6.2.3直线的一般式方程（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.2.3直线的一般式方程 1 学习目标 1.理解直线的一般式方程的概念，掌握直线的一般式方程Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的结构特征。 2.能够将直线的点斜式、斜截式、两点式等特殊形式的方程转化为一般式方程。 3.能根据直线的一般式方程求出直线的斜率和在坐标轴上的截距。 4.会根据直线的一般式方程判断直线的斜率是否存在，并能画出直线的大致图形。 5.通过将特殊形式的直线方程转化为一般式的过程，培养学生的转化思想和运算能力。 直线的方程 标准形式 适用范围 区别 联系 点斜式 斜截式 斜率k存 在的直线 y=kx+b 直线上任意一点的横纵坐标x，y的关系式 应用条件不同； 表达形式不同 知识回顾 当直线的倾斜角为直角时, 直线的斜率不存在,从而无法写出直线的点斜式方程和斜截式方程, 那么在平面直角坐标系中, 所有的直线是否都能用方程表示呢？ 情境导入 直线的点斜式方程 y-y0=k(x-x0) 可化为 kx-y+y0-kx0=0, 直线的斜截式方程 y=kx+b 可化为 kx-y+b=0 , 由此, 直线的点斜式方程和斜截式方程都可化为二元一次方程, 反之二元一次方程 Ax+By+C=0 是否可以表示一条直线呢？ 情境导入 当B≠0时, 二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为 y=- x- , 它表示斜率为-, 在y 轴上截距为- 的直线． 当B=0时, 此时一定有A≠0, 二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为 x=- , 它表示经过点(- ,0)且垂直于x 轴的直线． 探索新知 二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不同时为0) 表示一条直线, 方程称为直线的一般式方程． 这样, 平面中的直线与二元一次方程就建立了一一对应关系． 探索新知 答案　都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在，直线可表示成y＝kx＋b，可转化为 kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程. (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 探索新知 思考：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 答案　(1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝ ，表示与y轴垂直的一条直线. (2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝ ，表示与x轴垂直的一条直线. 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 思考：在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示如下直线： （1）平行于x轴？ （2）平行于y轴？ （3）与x轴重合？ （4）与y轴重合？ 解：（1）A=0,B≠0,C≠0； （2）B=0,A≠0,C≠0 ； （3）A=0,B≠0,C = 0； （4）B=0,A≠0,C = 0 . 探索新知 例8 已知直线经过点 A(2, 5)和 B(1, 4), 写出它的一般式方程． 解法一 设直线的斜率为k, 因为直线经过点 A(2, 5)和B(1, 4), 所以 k= = 则直线的点斜式方程为 y-4 =1·(x-1) , 所以, 直线的一般式方程为 x-y+3=0． 典型例题 解法二 设直线的一般式方程为Ax+By+C=0, 因为直线经过点A(2, 5)和B(1, 4), 所以, 有 解得 把上式代入Ax+By+C=0中, 约去B, 得直线的一般式方程为 x-y+3=0 ． 例8 已知直线经过点 A(2, 5)和 B(1, 4), 写出它的一般式方程． 典型例题 例9 求直线2x-3y+6=0的斜率及直线在 y 轴上的截距． 解 将直线的一般式方程 2x-3y+6=0 化为直线的斜截式方程 y= x+2, 由此得直线的斜率为, 在y 轴上的截距为2. 典型例题 1.思考辨析，判断正误. （1）任何直线方程都能表示为一般式.(　　 ) （2）任何一条直线的一般式方程都能与其他形式互化.(　　) （3）对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.(　　) （4）当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.(　　) √ × × × 练习巩固 2.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________. x＋2y＋4＝0 2x－y－3＝0 x＋y－1＝0 练习巩固 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 3.若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝____. 1 解析：由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2； 练习巩固 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 练习巩固 (2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； 练习巩固 解：设直线的斜率为k, 因为直线经过点 A(-1, 5)和B(2, -1), 所以 k= = 则直线的点斜式方程为 y+1 =（-2）·(x-2) , 所以, 直线的一般式方程为 2x＋y－3＝0． 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 解：由题知直线经过点 A(-3, 0)和B(0, -1), 所以 k= = 则直线的点斜式方程为 y+1 =（）·(x-0) , 所以, 直线的一般式方程为 x＋3y＋3＝0． (3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； 练习巩固 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 练习巩固 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (4)直线经过点C(2，3)，且平行于y轴； 解：直线的斜率不存在， 所以直线方程为x＝2， 即x－2＝0. 练习巩固 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (5)直线过点P(0，7)，且斜率为－2； 解：代入直线的斜截式方程 得y＝－2x＋7， 即2x＋y－7＝0. 练习巩固 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (6)直线在y轴上的截距为－3，且倾斜角为135°. 解：k＝tan 135°＝－1， 代入直线的斜截式方程 得y＝－x－3， 即x＋y＋3＝0. (7)经过点B(4,2)，且平行于x轴. 解：y－2＝0. 练习巩固 求直线一般式方程的策略： 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件写出点斜式或斜截式方程，然后转化为一般式. 4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： 5.把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 解:把直线l的一般式方程化为斜截式 y=x +3. 因此，直线l的斜率k=，它在y轴上的截距是3. 在直线l的方程x- 2y+6=0中，令y=0，得x=-6， 即直线l在x轴上的截距是-6. 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6，0)，B(0, 3)， 过A, B两点作直线，就得直线l(如右图). y x o 3 -6 A B 练习巩固 归纳汇总 作业布置 1.完成6.2.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 － － ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为_____________； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为______________； ∵2＝， ∴a＝1. 当y＝0时，x＝， 即x－y－5＋3＝0. (1)斜率是，且经过点A(5,3)； 解：由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， $