6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式（教案）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学基础模块下册》 第六章直线与圆的方程 6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节内容是第六章第一节，是解析几何的入门知识。它是在学生已经学习了平面直角坐标系、点的坐标等基础知识后的进一步延伸，是后续学习直线方程、圆的方程以及更复杂曲线方程的必备工具。两点间距离公式和线段中点坐标公式不仅在数学内部有着广泛的应用，如几何证明、函数图像分析等，在物理学、工程测量、计算机图形学等其他学科及实际生活中也有着重要的实用价值。教材通过具体实例引入，引导学生从特殊到一般进行探究，符合中职学生的认知规律，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。学好本节内容，能为学生后续学习解析几何打下坚实基础，同时提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经掌握了平面直角坐标系的概念，能够熟练写出平面内点的坐标，对有理数、实数的运算以及平方根的概念有一定的了解，这为本节公式的推导和应用提供了必要的知识储备。从认知特点来看，中职学生形象思维能力较强，但抽象逻辑思维能力相对薄弱，对纯粹的理论推导兴趣不高，更倾向于直观的、与实际应用相结合的学习内容。他们渴望通过学习获得解决实际问题的技能。在学习习惯方面，部分学生学习主动性不足，数学基础参差不齐，需要教师在教学过程中注重引导和鼓励，采用多样化的教学方法激发其学习兴趣。因此，在教学中应多结合具体实例，通过问题驱动和小组合作等方式，引导学生主动参与公式的探究过程，降低理解难度，增强学习信心。 六、教学目标 1.熟练运用两点间距离公式计算平面内任意两点间的距离。 2.熟练运用线段中点坐标公式求已知线段的中点坐标，或根据中点坐标及一个端点坐标求另一个端点坐标。 3.运用两个公式解决一些简单的实际问题和几何问题。 4.通过经历公式的推导过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想。 5.通过公式的发现和应用，激发学生的学习兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性，体验数学在解决实际问题中的价值。 七、教学重点 1.两点间距离公式的推导及其应用。 2.线段中点坐标公式的推导及其应用。 八、教学难点 1.两点间距离公式的推导过程。 2.灵活运用两个公式解决综合性问题及实际应用问题。 九、教学方法 情境创设法：通过创设生活中的实际情境，引导学生思考如何用数学方法解决距离问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使学生初步感知学习两点间距离公式的必要性。 问题驱动法：以问题链的形式组织教学，从简单到复杂逐步提出问题，让学生在解决问题的过程中主动构建知识体系。 引导探究法：在推导两点间距离公式和线段中点坐标公式时，教师不直接给出公式，而是通过引导学生回顾勾股定理等已有知识，让学生自主尝试在平面直角坐标系中构造直角三角形，利用勾股定理推导出两点间的距离公式；对于中点坐标公式，通过引导学生观察特殊点的坐标关系，猜想一般情况下中点的坐标规律，再进行严格证明，充分发挥学生的主体作用，培养学生的逻辑推理能力和探究精神。 讲练结合法：在公式推导完成后，教师通过典型例题讲解公式的应用方法和注意事项，帮助学生理解公式的结构特征和适用条件。随后安排不同层次的练习题，让学生进行及时的巩固练习，包括直接应用公式计算距离和中点坐标、结合图形解决几何问题、利用公式解决实际应用问题等，使学生在练习中加深对公式的理解和掌握，提高运用知识解决问题的能力。 小组合作学习法：在探究公式的推导过程或解决较复杂的综合问题时，组织学生进行小组合作学习。让学生在小组内相互讨论、交流思路、共同解决问题，通过合作学习培养学生的团队协作精神和沟通能力，同时也能让学生在交流中相互启发，拓展思维，提高学习效率。教师在学生合作学习过程中进行巡视指导，及时帮助学生解决遇到的困难。 多媒体辅助教学法：利用多媒体课件、几何画板等教学工具，动态展示平面直角坐标系中两点的位置关系、距离的变化以及中点的运动轨迹等，使抽象的数学知识直观化、形象化。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 围棋,起源于中国,春秋战国时期即有记载．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵,在我国古时称为“弈”．围棋使用正方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子,棋盘上有纵横各19条线段,361个交叉点,棋子必须落在交叉点上,双方交替行棋,以目数多者为胜． 如果把围棋的棋盘看作平面直角坐标系,黑白棋子所落的位置,是否可以用点的坐标表示呢？ 棋盘两枚棋子之间的距离和中间位置,对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和和以两枚棋子所在点为端点的线段的中点． 在平面直角坐标系中,平面上任意一点M与有序实数对(a,b)一一对应,这个有序实数对就是点的坐标．反之,对于任意一个有序实数对(a,b),都有平面上唯一的一点M与它对应． 又比如,服务机器人装调与维护专业中,机器人行进路线上的关键点非常重要．如果把网格地图看作平面直角坐标系,机器人所在位置以及行进路线中的关键点可以用点的坐标表示,关键点的距离和中间位置,对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和线段的中点． 结合实际问题和图形,引导学生观察分析图形特点逐步提升直观想象核心素养 联系专业和生活创设学习情境 情境导入 1．两点间距离公式 数轴上的点与实数是一一对应的,若点A对应的实数是-1,点B对应的实数是2,那么A、B两点间的距离是多少？在平面直角坐标系中,每个点对应着一对有序实数对,即每个点都有坐标,那么两个点间的距离与它们的坐标有怎样的关系呢？ 结合原有知识数形结合思考 探索新知 如图,点M(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|． 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(5,5),点C的坐标为(5,2),则点A与点C之间的距离|AC|=|5-1|=4,点B与点BC之间的距离|CB|=|5-2|=3． 在直角△ABC中,根据勾股定理,有|AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25, 即A、B两点间的距离为5． 一般地,设点A的坐标为(x1,y2),点B的坐标为(x2,y2),则点C的坐标为(x2,y1),且有|AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|． 在直角△ABC中,根据勾股定理,有|AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, 即A、B两点间的距离为，公式称为两点间距离公式． 想一想 两点间距离公式写成|AB正确么？ 详解及答案见PPT. 结合图形，引导学生观察分析 归纳总结距离公式，强调公式形式特点，便于学生理解记忆 典型例题 例1计算P1(2,-5)与P2(5,-1)两点间的距离． 解由两点间距离公式,得 即P1与P2两点间的距离5． 例2已知线段AB是圆的一条直径,在平面直角坐标系中,A点坐标为(-3,-1),B点坐标为(1,1),求这个圆的周长． 解由两点间距离公式,得 因为线段AB是圆的一条直径,所以圆的周长为2√5π. 让学生熟悉两点间距离公式;运用公式直接求出两点间的距离 情境导入 2．线段的中点坐标公式 若数轴上点A对应的实数是-1,点B对应的实数是2,线段AB的中点是点C,那么如何求点C对应的实数？ 在平面直角坐标系中,若线段的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),如何求线段AB的中点M(x0,y0)的坐标呢？ 结合图形引导学生观察分析 探索新知 分别过点A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向x轴作垂线,垂足分别是点A′(x1,0)、B′(x2,0),M′(x0,0),则|A′M′|=|M′B′|．由于 |A′M′|=|x0-x1|=x0-x1,|M′B′|=|x2-x0|=x2-x0．所以x0-x1=x2-x0,即 同理,分别过点A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向y轴作垂线,则有 因此,若已知点A(x1,y1)和B(x2,y2)且线段AB的中点为M(x0,y0),则有 公式称为线段AB的中点坐标公式． 归纳概念突出强调规范表述和注意事项 典型例题 例3已知点A(2,3),B(8,-3),求线段AB的中点坐标． 解设线段AB的中点为M(x0,y0),由中点坐标公式,得 即线段AB的中点M的坐标为(5,0)． 例4如图,已知△ABC的三个顶点分别是A(2,4)、B(-1,1)、C(5,3)． （1）求BC边上的中点D的坐标; （2）计算BC边上的中线的长度． 分析（1）已知点B(-1,1)、C(5,3),由中点坐标公式,即可求出BC边上的中点D的坐标． （2） 连接点A和点D,得到BC边上的中线AD,由两点间距离公式,即可求出线段AD的长度． 解（1）设线段BC的中点D的坐标为(x0,y0),由点B(-1,1)、C(5,3)和中点坐标公式,得 即BC边上的中点D的坐标为(2,2); （2）由两点间距离公式,得 即BC边上的中线长度为2． 读一读 在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段称为三角形的中线,一个三角形有三条中线． 探究与发现 已知线段两个端点的坐标,可以确定线段中点的坐标．如果知道线段的一个端点和中点的坐标,能否确定另一个端点？怎么求它的坐标？ 详解见PPT. 例5已知线段P1P2的一个端点P1(3,4),线段P1P2的中点P(1,5),求线段另一个端点P2的坐标． 解：设线段另一个端点P2的坐标为(x,y),由点P(1,5)是线段P1P2中点,根据中点坐标公式,得,即x=-1,y=6． 因此,线段另一个端点P2的坐标为(-1,6)． 直接运用线段中点公式求出中点坐标,巩固知识 综合运用知识建立知识间的联系培养学生分析问题和解决问题的能力 拓展学习培养逆向思维 巩固练习 1.（选）中点坐标公式的应用； 2.（选）利用两点间距离公式判定三角形形状； 3.两点间距离公式的考察； 4.两公式的综合应用。 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式 1、 两点间距离公式 二、线段中点坐标公式 (例题板书位置根据实际情况调整，可写在右侧或下方) 副板书 学生演练 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课的设计以学生为主体，注重引导学生通过自主探究、合作交流来获取知识。在公式推导环节，从特殊到一般，通过问题驱动，鼓励学生大胆猜想、积极思考，成功推导出了两点间距离公式和中点坐标公式，有效地培养了学生的数形结合思想和逻辑推理能力。课堂上通过创设校园情境引入课题，激发了学生的学习兴趣，例题和练习的选取也兼顾了基础和应用，体现了数学与生活的联系。 在教学过程中，大部分学生能够跟上教师的思路，积极参与到公式的探究和应用中。课堂检测的结果显示，学生对基础知识的掌握较为扎实。但也存在一些不足：例如，在距离公式推导时，部分学生对构造直角三角形的思路不够清晰，需要教师更多的引导和启发；在处理课堂生成性问题时，灵活性还有待提高；对于基础特别薄弱的学生，在公式应用的熟练度上可能还需要加强个别辅导。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $