5.5指数函数与对数函数的应用（同步练习）-高教版《数学 基础模块下册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 基础模块下册》 5.5指数函数与对数函数的应用 一、单选题 1．某厂2022年的产值为万元，预计产值每年以递增，则该厂到2031年的产值（单位：万元）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型函数的应用求解即可； 【详解】从2022年到2031年经过9年，由于每年以速度递增，则2032年产值为． 故选：C 2．2011年老王的退休工资是2000元，根据国家规定每年有10%的递增，请问老王2014年的退休工资是（    ） A．2200元 B．2420元 C．2662元 D．2928.2元 【答案】C 【分析】根据每年有10%的递增，即可求解2014年的工资. 【详解】因为2011年老王的退休工资是2000元，且每年有10%的递增， 所以老王2014年的退休工资是元. 故选：C. 3．一某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（    ） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数型函数模型 D．对数型函数模型 【答案】D 【分析】由题意分析出利润与时间的关系是增函数，且增长速度越来越慢，确定出符合的函数模型即可. 【详解】由题意可知，利润与时间的关系是增函数， 而且初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，故应采用对数型函数模型. 故选：D. 二、填空题 4．形如 （，且；且）的函数是指数型函数模型． 【答案】 【分析】根据指数型函数模型的概念可得结果. 【详解】形如（，且；且）的函数是指数型函数模型. 故答案为： 5．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为   . 【答案】 【分析】由题可知每月剩余价值是上月的，根据指数函数的变化关系即可求解. 【详解】因为每月折旧率为，则每月剩余价值是上月的， 又初始价值为 10000 元，所以经过 x 个月后价值. 故答案为：. 6．一杯热水的温度（单位：）随时间（单位：分钟）的变化规律为，当分钟时，水温 . 【答案】 【分析】将代入表达式，再根据对数的运算求解即可. 【详解】把代入， 得. 故答案为：20. 三、证明题 7．已知，判断函数的单调性并证明. 【答案】为上的增函数，证明见解析. 【分析】利用证明函数单调性的定义法，直接证明即可. 【详解】， 函数为上的严格增函数，证明如下： 任取、，且， ， ，，，即， 因此，函数为上的增函数. 四、解答题 8．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为，以后的年生长率为树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)? 【答案】生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量 【分析】根据题目列出解析式，利用5年木材量与10年木材量比值得出结果即可. 【详解】设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果： 连续生长10年，木材量； 生长5年后重新栽树木，木材量. 则. ∵，∴，即. 因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量． 一、单选题 1．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1600倍（参考数据：，，，.） A．126 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【分析】建立关系式，由对数运算法则可求得解. 【详解】设经过天能达到最初的1600倍， 故. 故. 故选：A. 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为.若该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，则第3年它们的繁殖数量为（    ） A．200只 B．300只 C．400只 D．600只 【答案】A 【分析】根据对数函数的应用即可求解. 【详解】因为该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，所以当时，，所以. 当时，，则第3年它们的繁殖数量为200. 故选：A. 3．某种细菌在培养过程中，每 15 分钟分裂 1 次（由 1 个分裂成 2 个），则这种细菌由 1 个分裂成 256 个需经过（    ） A．2 小时 B．3 小时 C．4 小时 D．8 小时 【答案】A 【分析】根据题意，列出方程求解即可. 【详解】分裂次数满足 ，解得 ， 每次分裂需要15分钟，总时间为 分钟，即 2 小时， 故选：A. 二、填空题 4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量（只）与时间（年）近似满足关系式：，观测发现2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有 只． 【答案】6000 【分析】根据题意列出方程求出值，再将代入函数解析式中即可得解. 【详解】因为2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，则，即， 2024年为2018年后第7年，只， 故答案为：6000. 5．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为 元． 【答案】2400 【分析】先确定9年里价格降低的次数，再根据每次价格降低的比例来计算9年后计算机的价格. 【详解】9年里价格降低的次数（次）， 所以9年后计算机的价格为：元. 故答案为：2400. 6．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】首先根据当时，求出函数表达式，再将代入求解. 【详解】把，代入，可得，即. 即，解得. 所以函数为，当时，. 故答案为：1. 三、计算题 7．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】（1）利用分式指数幂和根式的运算公式，即可化简求值； （2）利用对数运算公式，和换底公式，即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式， . 四、解答题 8．根据2020年全国第七次人口普查的结果，我国总人口约为亿人，若全国人口的年平均增长率为，那么到2030年，我国的人口约为多少亿人？（参考数值，精确到亿人）． 【答案】（亿人）． 【分析】根据指数模型结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为2020年人口约为亿人，年平均增长率为， 则第1年人口为． 第2年人口为； 第3年人口为； 由此得到，第年我国总人口数， 当时，得到2030年我国总人口数（亿人）． 一、单选题 1．国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可求得，代值计算即可得解. 【详解】由已知可得，可得， 所以，我战机在高空处的大气压强为 . 故选：B. 2．毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ） A．125天 B．100天 C．75天 D．50天 【答案】C 【分析】根据题意，将当时代入计算出，然后再代入计算即可求出结果. 【详解】由题意知，当时，有， 即，得， 所以当时，有，即，得， 所以，解得． 故选：C. 3．设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（　    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意建立指数不等式，结合指数函数的单调性，即可求解. 【分析】设通过这样的玻璃块，则由题意得，化得， 两边同时取常用对数，可得， 因为，所以， 则至少通过块玻璃． 故选：C. 二、填空题 4．设函数，且方程的实数解有且仅有1个，则实数取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式作出函数的图像，根据图像求解即可. 【详解】当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因此. 当时，，函数在单调递增. 所以函数的图像大体如下： . 方程的实数解有且仅有1个等价于直线与函数图像只有一个交点时， 由图可知直线与函数图像只有一个交点时，. 实数取值范围为. 故答案为：. 5．考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a，经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约 年（参考数据：lg2≈0.3）. 【答案】5600 【分析】根据给定条件，求出元素的存量y与时间x（年）的关系式，列出方程并结合对数运算即得结果. 【详解】由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的， 因此该元素的存量y与时间x（年）的关系式为 ，x≥0， 由 ，得 ，则 ， 解得 ≈5600， 所以该古生物距今大约5600年. 故答案为：5600 三、解答题 6．按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和是多少（，精确到1元）？ 【答案】（）；1118元． 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，1期到期本利和为：， 2期到期本利和为：， 3期到期本利和为：， 所以存期为时，本利和（）； 将，，代入得 元， 即5期后的本利和约是元. 7．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 【答案】约经过年后其剩余的质量为原来的 【分析】可设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是，利用指数函数列方程求出即可． 【详解】设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是， 依题意()，令，两边取对数，得， 解得， 所以约经过年后其剩余的质量为原来的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 基础模块下册》 5.5指数函数与对数函数的应用 一、单选题 1．某厂2022年的产值为万元，预计产值每年以递增，则该厂到2031年的产值（单位：万元）是（   ） A． B． C． D． 2．2011年老王的退休工资是2000元，根据国家规定每年有10%的递增，请问老王2014年的退休工资是（    ） A．2200元 B．2420元 C．2662元 D．2928.2元 3．一某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（    ） A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数型函数模型 D．对数型函数模型 二、填空题 4．形如 （，且；且）的函数是指数型函数模型． 5．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为   . 6．一杯热水的温度（单位：）随时间（单位：分钟）的变化规律为，当分钟时，水温 . 三、证明题 7．已知，判断函数的单调性并证明. 四、解答题 8．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为，以后的年生长率为树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)? 一、单选题 1．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1600倍（参考数据：，，，.） A．126 B．150 C．197 D．199 2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为.若该动物在引入一年后的繁殖数量为100只，则第3年它们的繁殖数量为（    ） A．200只 B．300只 C．400只 D．600只 3．某种细菌在培养过程中，每 15 分钟分裂 1 次（由 1 个分裂成 2 个），则这种细菌由 1 个分裂成 256 个需经过（    ） A．2 小时 B．3 小时 C．4 小时 D．8 小时 二、填空题 4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量（只）与时间（年）近似满足关系式：，观测发现2018年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬越冬白鹤有 只． 5．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为 元． 6．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时， . 三、计算题 7．计算下列各式： (1)； (2)． 四、解答题 8．根据2020年全国第七次人口普查的结果，我国总人口约为亿人，若全国人口的年平均增长率为，那么到2030年，我国的人口约为多少亿人？（参考数值，精确到亿人）． 一、单选题 1．国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ） A． B． C． D． 2．毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ） A．125天 B．100天 C．75天 D．50天 3．设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（　    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题 4．设函数，且方程的实数解有且仅有1个，则实数取值范围为 . 5．考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a，经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约 年（参考数据：lg2≈0.3）. 三、解答题 6．按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和是多少（，精确到1元）？ 7．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $