第5卷 函数的性质 2026年河南省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 1．（2024·河南对口招生）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D. 2.（2023·河南对口招生）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 3.（2024·河南对口招生）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）由，令可得；再由得函数周期为，令可得； （2）因为时，，由函数的周期性可将转化为，再求解的解析式即可. 【解析】 【小问1详解】 函数对任意满足成立， 在中，令， 得，所以 因为 所以．即 所以函数的周期， 令得且 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知函数的周期为2， 当时， 所以. 【举一反三】 1．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 2．已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 3．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 4．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为是二次函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为直线， 又函数在区间上是增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 5．求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数，反比例函数及一次函数的性质即可得解. 【详解】函数，定义域为，图像为开口向下的抛物线，对称轴为，在区间上是减函数，故错误； 函数，定义域为，因为，所以在区间上是减函数，故错误； 函数，定义域为，一次项系数，所以在区间上时减函数，故错误； 函数，定义域为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为，在区间上是增函数，故正确； 故选：. 2．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 【答案】B 【分析】根据奇函数的图象对称性列方程，结合函数单调性的概念取值即可. 【详解】已知奇函数的定义域是， 则，即， 解得或， 因为为定义域是的增函数， 由，可得，则， 经检验，满足题意，所以. 故选：B. 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数为偶函数， 所以， 又因为在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A. 4．设函数在上单调递减，在上单调递增，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可得对称轴为，代入对称轴公式求出的值，再将代入函数解析式求出的值即可. 【详解】由函数在上单调递减， 在上单调递增，可得对称轴为， 即，解得， 所以，由， 得，解得， 所以. 故选：C. 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，∴， ∵当时，， ∴，， ，， ∴，，故A正确，B错误； 当时，，其对称轴，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误， 故选：A. 二、填空题 6．已知定义在区间上的函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称的性质，列式即可得解. 【详解】因为定义在区间上的函数为偶函数， 所以，解得. 故答案为：. 7．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 【答案】 【分析】根据一次函数为减函数，由此列不等式求解即可. 【详解】已知函数为一次函数， 由其在上是减函数，得，解得， 所以m的取值范围为， 故答案为：. 8．函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用二次函数的性质得出对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可. 【详解】函数的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 函数在上的最大值为10. 故答案为：10. 9．若一次函数为奇函数，则= . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义求解即可. 【详解】若一次函数为奇函数， 则有，， 由可得：， 解得. 故答案为：. 10．若函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即， ，， 因为， 所以，解得， 故. 故答案为：1 二、解答题 11．已知函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性直接求实数a的取值范围. 【详解】由函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增, 所以在区间上单调递减, 因为,, ,, 即,所以. 12．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析 【分析】（1）利用偶函数的性质和函数值易得答案. （2）利用增函数的定义易证答案. 【详解】（1） 函数为偶函数， ，即      又 ， ，即 ， 函数的解析式为：. （2）函数 在是增函数   理由：设，且 则 ，且 ，   即 ， 函数 在是增函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足河南省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年河南省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 函数的性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【真题精讲】 1．（2024·河南对口招生）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 2.（2023·河南对口招生）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3.（2024·河南对口招生）函数对任意满足成立，且当时，． （1）求与的值； （2）当时，求的解析式． 【举一反三】 1．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 4．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（   　） A． B． C． D． 5．求证函数为奇函数． 【拓展提升】 一、选择题 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 3．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．设函数在上单调递减，在上单调递增，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 二、填空题 6．已知定义在区间上的函数为偶函数，则 . 7．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 8．函数在上的最大值为 ． 9．若一次函数为奇函数，则= . 10．若函数是奇函数，则 ． 二、解答题 11．已知函数是R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，求实数a的取值范围. 12．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $