6.2.1直线的倾斜角与斜率（课件）-高教社《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.2.1直线的倾斜角与斜率 1 学习目标 1.理解直线倾斜角的定义，知道倾斜角的取值范围； 2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式； 3.能根据倾斜角求出斜率（特殊角），能根据斜率求出倾斜角的范围； 4.能运用斜率公式解决简单的实际问题。 5.通过观察、类比、归纳等数学活动，经历从具体实例中抽象出倾斜角和斜率概念的过程。 6.感受数学与生活的密切联系，体会数学的严谨性和逻辑性。 思考：甲、乙两个运动员正在进行爬坡骑行，根据你的骑行经验，哪位运动员的骑行会更耗卡路里？主要原因是什么？ 情境导入 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ 情境导入 坡度 2.过一点能不能确定一条直线? 过一个点的直线有无数条无法确定一条直线 情境导入 1.数学上如何描述“坡度”呢？ 思考： 思考3.确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? 结论：方向向量相同的直线有无数条无法确定一条直线 思考4.确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? 结论：已知一个点和一个方向可以确定一条直线. 情境导入 一个点和方向可以确定一条直线，那对于这些直线，该如何描述它的方向呢？ 探索新知 能看出来这些直线的倾斜程度（坡度）不同，倾斜程度可以表示方向。 那又该如何表示倾斜程度呢（也即思考1中的坡度）？ 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 一般地，平面直角坐标系内，当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α叫做这条直线l的倾斜角。 探索新知 我们规定直线l与x轴平行和重合时，倾斜角为0°. 所以：倾斜角范围：0°≤α＜180°； (3)方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 注：(1)每一条直线都有一个确定的倾斜角； (2)方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等； 探索新知 思考　 任何一条直线都有倾斜角吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 　 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角； 不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 在直角坐标系中, 若直线 l 的倾斜角为α, 称倾斜角α(α≠) 的正切值为直线 l 的斜率, 用小写字母k表示, 即 k=tanα． 探索新知 知识回顾 sin= cos= tan= 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 当x1=x2时, 如图所示, 直线l与x轴垂直, α= tanα不存在, 此时直线的斜率不存在． 设点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)为直线l上的任意两点． 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 当x1≠x2且0≤α< 时, 如图所示, 直线的斜率 k=tanα= ． 设点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)为直线l上的任意两点． 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 当x1≠x2且 <α < 时, 如图所示, 直线的斜率 k=tanα=tan()=-tan=- = ． 设点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)为直线l上的任意两点． 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 设点P1(x1, y1)和P2(x2,y2)为直线上任意两点, 且x1≠x2, 则直线的斜率为： k= ． 公式称为直线的斜率公式． 探索新知 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 直线的斜率的取值范围 当倾斜角α为锐角时，斜率k>0. 当倾斜角α为钝角时，斜率k<0. 当倾斜角α=0°时，斜率k=0. 当倾斜角α=90°时，无斜率. x y O 探索新知 0 0 1 不存在 -1 常见角的正切值 探索新知 例1 求满足下列条件的直线的斜率． 解（1）因为直线与 x 轴平行, 倾斜角α=0, 所以斜率 k=tan0=0; （1）直线与x轴平行; （2）直线的倾斜角为; （3）直线经过点M(-2,2)与点N(3,-4)． 典型例题 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 （2）因为直线的倾斜角为 , 所以斜率 k=tan =1; 解 例1 求满足下列条件的直线的斜率． （1）直线与x轴平行; （2）直线的倾斜角为; （3）直线经过点M(-2,2)与点N(3,-4)． 典型例题 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 （3）因为直线经过点M(-2,2)与点N(3,-4), 所以斜率 k=tanα= = = - ． 解 例1 求满足下列条件的直线的斜率． （1）直线与x轴平行; （2）直线的倾斜角为; （3）直线经过点M(-2,2)与点N(3,-4)． 典型例题 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 例2 已知直线的斜率为-1, 求直线的倾斜角． 解 因为直线的斜率k=tanα=-1, 且0≤α＜π, 所以直线的倾斜角 α= ． 典型例题 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 解 因为直线 l 的斜率角为直角, 所以直线 l 垂直于x轴, 因此 m=2 ． 例3 已知直线 l 经过点P(2, 0)和Q(m, 3), 倾斜角为直角, 求实数m的值． 典型例题 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 1.思考辨析，判断正误. （1）任一直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　) （2）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. (　　) （3）若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°. (　　) （4）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　　) × × × × 练习巩固 2.下图中，表示直线的倾斜角的是( ) A 3.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° BC 练习巩固 4.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° 解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°， 又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 练习巩固 C 5.(多选)下列说法正确的是（ ） A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 练习巩固 ABC 6.2.1 直线的倾斜角与斜率 6.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ） A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5) 解析　D项，因为x1＝x2＝－2， 所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 练习巩固 D 7.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ ） A.2 B.1 C.－1 D.－2 练习巩固 A 28 解：设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 练习巩固 9.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围.(其中m≥1) 解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°； ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°. 练习巩固 归纳汇总 作业布置 1.完成6.2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 内容由千问AI生成 解析　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 即－1＝－(m－2)，解得m＝. 8.若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为多少？ 则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2). 当m>1时，tan α＝>0， $