5.5指数函数与对数函数的应用（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

5.5指数函数与对数函数的应用 1 学习目标 1.能识别实际问题中的指数增长、指数衰减模型，列出函数表达式； 2.能运用对数函数解决涉及“倍数关系”“等级划分”的实际问题； 3.掌握指数函数与对数函数模型的求解步骤，并能解释结果的实际意义。 4.通过实例分析，经历“问题情境—抽象模型—求解验证”的数学建模过程； 5.感受数学在解决生活、职业问题中的工具性作用，增强应用意识； 6.通过人口、环境等案例，培养社会责任感和科学态度。 　你知道什么是数学建模吗？ 　 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程. 主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题. 情境导入 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径. 大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的. 情境导入 1．指数函数模型 某小微企业2022年营业收入为200万元,根据市场调研, 预期在未来10年内, 平均每年营业收入按8%的增长率增长, 预计该企业2032年的营业收入约为多少万元(保留到个位)． 情境导入 某小微企业2018年营业收入为200万元, 根据市场调研,预期在未来10年内, 平均每年营业收入按8%的增长率增长, 预计该企业2028年的营业收入约为多少万元(保留到个位) ． 探索新知 设在2018年后的第x年该企业的营业收入为y万元, 则 第1年, 即当x=1时, y=200×(1+8%)=200×1.08, 第2年, 即当x=2时, y=200×1.08×(1+8%)=200×1.082, 第3年, 即当x=3时, y=200× 1.082 ×(1+8%)=200×1.083, …… 由此得到, 第x年该企业的营业收入为 y=200×1.08x (x∈N且1≤x≤10)． 当x=10时, 得到2032年该企业的营业收入为 y=200×1.0810≈432． 即该企业2032年的营业收入约为432万元． 探索新知 指数函数模型 使用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)所表达的函数模型，其特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，也称为“指数激增”。 探索新知 2．对数函数模型 2022年某县人口总数约120万, 如果预计人口的年平均自然增长率为1.25%, 哪一年该县人口总数将超过140万？ 情境导入 设x年后人口总数为140万, 依题意得 120×(1+0.0125)x=140, 即 (1+0.0125)x= , x= log1.0125≈12.4 ． 即2035年该县人口总数将超过140万． 探索新知 对数函数模型 用对数型函数f(x)=mlogax(m,n,a为常数，m>0,x>0,a>1)表达的函数模型，其特点是开始阶段增长得较快，但随着x的增大，函数值变化得越来越慢，也称“蜗牛式增长”。 探索新知 解：1.01365≈e365×ln1.01≈e365×0.0095≈e3.6318≈37.78； 同理计算1.02365≈1419.07； 0.99365 ≈0.0255； 1.01219×0.98146≈0.46. 指数的爆炸式增长源自指数运算的性质, 对指数运算不熟悉的人, 在估算指数的值时, 可能会出现很大的误差．例如, 先猜测下列各指数值大约是多少： 1.01365 1.02365 0.99365 1.01219×0.98146 ． 然后实际去计算一下, 看看你的猜测是否正确, 你从中体会到什么？ 探究与发现 从中体会到的核心结论 指数增长/衰减的“复利效应”远超直觉： 即使是微小的日增长率（如1%、2%），经过365天的指数累积后，结果会呈现“爆炸式增长”（1.01³⁶⁵≈37.78，1.02³⁶⁵≈1419）；反之，微小的日衰减率（如1%）会导致“断崖式下降”（0.99³⁶⁵≈0.0255），其速率远超出日常线性思维的估算能力。 探究与发现 直觉对指数规律的局限性： 人类直觉更适应线性增长（如“每天+1”），但对指数增长（“每天×1.01”）的“加速效应”和指数衰减（“每天×0.99”）的“加速衰减效应”缺乏直观感知，容易严重低估长期累积的结果——这也是为何多数人对1.01³⁶⁵、0.99³⁶⁵的猜测与实际值偏差极大的核心原因。 总结：指数运算的核心是“复利效应”，微小的比例变化在长期时间尺度下会产生惊人的结果。无论是个人成长、投资收益还是自然现象，理解指数规律的本质（而非依赖直觉估算），才能更准确地认知和预测事物的发展趋势。 探究与发现 案例一 2008年3月，在福布斯全球财富排行榜上，77岁的美国人沃伦·巴菲特成为了全球首富.而在1962年，巴菲特的个人资产仅有100万美元.46年来，他依靠在股票、外汇等市场上的投资，平均年增长率约达27.11%，到2008年，作为全球首富的巴菲特究竟拥有多少资产呢？如果保持同样的增速，2026年他的资产有多少呢？ 巩固练习 1962 年，资产 100 万 1963 年，资产100 + 100 × 27.11% = 100（1 +27.11%）万 1964年 ， 资 产 100(1 + 27.11%) + 100(1 +27.11%) × 27.11 = 100(1 + 27.11%)(1 + 27.11%) =100（1 + 27.11%）2万 …… 2008 年，资产100（1 + 27.11%）46万 2026年，资产100（1 + 27.11%）64万 巩固练习 案例二 城镇化是现代化的必由之路，是我国最大的内需潜力和发展动能所在，对全面建设社会主义现代化国家意义重大。《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》显示，2017年末城镇常住人口81347万人，比去年末提高1.17个百分点，如果按此速度增长，那么到2035年末，我国城镇常住人口大约为多少？(精确到万人) 巩固练习 解：设今后城镇常住人口平均增长率为1.17%，从2017年末到2035年共18年， 经过 1 年(即 2018 年末)，城镇常住人口数为 81347+81347×1.17%=81347(1+1.17%)(万人); 经过 2 年(即 2019 年末)，城镇常住人口数为 81347(1+1.17%)+81347(1+1.17%)×1.17%=81347(1+1.17%)2(万人); ..... 所以，经过 18 年(即 2035 年末)，城镇常住人口数为 81347(1+1.17%)18=100294(万人). 巩固练习 案例三 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人). 巩固练习 解： (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%) 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； …… 故y关于x的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)． 巩固练习 (2)当x＝10时， y＝100(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210 ≈112.7， 故10年后该县人口总数约有112.7万人． 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 解：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， 所以y＝f(x)的图象大致为D中图像． 巩固练习 归纳汇总 作业布置 1.完成5.5《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 案例四 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min? (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ 解：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得v＝eq \f(1,2)log3eq \f(8 100,100)－lg 2＝1.7， 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. 解：(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝eq \f(1,2)log3eq \f(x,100)－lg 5，即log3eq \f(x,100)＝2lg 5，解得：x＝466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位． 案例五 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是 (　　) $