳汇总 作业布置 1.完成6.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 解：由于一个数的平方等于它绝对值的平方， ， ， 对等式两边开平方可得， 所以公式正确。 如果知道线段的一个端点和中点的坐标，能确定另一个端点的坐标。 设线段的一个端点坐标为，中点坐标为M(x,y)，另一个端点坐标为。 根据线段中点坐标公式：中点的横坐标x等于线段两个端点横坐标之和的一半，即；中点的纵坐标y等于线段两个端点纵坐标之和的一半，即。 对上述两个公式进行变形，可求解另一端点B的坐标。 对于横坐标，由，等式两边同时乘以(2)得，移项可得。 对于纵坐标，由，等式两边同时乘以(2)得，移项可得。 综上，另一个端点 B 的坐标为。 1．已知点A(5,2)，B(-1,4)，则线段AB的中点坐标为（   ） A．(3，-1) B．(4,6) C．(-3,1) D．(2,3) 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $