专题01集合及其表示方法 - （高教版）基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题01 集合的概念及表示方法 一、知识梳理 （1）集合的定义 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 集合常用大写英文字母表示．如，A，B，C，…；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…． （2）元素与集合的关系 属于（）与不属于（）关系；若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作． 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”. （3）集合元素的特性 确定性、互异性、无序性． （4）集合的表示方法 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法．描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质． （5）常见数集的表示方法 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． （6）集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限各元素的集合； 空集：不含任何元素的集合，记为∅. 点集与数集：由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 二、题型精练 题型1 集合的定义 【典例1】．下列四个集合中，空集是（   ） A． B．方程的实数解集 C．方程的解集 D． 【典例2】．有下列说法： ①集合N中最小的数为1；②若，则；③若，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 元素与集合的关系 【典例1】．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 集合中元素的特性 【典例1】．已知，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．或0 【典例2】．下列各对象不能组成集合的是（    ） A．中国五岳 B．年龄比较大的老师 C．大于的所有实数 D．绝对值小于3的所有整数 题型4 集合的表示方法 【典例1】．集合是小于5的正整数是小于5的正整数，用列举法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5 常见数集的表示方法 【典例1】．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 三、知识检测 单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列对象不能组成集合的是（    ） A．乖巧听话的孩子 B．中国古代四大发明 C．小于30的正整数 D．26个小写英文字母 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则实数a的值为（   ） A．或 B． C．2 D． 5．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 6．用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D．，1 8．不大于3的所有自然数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 9．方程组解的集合是（　　） A． B． C． D． 填空题 10．用描述法表示不等式的解集是 . 11．集合用列举法表示为： ． 12．已知集合，用列举法表示为 ． 13．若集合为空集，则实数的取值范围是 . 14．已知集合且，则实数a的值为 ． 15．以下各结论①；②；③符号表示空集，则；④集合和集合的表示法都是正确的，只是两个集合表示的含义不同； 其中正确的有 （只填写编号）； 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的概念及表示方法 一、知识梳理 （1）集合的定义 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 集合常用大写英文字母表示．如，A，B，C，…；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…． （2）元素与集合的关系 属于（）与不属于（）关系；若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作． 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”. （3）集合元素的特性 确定性、互异性、无序性． （4）集合的表示方法 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法．描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质． （5）常见数集的表示方法 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． （6）集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限各元素的集合； 空集：不含任何元素的集合，记为∅. 点集与数集：由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 二、题型精练 题型1 集合的定义 【典例1】．下列四个集合中，空集是（   ） A． B．方程的实数解集 C．方程的解集 D． 【答案】B 【分析】根据空集的概念即可得解. 【详解】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，的解为，故， C错误； D选项，，D错误. 故选：B. 【典例2】．有下列说法： ①集合N中最小的数为1；②若，则；③若，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合. 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】N中最小的数为0，所以①错； 由，而，可知②错； 若，则的最小值为0，所以③错； “小”的正数不是一个明确的标准，所以④错. 故选：A. 题型2 元素与集合的关系 【典例1】．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】已知集合，则，故A错误， ，故B错误， ，故C正确， ，故D错误， 故选：C. 【典例2】．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合关系及集合间的关系判断各选项. 【详解】0是自然数，则，故A正确； 不是自然数，则，故B错误； 不是有理数，则，故C错误； 空集是任何集合的子集，则，故D错误， 故选：A. 题型3 集合中元素的特性 【典例1】．已知，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．或0 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性进行求解即可. 【详解】已知， 当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意； 当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意； 若，则，满足，所以实数a的值为. 故选：C. 【典例2】．下列各对象不能组成集合的是（    ） A．中国五岳 B．年龄比较大的老师 C．大于的所有实数 D．绝对值小于3的所有整数 【答案】B 【分析】根据题意，结合构成集合元素的特性，即可判断求解. 【详解】因为中国五岳是确定的元素，可构成集合，故选项A不符合题意； 因为年龄比较大的老师不是确定的对象，故不能构成集合，故选项B符合题意； 因为大于的所有实数是确定的元素，能构成集合，故选项C不符合题意； 因为绝对值小于3的所有整数是确定的元素，能构成集合，故选项D不符合题意； 故选：B. 题型4 集合的表示方法 【典例1】．集合是小于5的正整数是小于5的正整数，用列举法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的描述，列举所有元素，即可得解. 【详解】集合是小于5的正整数， 用列举法表示. 故选：B. 题型5 常见数集的表示方法 【典例1】．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程组解集的表达形式排除，再解出该方程组的解集，从而得解. 【详解】因为方程组的解集中元素应是有序数对形式，故排除选项； 而选项D的集合表示方法有误，故排除选项D； 同时，由解得， 故方程组的解集为. 故选：C. 三、知识检测 单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与元素的关系分析即可. 【详解】选项A中，1为集合的元素，是属于的关系，正确； 选项B中，两个集合的关系不适用属于符号，错； 选项C中，2为集合的元素，是属于的关系，错； 选项D中，元素与集合的关系为属于，错. 故选：A. 2．下列对象不能组成集合的是（    ） A．乖巧听话的孩子 B．中国古代四大发明 C．小于30的正整数 D．26个小写英文字母 【答案】A 【分析】根据集合中元素的特征，即可求解. 【详解】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 对于A：“乖巧听话”没有明确的、客观的界定标准，不满足元素的确定性，所以不能组成集合，所以A符合题意； 对于B：“中国古代四大发明”(造纸术、印刷术、火药、指南针)是明确的、确定的，可以组成集合，所以B不符合题意； 对于C：“小于30的正整数”，这些数是明确可确定的，能组成集合，所以C不符合题意； 对于D：“26个小写英文字母”是确定的，也能组成集合，所以D不符合题意. 故选：A. 3．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见集合的概念及元素与集合的关系可判断结果. 【详解】对于A、是负整数，则，故A错误； 对于B、是分数，则，故B错误； 对于C、是无理数，则，故C正确； 对于D、5是自然数，则，故D错误. 故选：C. 4．已知集合，且，则实数a的值为（   ） A．或 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】因为集合，且， 所以或， 当，即时，集合不成立； 当，即（舍）或时，集合成立； 综上可知，. 故选：D. 5．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将代入方程组，可得的关系式，求解即可. 【详解】由题意，将代入方程组得， 则，故. 故选：D. 6．用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将元素一一列举出来并用列举法表示即可. 【详解】已知“大于3且小于10的奇数的全体”有， 用列举法表示为. 故选：B. 7．已知集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D．，1 【答案】C 【分析】先求集合中元素，然后用列举法写出即可 【详解】，则，所以集合中的元素为，； 列举法为； 故选：. 8．不大于3的所有自然数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用列举法写出不大于3的自然数组成的集合即可. 【详解】不大于3的所有自然数组成的集合. 故选:D. 9．方程组解的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出方程组的解，解集的元素只有一个点. 【详解】解：由解得 方程组解的集合只有一个元素 所求解的集合为 故选：D 填空题 10．用描述法表示不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合的描述法即可得解. 【详解】解不等式，解得， 用描述法表示为， 故答案为：. 11．集合用列举法表示为： ． 【答案】 【分析】由列举法即将符合条件的元素一一列举即可. 【详解】因为集合， 解方程得：或， 所以列举法表示为. 故答案为：. 12．已知集合，用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据数集的概念，列出集合的元素. 【详解】∵， 列出的整数，用列举法表示为. 故答案为： 13．若集合为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合为空集即为一元二次方程无解，由判别式求解即可. 【详解】若集合为空集， 则方程无解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知集合且，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】因为集合且， 所以，即， 解得或. 故答案为：或. 15．以下各结论①；②；③符号表示空集，则；④集合和集合的表示法都是正确的，只是两个集合表示的含义不同； 其中正确的有 （只填写编号）； 【答案】②③④ 【分析】根据常见集合符号的意义可判断①②正确与否，根据元素与集合的关系可判断③是正确的，而④中的两个均为实数集，从而可得正确的选项. 【详解】实数0不属于正整数集合，①是错误的； 为有理数，故，故②正确； 表示由一个元素组成的集合，所以③正确； 表示的是函数的自变量的取值组成的集合，该集合为 表示的是函数的函数值的值组成的集合，该集合为， 所以④正确， 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查常见集合的符号表示，也考查了元素与集合的关系判断，还考查了对集合的理解，本题属于基础题. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $