6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程（同步练习）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 基础模块下册》 6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程 一、单选题 1．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．直线的点斜式方程是，则直线的斜率是（   ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 4．已知点在方程为的直线上，则的值为 . 5．垂直于轴，且过点的直线方程是 . 6．定义：如图所示，直线的斜率为，截距为，则直线的方程为，即 ．此式称为直线的斜截式方程． 三、简答题 7．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 四、解答题 8．设直线l的斜率是3，在y轴上的截距是，写出直线l的斜截式方程； 一、单选题 1．倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．若直线l的方程是，则（ ） A．直线经过点，斜率为； B．直线经过点，斜率为； C．直线经过点，斜率为； D．直线经过点，斜率为1. 3．方程表示（ ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 二、填空题 4．直线在轴上的截距是，倾斜角为，则直线方程是 ． 5．已知直线：经过点，则直线在y轴上的截距为 . 6．已知点，，则过线段的中点，且倾斜角为的直线m的斜截式方程是 ． 三、证明题 7．已知直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围． 四、解答题 8．求满足下列条件的直线方程： (1)过点，倾斜角为； (2)过两点． 一、单选题 1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，满足，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D．或3 3．已知直线和直线，下图符合条件的是（   ） A．   B．   C．     D．   二、填空题 4．已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线l的方程为 ． 5．过点的直线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 三、证明题 6．求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限． 四、解答题 7．分别写出下列直线的方程： (1)直线垂直于轴，且通过点； (2)轴所在的直线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 基础模块下册》 6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程 一、单选题 1．直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜截式直线方程的斜率为，写出斜率即可. 【详解】直线斜率是. 故选：B. 2．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由点和斜率写出点斜式即可. 【详解】已知倾斜角为， 则，因为经过点， 则代入点斜式方程得，化简得. 故选：A. 3．直线的点斜式方程是，则直线的斜率是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程即可求出直线斜率. 【详解】直线的点斜式方程是，则直线的斜率是， 故选：. 二、填空题 4．已知点在方程为的直线上，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将点代入直线方程中即可得解. 【详解】将代入直线的方程中得，解得， 故答案为：. 5．垂直于轴，且过点的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的方程定义即可解答. 【详解】根据直线的方程定义可知， 过点且垂直于轴的直线为. 故答案为：. 6．定义：如图所示，直线的斜率为，截距为，则直线的方程为，即 ．此式称为直线的斜截式方程． 【答案】 【分析】由点斜式方程化简即可得出结果. 【详解】因为直线的斜率为，截距为，则直线过， 由点斜式方程可得：，即. 所以直线的斜截式方程为. 故答案为： 三、简答题 7．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 【答案】答案见解析 【分析】明确点斜式方程的形式以及直线斜率的概念即可求解. 【详解】不能. 点斜式方程， 直线斜率， 对于垂直于x轴的直线，直线上所有横坐标都相等，所以斜率不存在. 则有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于轴的直线，其方程都不能用点斜式表示. 四、解答题 8．设直线l的斜率是3，在y轴上的截距是，写出直线l的斜截式方程； 【答案】 【分析】根据题意，结合直线的斜率和在y轴上的截距，即可求解. 【详解】因为直线l的斜率是3，在y轴上的截距是， 所以直线l的斜截式方程是. 一、单选题 1．倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率，进而求解直线方程即可. 【详解】倾斜角为，所以. 又因为在轴上的截距为，所以直线方程为. 故选：B. 2．若直线l的方程是，则（ ） A．直线经过点，斜率为； B．直线经过点，斜率为； C．直线经过点，斜率为； D．直线经过点，斜率为1. 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线的方程，化简为斜截式方程，即可判断求解. 【详解】因为直线l的方程是，即， 所以直线l的斜率为，故选项D错误； 又当时，，即直线经过点，故选项A错误，选项C正确； 当时，，故直线过点，不过点，故选项B错误； 故选：C. 3．方程表示（ ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程，即可判断求解.. 【详解】因为为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线， 所以方程表示不垂直于x轴的所有直线， 又时，，故直线过点， 故选：C. 二、填空题 4．直线在轴上的截距是，倾斜角为，则直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线斜率的定义求出直线的斜率，再根据直线的斜截式方程即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为， 又直线在轴上的截距是， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 5．已知直线：经过点，则直线在y轴上的截距为 . 【答案】 【分析】根据截距的定义，结合条件求出即可. 【详解】∵直线：经过点， ∴，解得，则直线在y轴上的截距为， 故答案为：. 6．已知点，，则过线段的中点，且倾斜角为的直线m的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】首先由中点坐标公式求出线段的中点，再由斜率的定义求出斜率，并由点斜式方程写出直线方程最后化为斜截式即可. 【详解】已知点，， 则线段的中点为，即， 由倾斜角为，可得斜率为， 所以直线m的方程为，即， 故答案为：. 三、证明题 7．已知直线． (1)求证：直线l恒过定点； (2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标； （2）求出直线的倾斜角，直线介于直线之间，由此可得结论． 【详解】（1）证明：由，得． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点． （2）由题意可知，， 由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是， ∴的取值范围是． 四、解答题 8．求满足下列条件的直线方程： (1)过点，倾斜角为； (2)过两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的倾斜角求出直线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求解. （2）根据直线上两点的坐标求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为， 又所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. （2）因为所求直线过点， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. 一、单选题 1．已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线的倾斜角，求出直线的斜率，结合直线的斜截式方程，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以直线l的斜率， 又直线l在轴上的截距为， 所以直线的方程为. 故选：B. 2．直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，满足，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D．或3 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式与指数式的转化，可得，继而设出直线的方程，将点代入，求得，将代入直线方程得到，结合两等式，即可求得k的值. 【详解】因为，满足，则且，，且， 由题意，直线l的斜率存在，设直线，即 因为在直线上，所以有：，即， 又直线l在轴上的截距为，即过点， 所以，即，所以， 所以，即， 所以，解得（舍）或， 所以. 故选：C. 3．已知直线和直线，下图符合条件的是（   ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】利用直线的斜率和截距的定义即可求解. 【详解】对于A，由的图象可知，，由的图象可知，，故A正确； 对于B，由的图象可知，，由的图象可知，，矛盾，故B错误； 对于C，由的图象可知，，由的图象可知，，矛盾，故C错误； 对于D，由的图象可知，，由的图象可知，，矛盾，故D错误. 故选：A 二、填空题 4．已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】由直线的倾斜角结合已知条件求出直线的倾斜角和斜率，根据直线方程即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 又直线经过原点，所以直线的方程为或. 故答案为：或. 5．过点的直线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】16 【分析】根据两点求得直线方程，再得到直线在轴和轴上的截距，即可求解. 【详解】设直线方程为，又直线过点， 所以，得到， 得到直线方程为， 当时，；当时，， 所以直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形底的长度为，高的长度为， 故三角形面积为， 故答案为：16 三、证明题 6．求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限． 【答案】证明见解析 【分析】由题可得直线过定点(－2，3)，即证. 【详解】法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限， 故直线l总过第二象限． 法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0. 令解得 ∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限， ∴直线l总过第二象限． 四、解答题 7．分别写出下列直线的方程： (1)直线垂直于轴，且通过点； (2)轴所在的直线. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据直线的不同特征，结合直线方程来求解. （2）根据直线的不同特征，结合直线方程来求解. 【详解】（1）如图所示，显然直线上点的横坐标都是， 而且，横坐标是的点都在直线上， 所以直线的方程是. （2）因为轴上点的纵坐标都是0，而且，纵坐标是0的点显然都在轴上， 所以轴所在直线的方程是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $