平面直角坐标系题型专练-2026年北师大版数学中考专题练习

平面直角坐标系题型专练 考点一平面直角坐标系概念 1.(2025·海南·中考真题)在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少” “年”的坐标分别为-1,0)、(1，)，则“强”的坐标为() 强 少 A.（3,3 B.（2,3 C.(4,3 D.(4,5) 2.(2025·四川乐山·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是() 321d123x -2 3 A.(-3,-2) B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,-2) 3.(2025·四川自贡·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，正方形ABCD的边长为5， AB边在y轴上.B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°.得到正方形A'B'CD'.则 点D的坐标为() D A.（-3,5 B.(5,-3 C.（-2,5 D.(5,-2 1/21 考点二点的坐标特征 1.(2025·山东威海·中考真题)某广场计划用如图①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所示 的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1，)，其右边瓷砖的位置记为2，，其上面瓷砖的位置 记为1,2)，按照这样的规律，下列说法正确的是() 4 A种瓷砖B种瓷砖 2 3 4 图①瓷砖图案 图②预铺图案 A.(2024,2025)位置是B种瓷砖 B.(2025,2025)位置是B种瓷砖 C.（2026,2026)位置是A种瓷砖 D.(2025,2026)位置是B种瓷砖 3x+1x为奇数) 2.(2025·四川内江·中考真题)对于正整数x,规定函数f(x)= 2(x为偶数) 在平面直角 坐标系中，将点m,中的m,n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其 中m,均为正整数).例如，点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16).经过第2次运算得到点(2,8)】 ,经过第3次运算得到点1,4)，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点(2，)经 过第2025次运算后得到点是() A.（2,1 B.（4,2 C.(1,2) D.1,4) 3.(2025·湖南娄底·模拟预测)如图，在单位为1的方格纸上，△AAA,△AAA,△AA6A,…, 是斜边在x轴上，斜边长分别为2,4,6，…的等腰直角三角形，若△A4,A的顶点坐标分别为 A,(2,0),A(1,1,A0,0),则依图中所示规律，Ao2s的坐标为() 2/21 46 A A A A.（-1012,0)B.(1014,0 C.（2,-507) D.(1,506 考点三坐标与距离、图形变换 1.(2025·甘肃陇南·模拟预测)如图，以点0为圆心，在x轴，y轴上分别截取OA,OB, 使得04=08，然后分别以点4，B为圆心，以大于)B长为半径画弧，两弧交于点P,如果点 P的坐标为(3a,a+4),则a的值是() B 是 XA A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2025·河北唐山·二模)如图，在平面直角坐标系中，以0为圆心，适当长为半径画弧， 交x轴于点A,交)轴于点B,再分别以点AB为圆心，大于)AB的长为半径画孤，两弧交于 1,2） 点P,若点P的坐标为。-2a, 则a的值为() 3/21 B A.2 B.2 C.1 D.5 3.(2025·广东韶关·二模)在平面直角坐标系中，点P坐标为(-3,2)，以点0为圆心，以0P的 长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标为() A-3 A.5 B.3 C.-V5 D.- 4.在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点P(x,)对应的像为 P'(ax+by,bx-ay),其中a、b为常数.已知点1，-2)经变换后的像为8,1. (1)计算：a+b=; (2)若线段0P=4,则经变换后线段O'P'的长度为 (其中O、P'分别是线段O、P经 变换后的像.点O为坐标原点) 5.(2025·辽宁铁岭·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点A,C,B的坐标分别为(-1,0)， (0,3),（m,0),m>0,连接AC,BC.若AB=BC,则m的值为 A0 B 6.(2025·江苏宿迁·模拟预测)如图在Rt△ABC中，LABC=90°，AB=2,BC=4,动点D从点A 开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度 运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE,F为DE中点，连接AF,CF, 则AF+CF的最小值为 4/21 B 考点四坐标的实际应用 1.(2022·贵州毕节·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移 1个单位，再向右平移1个单位，得到点A(1,1);把点A向上平移2个单位，再向左平移2个 单位，得到点A,(-1,3)；把点A向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A(-4,0)；把 点A向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A,(0,-4);;按此做法进行下去，则 点Ao的坐标为 2 A5 0 2.(2025·贵州·模拟预测)在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点4(2,3)和 B(1,-),并且知道藏宝地点的坐标是(3,2)，则藏宝处应为图中的点 B 3.(2025·吉林白城·模拟预测)无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“UAv”,是利 用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由车载计算机完全地或间歇地自主操作 5/21 的不载人飞机.如图所示，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机A,B的位 置分别表示为(-1,3)，(2,2)，则无人机C的位置表示为 其 B 命题点一平面直角坐标系概念 ·题型01已知点所在的象限求参数 【典例】(2025·青海·中考真题)在平面直角坐标系中，点P(a-2,1+a在第三象限，则a的 取值范围是 【变式】(2025·四川成都·一模)在平面直角坐标系中，点A为1，-3a-1,点B为-2，-2)， 直线AB∥x轴，则a= 【变式】(2025·江西新余·模拟预测)若点A(-3a,2a-3)向左平移5个单位后得到的点在y轴 上，则a的值为 题型02点的规律探索 【典例】(2025·四川眉山·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点0为公共顶 点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA=1,LOAB=90°，则点G的坐标为 D 【变式】(2025·山东·中考真题)取直线y=-x上一点A(x,y),①过点A作x轴的垂线，交 6/21 y=于点4，(x)；②过点4作y轴的垂线，交y=-x于点4，(x;如此循环进行下去.按照 上面的操作，若点A的坐标为1，-1)，则点A2s的坐标是 y=-X 【变式】(2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图 案.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0)，以OA为边作Rt△OAA,使∠OAA=90°， ∠AOA=30°，再以0A为边作Rt△OA,4,使∠0AA2=90°，∠A0A2=30°，过点A,A,A作弧 A4,记作第1条弧；以0A为边Rt△0A4，使∠0A,A,=90°，LA,0A=30°，再以0A,为边作 Rt△OAA4,使∠0AA=90°，∠A,0A4=30°，过点A,A,A作弧A,A,记作第2条弧…按此 规律，第2025条弧上与原点0的距离最小的点的坐标为 A 命题点二点的坐标特征 题型01中点坐标 【典例】如图，平面组合图形中，点A1,3)、B(2,1,则该平面组合图形的重心的坐标为 7/21 234 【变式】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y满足x=a+C, 3； b+d y= 3， 那么称点T是点A和B的衍生点， 例如：M(-2,5),N(8,-2),则点T(2,)是点M和N的衍生点. 已知点T(x,y)是点D(3,0),E(m,m+2的衍生点. 1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）. (2)若直线ET交x轴于点H,当LDHT=90°时，求点E的坐标， 【变式】综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角 形的重心.如图1，ABC的重心G(x,y的横、纵坐标分别为x=++c,y=++业，如 3 3 图2，正方形ABCD的重心是对角线AC与BD的交点，重心G(x,y)的横、纵坐标分别为 x=c,y=(或x=十血，y=业).若一个平面图形的重心坐标为G(x,y),面 2 2 2 2 积为S,被分成n部分的重心坐标分别为G(x),Gx2,2),.,Gn(xyn),面积分别为S, ,,,则+++，+号+号如图3，正方形0BC的重 心G(1,1),面积为4，正方形ADEF的重心G,（4,2),面积为16，由正方形OABC与正方形ADEF 组成的组合图形的面积为20，重心G的横坐标为4×1+ 16 +16x2=9 ×4=一，纵坐标为2x1+6 20 20 20 20 -51 A(xy） A(X4 Y)B(XB.YR) y D2,4)E(6,4) C(xeyo) B G2 B(xB.yB) D(XpYD)C(xcyc) (0,2) G G A(2,0)F6,0)x 图1 图2 图3 根据上述阅读材料，解决下面的问题： 8/21 (1)如图4，RtaA0B的顶点坐标分别为0(0,0)，A(2,0),B(2,4,正方形ABCD的顶点C6,4, D(6,0),求四边形OBCD的重心坐标； (2)如图5，四边形0MNH的顶点坐标分别为0(0,0)，M(1,4),N(5,5),H(7,0),求四边形 OMNH的重心坐标. B2,4)C(6,4) 1,4)N(5,5) A(2,0)D6,0) M7,0) 图4 图5 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01点的坐标的对称 【典例】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为(-2,3)，它关于y轴的对称点为P,P关于 x轴的对称点为，则点的坐标为() A.(2,-3) B.-2,-3 C.（-2,3) D.2,3 【变式】如图，在直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(-2,4),B(4,),C(-1,2),直线1与 x轴平行且经过点(0，-). 6 2 6-5-4-3-2-10 123456 2 6 (1)画出与ABC关于y轴对称的△A,B,C,; (2)画出与ABC关于直线1对称的图形△A,B,C2; (3)线段CD∥y轴，且线段CD的长度为4，则D的坐标为 9/21 (4)点P(m,)关于直线1的对称点为Q(-n,2m),则点P的坐标是 【变式】在平面直角坐标系中，点P(-4,-5)关于x轴对称的点的坐标是 ,点P关于y 轴对称的点在第 象限，点P关于直线m(直线m上各点的横坐标都是-1)对称的点 的坐标是 题型02点到坐标轴的距离 【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线EA⊥x轴于点A10,0).点B从点A出发以每秒 2个单位长度的速度沿A0方向运动，同时点C从点A出发在射线AE上运动，速度为每秒3 个单位长度，点B运动到点O时同时停止.点D在y轴正半轴上，若aOBD与ABC全等，则 OD的长度为 E 【变式】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的 “长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点” (1)点A(-3,5)的长距为 ； (2)若点C(-2,b-2)的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点D(9+2b,-5)是否为角平分线点， 并说明理由， 【变式】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的长 距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. (1)点A-3,5)的长距”为： (2)若点B(4-2a,-2)是“角平分线点”，求a的值： (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5),请判断点D是否 为“角平分线点”，并说明理由 重难突破练 突破一坐标轴中两点之间的距离 【典例】在平面直角坐标系xOy中，已知点M(m,),我们将点M的横纵坐标交换位置得到点 10/21 平面直角坐标系题型专练 考点一 平面直角坐标系概念 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 考点二 点的坐标特征 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 2．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 考点三 坐标与距离、图形变换 1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，以点为圆心，在轴，轴上分别截取，，使得，然后分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，如果点的坐标为，则的值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作法，坐标与图形，一次函数的几何应用，由作图可知点在的角平分线上，即点在直线上，即得，解之即可求解，掌握直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，点在的角平分线上，即点在直线上， ∴， 解得， 故选：A． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值纵坐标的绝对值．根据基本作图可判断平分，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解关于的分式方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：D． 3．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 【详解】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 4．在平面直角坐标系xOy中，新定义一种变换：使平面内的点对应的像为，其中a、b为常数．已知点经变换后的像为． （1）计算： ； （2）若线段，则经变换后线段的长度为 ．(其中分别是线段 O、P经变换后的像．点 O 为坐标原点)． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解新定义的变换规则是解题的关键． （1）根据新定义的变换，列出方程组，求出、的值即可； （2）根据两点之间的距离公式，求出的长度即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 故答案为：． 5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式与勾股定理的应用，解题的关键是根据坐标求出线段长度． 先根据点的坐标，用含m的式子表示出的长度，再在中利用勾股定理表示出的长度，然后根据列方程求解． 【详解】∵， ∴； ∵由， ∴，， 在中 ． ∵， ∴， 两边平方得， 解得． 故答案为：4． 6．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图在中，， 动点D从点A 开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B 开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，F为中点，连接则的最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图象、两点间距离公式、中点坐标、点的对称等知识点，灵活运用两点间距离公式是解答本题的关键． 先根据题意建立直角坐标系可得，，，，则，将转化为，再利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值即可． 【详解】解：如图，以点B为原点，、所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则，，，， ∵F为中点， ， ∴，, ∴， 设，，，则， 作出图形如下： 作出点关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为使取得最小值的点， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 考点四 坐标的实际应用 1．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可． 【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， ∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点， ∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度， ∴点A8的坐标为（0，-8）， ∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位， ∴A9的坐标为（9，1）， 同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位， ∴A10的坐标为（-1，11）， 故答案为：（-1，11）． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 2．（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置，建立坐标系是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 故答案为 3．（2025·吉林白城·模拟预测）无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由车载计算机完全地或间歇地自主操作的不载人飞机．如图所示，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机，的位置分别表示为，，则无人机的位置表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标方法的简单应用，解答的关键是会建立适当的平面直角坐标系，并会表示平面直角坐标系中点的坐标． 根据所建立的平面直角坐标系写出无人机的位置对应点的坐标． 【详解】解：∵无人机，的位置分别表示为，， ∴可建立如下平面直角坐标系， ∴， 故答案为：． 命题点一 平面直角坐标系概念 ►题型01 已知点所在的象限求参数 【典例】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 【变式】（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【详解】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 【变式】（2025·江西新余·模拟预测）若点向左平移5个单位后得到的点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，平移，掌握点的坐标在平移中的变化规律是解题的关键． 写出平移后点的横坐标，根据轴上的点的特征，列方程求解即可． 【详解】解：∵点向左平移5个单位后得到的点在轴上， ∴ ∴ 故答案为：． 题型02 点的规律探索 【典例】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 【变式】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 命题点二 点的坐标特征 ►题型01 中点坐标 【典例】如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 【变式】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）直接根据衍生点的定义求解． （2）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知点T的坐标为，即； （2）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，则 ∴E点坐标为． 【变式】综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： (1)如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标； (2)如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质和题中运算规则求得的面积，重心；正方形的面积，，进而利用图形的重心公式求解即可； （2）连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为．先利用坐标与图形求得，进而求得，，再利用三角形的重心公式分别求得，，然后利用图形重心公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的面积， 的重心的横坐标为， 纵坐标为． ． 正方形的面积，重心的横坐标为， 纵坐标为， ． 四边形的面积． 四边形的重心横坐标为， 纵坐标为．4分 四边形的重心坐标为； （2）解：如图，连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为． 则 ， ，． 的重心的坐标为，即． 的重心的坐标为，即． 四边形的重心横坐标为， 四边形的重心纵坐标为． 四边形的重心坐标为． 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01 点的坐标的对称 【典例】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 【变式】如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、关于坐标轴对称或关于直线对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中画图以及关于对称找点的坐标特征是解题的关键． （1）首先根据点关于y轴对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （2）首先根据点关于直线对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （3）首先利用轴得到横坐标相等，再根据线段的长度为4，得到存在两个满足条件的点D，再进行求解即可； （4）利用点关于直线对称的坐标特征，直接列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； （4）解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 【变式】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ，点P关于y轴对称的点在第 象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是 ． 【答案】 四 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换，包括关于坐标轴和特定直线的对称．关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据坐标符号判断象限；关于直线对称时，利用对称公式计算横坐标，纵坐标不变． 【详解】解：点的坐标为， 关于轴对称，对称点为； 关于轴对称，对称点为． 由于横坐标，纵坐标，因此该点在第四象限． 关于直线对称：设对称点坐标为，根据对称性质，有，故对称点为． 故答案为：，四，． 题型02 点到坐标轴的距离 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 【变式】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出点到两个坐标轴的距离，根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，结合第三象限内点的符号特征，求出的值，进而确定点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∵， ∴点的“长距”为5； （2）是，理由如下： ∵点的长距为4， ，解得或， 点C在第三象限内， 当时，点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 【变式】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 重难突破练 突破一 坐标轴中两点之间的距离 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横纵坐标交换位置得到点．给出如下定义：对于平面上的点C，若满足，则称点C为点M的“对炫点”． 　　 (1)已知点， ①下列各点：，，中为点A的“对炫点”的是______； ②点P是直线上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标； (2)设点是第一象限内一点，点P是直线上一点，至少存在一个点P，使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)， 【分析】（1）①根据“对炫点”的定义判定即可；②设点P的坐标为，则将其横纵坐标对换得到，则，然后根据两点间距离公式求得m即可； （2）如图，点的所有对炫点在以为圆心半径为1的圆上，点的所有对炫点在与直线距离为1且互相平行的、两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆B与、两条直线有交点，然后运用勾股定理和已知条件即可解答． 【详解】（1）解：①已知点，将其横纵坐标对换得到，易得 故A的“对炫点”的是，； 故答案为，； ②设点P的坐标为，则将其横纵坐标对换得到， 由题意可得，即，解得：． 所以点P的坐标为或． （2）解：如图，点的所有对炫点在以为圆心半径为1的圆上，点的所有对炫点在与直线距离为1且互相平行的、两条直线上，所以满足条件的时刻即为圆B与、两条直线有交点即可 如图1： 所以 所以，即； 如图2：当时，圆与、两条直线无交点，即没有“对炫点”， ∵点是第一象限内一点， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、坐标与图形、“对炫点”的定义等知识点，理解“对炫点”的定义是解答本题的关键． 【变式】（2024·江苏常州·二模）定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”． (1)在，，，四点中，点______是点的“值友好点”． (2)设点是点的“值友好点”． ①当时，求的值． ②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值． 【答案】(1) (2)①；②时，，时， 【分析】（1）根据“k值友好点”的定义代入验证即可； （2）①先求得，进而根据得出，根据点是点的“值友好点”．得出，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． ②设的中点为，则即    ，作轴，轴，交于点，则，根据圆周角定理可得，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：若是的“k值友好点”，则，不合题意； 若是的“k值友好点”，则，不合题意； 若是的“k值友好点”，则，不合题意， 若是的“k值友好点”，则，符合题意， 故答案为：； （2）①∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是点的“值友好点”． ∴ ∴ ∴ 即 解得： ②∵， 设的中点为，则即     如图所示，作轴，轴，交于点，则 ∴是直角三角形， ∴，且， 以为圆心为半径作圆， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 同理可得当以为圆心时，， 综上所述，时，，时，． 【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，勾股定理，圆周角定理，理解新定义是解题的关键． 突破二 坐标与轴对称 【典例】对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①4；②1 (2)①或5；②或 【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可 （2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可； ②分和讨论即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大，∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ， ∵线段上点C到x轴的距离最大，∴； （2）解：①∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5； ②∵，， I. 当时，，， ∴，， ∴， ， ∴当时，的值总不变； II. 当时，，， ∴， ∴， III. 当时，，，即， ∴，， ∴， ∴当时，的值总不变； 综上，当或时，的值总不变． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则 ．    【答案】 【分析】表示出点和点的坐标，再利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：点关于直线对称得到点， ， 设， 点为点C关于直线和直线的二次对称点， ，得， ， 当是直角三角形时，只存在一种情况， ， 可得方程， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟知轴对称的性质是解题的关键． 【变式】如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】首先确定，，进而可得，结合题意确定点的运动规律，进而可得第2025秒时，点运动到点，然后分点在第四象限和点在第一象限两种情况讨论，结合全等三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，点关于轴对称，点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动， 又∵， ∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示， 此时可分两种情况讨论， 当点在第四象限时，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点在第一象限时，过点作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的定义、坐标与图形、点的坐标规律探索、勾股定理等知识，解题关键是确定点的运动规律，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 突破三 已知点所在的象限求参数 【典例】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，当点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，且点在第一象限内，为整数，若，请说明一定是偶数． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，求一个数的算术平方根，弄清题意是解题的关键． （1）先求出点到坐标轴的距离，再比较即可； （2）根据题意可得，再解方程即可； （3）根据题意可得，即可说明． 【详解】（1）解：到轴、轴的距离分别为，， 且， 点的“长距”为． 故答案为： （2）解：点是“完美点”， ， ， 解得，或． 答：的值为或． （3）解：∵点在第一象限， ∴，． ∵点是“完美点”， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． ∵， ∴， 为整数， ∴为整数，为偶数， 一定是偶数． 【变式】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若点在第二象限，且（为常数），求的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查象限点的符号特征，点到坐标轴的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可； （2）根据点在第二象限，得到代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点的坐标为，即， ∴， ∴则； （2）点在第二象限， 则，， ， 又 解得． 【变式】在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，，；当时，，．请根据此定义完成下列问题，点的“相关点”的坐标为 ；点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要考查了坐标变换的规则、两点间距离公式及象限内点的坐标特征，熟练掌握坐标变换的分类规则和两点间距离公式是解题的关键． 先根据点的横纵坐标大小关系，用对应规则求点的对应点；再结合点所在象限的符号特征，利用对应点的坐标关系、两点间距离公式列方程求解点的坐标． 【详解】解：中，∵，，， ∴，， ∴的坐标为； ∵点在第二象限， ∴，， ∵，即， ∴的坐标为， ∵的纵坐标为， ∴，即， ∴的坐标为即， ∵线段的长度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：；． 【分层练习】 基础练 1．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为， 故选：C． 2．（2024·北京海淀·模拟预测）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，则一定在第四象限的点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，得轴在点A的左侧，轴在点A与点B之间，再结合平面直角坐标系的各点位置，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限， 所以轴在点A的左侧，轴在点A与点B之间 结合平面直角坐标系的各点位置， 所以一定在第四象限的点是点， 故选：D 【点睛】本题考查了坐标与图形，正确掌握平面直角坐标系的轴、轴以及各个象限的分布情况是解题的关键，难度较小． 3．嘉嘉乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的小艇的位置如图所示，每相邻两个圆之间距离是，小圆半径是若小艇相对于游船的位置可表示为，小艇相对于游船的位置可表示为向东偏为正，向西偏为负，下列关于小艇相对于游船的位置表示正确的是(　　)    A．小艇 B．小艇 C．小艇 D．小艇 【答案】A 【分析】根据向东偏为正，向西偏为负，可得横坐标，根据每两个圆环之间距离是千米，可得答案． 【详解】解：图中小艇相对于游船的位置表示， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用方向角表示横坐标，利用圆环间的距离表示纵坐标，注意向东偏为正，向西偏为负． 4．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，如图.建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1）； 乙同学：A（0，0），B（0，-1），C（1，-1），D（1，0）； 丙同学：A（1，0），B（1，-2），C（3，-2），D（3，0）； 丁同学：A（-1，2），B（-1，0），C（0，0），D（0，2）； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是（      ） A．甲、乙、丙 B．乙、丙、丁 C．甲、丙 D．甲、乙、丙、丁 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合平面直角坐标系对各选项进行判断即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD， 结合坐标系可知：甲、乙、丙同学表示的各顶点坐标结果均正确， 而丁同学的AB=2，BC=1，显然是错误的， 故选A. 【点睛】本题考查正方形的性质和平面直角坐标系，比较基础，进行逐个验证即可解决问题. 5．在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是（　　） A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22） 【答案】D 【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用67除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可． 【详解】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ∵67÷3＝22余1， ∴走完第67步，为第23个循环组的第1步， 所处位置的横坐标为22×3+1＝67， 纵坐标为22×1＝22， ∴棋子所处位置的坐标是（67，22）． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键． 6．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键． （1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答； （2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 7．如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，点的纵坐标与点的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标． 【详解】解：，， ， 为平行四边形， ，， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．通过旋转发现，，每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则点的坐标为 故答案为：． 9．如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）． 【答案】 M N-B-A-C 【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：∵MA+AC<NA+AC， ∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运； ∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)， ∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2， ∵a:b:c=3:2:1， ∴a=3c，b=2c， 当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c； 按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c； 按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c； ∵24c<24.97c<32c， ∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小， 故答案为：M；N-B-A-C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，∠APO＝30°．先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段BC的长为 ． 【答案】2 【分析】只要证明△PBC是等腰直角三角形即可解决问题. 【详解】解：∵∠APO＝∠BPO＝30°， ∴∠APB＝60°， ∵PA＝PC＝PB，∠APC＝30°， ∴∠BPC＝90°， ∴△PBC是等腰直角三角形， ∵OA＝1，∠APO＝30°， ∴PA＝2OA＝2， ∴BC＝PC＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△PBC是等腰直角三角形． 11．（2025·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 【答案】(1)； (2)见解析，是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案． （2）根据中心对称的性质可得点，再根据平移的性质画图，可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，，． 故答案为：；． （2）解：如图，即为所求． 则是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 能力提升练 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质推出，，得到和都是等腰直角三角形，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是边长为的正方形， ，，，，， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点在第二象限内， 点的坐标为， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，坐标平面上，，且．若A点的坐标为，B、C两点在直线上，D、E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图象的性质、垂直的性质的运用、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图，作分别垂直于H、K、P，由，易证，进而证明可得即可解答． 【详解】解：如图，作分别垂直于H、K、P，    ， ， ， 在和中， ， ， ， 、C两点在直线的图形上，且A点的坐标为， ， ， ∵， ，， 在和中， ， ， ． 故选：B． 3．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角函数可得，由旋转的性质可得，，进而可证是的垂直平分线，再证明，延长交x轴于点， 则是的垂直平分线，则点C与点重合，再根据三角函数即可得解． 【详解】解：如图，连接， 点， ， ， 在中，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ∴点D在上，且D是 的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 延长交x轴于点， 则是的垂直平分线， ， 点C与点重合， ， ， ， 当时，点C的坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键正确作出辅助线，综合运用以上知识点． 4．（2026·甘肃·模拟预测）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键． 首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值 【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则, ∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图： 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径， ∴， 在直线中，令，则，令，则求得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 新考向 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知， 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，若点P1的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得点、、、的坐标，观察各点坐标发现，点至点为一个循环，即每4个点循环一次，进而得出点的坐标与点的坐标相同，即可得到答案． 本题考查了平面直角坐标系，解题关键是根据题意求出各点坐标归纳出一般规律． 【详解】由题意可知，点的坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…… 观察各点坐标可知，点至点为一个循环，即每4个点循环一次， ∵, ∴坐标与点重合, 故答案为． 3．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换： （1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）； （2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1） 按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]= ． 【答案】（3，2） 【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化． 【详解】解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2）， ∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2）， 故答案为（3，2）． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点C在第一象限，且轴，． (1)求点C的坐标； (2)点D在线段上，．点E的坐标为，在直线的右侧作，射线与直线相交于点F，设．当且时，求m关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）作轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得和的长，可求得C点坐标； （2）①当点E在线段上时，连接，利用条件可证得，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段的延长线上时，同样可证得，可得到m与n之间的关系． 【详解】（1）解：作轴于点M，如图1， 则， ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当点E在线段上时，即当时，如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当点E在线段的延长线上时，即时，连接，如图3， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上可知m与n的函数关系式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及矩形、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中构造等腰直角三角形是解题的关键，在（2）中证得三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 5．在平面直角坐标系中，已知直线与x，y轴分别交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)如图1，若D是的中点，连接交轴于点F，求的长； (3)如图2，点在轴的负半轴上，射线交线段的延长线于点P，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与平面，涉及算术平方根，绝对值的非负性，构建二元一次方程组解决问题，与三角形高有关的计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据算术平方根，绝对值和平方的非负性求解即可； （2）连接，可求，则，设，则，，由为中点，得到，，那么，解得：，再由即可求解． （3）连接，设，由和，结合面积公式建立二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：连接， 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标． 6．小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【答案】(1)30 (2) (3)图需要小正方形的个数为个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键． （1）观察前三个图，找到规律，即可求解； （2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解； （3）根据图形，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $