3.2.2 向量的减法（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

3.2.2 向量的减法 第三章 平面向量 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 05 学习目标 知识目标 理解向量减法的定义，明确减法与加法的逆运算关系；掌握向量减法法则，能准确进行向量减法的几何运算； 能力目标 通过类比实数的减法运算来定义向量的减法运算，归纳减法运算的本质特征；培养运用向量减法解决简单实际问题与几何问题的能力，深化数形结合思想； 情感目标 结合物理与生活实例引入，感受向量减法与实际、其他学科的联系，体会数学实用性；通过法则的几何直观与运算逻辑的严谨性，感悟数学美，激发主动探究的学习兴趣与思维意识； 核心素养 通过思考、讨论等活动，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养． 新课导入 创设背景，生成问题 在实数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算．如何类比实数的减法运算来定义向量的减法运算呢？ 已知向量a，b，作 ＝a， ＝b， 如图所示． 则由向量加法的三角形法则， 得b+ ＝a． a b b a O A B 创设背景，生成问题 　　我们把向量 称为向量a与b的差，记作a－b， 即 ＝a－b＝ － b a O A B 探究新知 调动思维，探究新知 　向量的减法 由此可见，如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是从减向量的终点指向被减向量的终点．这种求两个向量差的运算，称为向量的减法． 向量减法的几何意义（向量减法的三角形法则）： 当a与b的起点相同时，a与b的差向量就是从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量. b a O A B 口诀：同起点，指被减. 调动思维，探究新知 　相反向量 与向量a等长且方向相反的向量称为a的相反向量，记作－a． 零向量的相反向量是它本身． 显然，一个向量与其相反向量的和向量是零向量，即 a＋(－a)=0． 思考： “相反向量就是方向相反的向量”， 这种说法对吗？ 调动思维，探究新知 因为在b+ ＝a的两边同时加上（－b），得 　　　 ＝a＋（－b）， 所以 a－b ＝ a＋（－b）． 这说明，在向量的减法中，减去一个 向量等于加上这个向量的相反向量， 如图所示． b a -b a-b a+(-b) 巩固练习，提升素养 例1　如图（1）所示，已知向量a，b，作出向量a－b． 解　在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，作向量 ，如图（2）所示，则a－b= － ＝ ． 根据例1的条件，你能作出b－a 吗？它与a－b 的关系是什么？ 思考： 巩固练习，提升素养 【举一反三】 1.已知向量a，b，作出向量a－b. a b a－b a－b a b 巩固练习，提升素养 例2　如图所示，已知平行四边形ABCD， ＝a， ＝b，试用向量a和b分别表示向量 和 ． 由向量减法的定义，得 ＝ — ＝a－b． 解　连接AC，BD． 由向量加法的平行四边形法则，有 ＝ ＋ ＝a＋b； D C B A a b 巩固练习，提升素养 【举一反三】 2. 化简： 巩固练习，提升素养 3. 化简： 巩固练习，提升素养 ． 例3　如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. (1) 的相反向量为____________；(2)计算： ________；(3)计算： ＝________；(4)若 ＝a， ＝b，则|a＋b|＝________． 和 巩固练习，提升素养 【解析】(1)根据相反向量的定义，找出与 大小相等且方向相反的向量为 和 ； (2) ； (3)根据向量减法的运算法则， (4)|a＋b|＝| |＝| |＝ 巩固练习，提升素养 【举一反三】 4.已知在边长为1的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O.(1) 的相反向量为__________；(2)计算： ＝________；(3)计算： ＝________；(4)若 ＝a， ＝b， ＝c，则|a＋b＋c|＝________． 巩固练习，提升素养 例4 已知a，b是非零向量，|a-b|＝|a|+|b|成立的充要条件是______________． a与b方向相反 根据向量减法法则可知|a－b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是a与b方向相反． 巩固练习，提升素养 【思路点拨】　对于向量a，b，恒有||a|－|b||≤|a-b|≤|a|＋|b| 成立．(1)当a，b至少有一个向量是零向量时，式中的“＝”同时成立．(2)当a，b是非零向量时， ①a，b不共线时，有||a|－|b||<|a-b|<|a|＋|b|成立； ②a，b方向相同时，有||a|－|b||＝|a-b|<|a|＋|b|成立； ③a，b方向相反时，有||a|－|b||<|a-b|＝|a|＋|b|成立. 巩固练习，提升素养 【举一反三】 5．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|c－b|的最大值，|a＋b|的最小值分别为(　　)A．－1，3 B．1，0 C ．5，1 D．－1，1 【提示】当b，c共线且反向时，|c－b|的值最大，为|b|＋|c|＝5；当a，b共线且反向时，此时|a＋b|的值最小，为|b|－|a|＝1. 故选C. C 课堂小结 课堂小结 1.向量的减法法则：同起点，指被减 2.对于向量a，b，恒有||a|－|b||≤|a-b|≤|a|＋|b| 成立．(1)当a，b至少有一个向量是零向量时，式中的“＝”同时成立．(2)当a，b是非零向量时， ①a，b不共线时，有||a|－|b||<|a-b|<|a|＋|b|成立； ②a，b方向相同时，有||a|－|b||＝|a-b|<|a|＋|b|成立； ③a，b方向相反时，有||a|－|b||<|a-b|＝|a|＋|b|成立. 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 1. 的化简结果是(　　)A.　 B.　 C.　0 D.　 B 2．在 ABCD中，若| |＝| |，则四边形ABCD一定是(　　)A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 A 在 ABCD中， ， ， 由题知| |＝| |，即两对角线相等，故 ABCD是矩形． 随堂检测，查漏补缺 3.（2025年山东春季高考）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为 1 的正方形，向量a,b的始点和终点都在网格线的交点处，则|a-b|等于（ ） A.4 B.5 C. D. A 【解析】平行向量b，使向量a和b的始点相同，则向量a和b的终点之间的距离即为|a-b|=4. 故选：A. 随堂检测，查漏补缺 4． ＝________． 0 原式＝ 5. ＝________． 随堂检测，查漏补缺 6．在边长为1的正三角形ABC中，求：(1)| |的值；(2)| |的值． 解：(1)| |＝| |＝1. (2)| |＝ . 随堂检测，查漏补缺 7．如图所示，在正六边形ABCDEF中，各对角线的交点为O， ＝a， ＝b，用a，b分别表示 . 解： ＝－b， ＝a＋b， ＝2b－a. 随堂检测，查漏补缺 8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，求：(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? 随堂检测，查漏补缺 解：(1)若a＋b与a－b垂直， 即平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直， 则只需满足四边形ABCD为菱形， ∴a，b满足|a|＝|b|即可． (2)根据向量的线性运算法则， 可得|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等 只需使得平行四边形ABCD为矩形， ∴a，b满足a⊥b即可． 谢谢 THANKS $