培优课 导数中的函数构造问题、导数与恒成立（能成立）问题、导数与不等式证明、导数与函数零点问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导数单元复习课件系统涵盖函数构造、恒成立与能成立、不等式证明、零点问题四大核心模块，通过典例分析、延伸探究及跟踪训练，将导数应用的关键题型串联成逻辑链，帮助学生构建从基础构造到综合应用的完整知识网络。 其亮点在于采用“问题驱动-变式拓展”复习策略，如函数构造中通过条件变换（如f(x)<-xf'(x)与f(x)<xf'(x)对比）培养数学思维，零点问题结合图像趋势分析强化数学眼光，分层作业（基础整理与提升训练）满足个性化需求，助力学生巩固知识并提升解决复杂问题的能力，为教师提供精准复习教学支持。

导数中的函数构造问题 培优课 第一节 学习目标 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.(重点) 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.(难点) 刘雨萌 一、利用f(x)与x构造 典例分析 学习笔记73页例1 　已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 A.(0，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(1，+∞) √ 构造函数y=xf(x)，x∈(0，+∞)， 则y'=f(x)+xf'(x)<0， 所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减. 又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)， 所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)， 所以x+1<x2-1，且x2-1>0，x+1>0， 解得x>2， 所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2，+∞). 刘雨萌 延伸探究1 把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”，解不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1). 设g(x)=，x∈(0，+∞)，则g'(x)=， ∵f(x)<xf'(x)， ∴g'(x)>0，故g(x)在(0，+∞)上单调递增， 由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)得， >， 即g(2x+1)>g(x2+1)， 所以解得0<x<2. 即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0，2). 刘雨萌 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有 (1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x). (2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)>a，构造h(x)=f(x)-ax. (4)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=xf(x). (5)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练1 已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈，使得f(x)>xf'(x)成立，则实数a的取值范围是 A. B.C.(，+∞) D.(3，+∞) √ 由f(x)>xf'(x)，可得'=<0. 设g(x)==ln x+(x-a)2，则存在x∈，使得g'(x)=+2(x-a)<0成立， 即a>.又x+≥2=， 当且仅当x=，即x=时取等号，所以a>. 刘雨萌 典例分析 二、利用f(x)与ex构造 例2 已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，则 A.f(-2 024)<f(0)，e2 024f(2 024)>f(0) B.f(-2 024)<f(0)，e2 024f(2 024)<f(0) C.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)>f(0) D.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)<f(0) √ 构造函数h(x)=exf(x)， 则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以函数h(x)在R上单调递增， 故h(-2 024)<h(0)，即f(-2 024)<e0f(0)，即f(-2 024)<f(0). 同理，h(2 024)>h(0)，即e2 024f(2 024)>f(0). 刘雨萌 延伸探究 把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”，比较e2 024f(-2 024)和f(0)的大小. 令g(x)=，则g'(x)=， 因为对任意的x∈R，都有f'(x)>f(x)， 所以g'(x)>0，即g(x)在R上单调递增， 所以g(-2 024)<g(0)，即<， 所以e2 024f(-2 024)<f(0). f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=exf(x). (2)对于f'(x)>f(x)，构造h(x)=. 刘雨萌 跟踪训练2 (多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则 A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) √ √ 令g(x)=，则g'(x)=<0，所以g(x)在R上单调递减，又ln 2>0，2>0， 所以g(ln 2)<g(0)，g(2)<g(0)， 即<<， 所以f(ln 2)<2f(0)，f(2)<e2f(0). 刘雨萌 三、利用f(x)与sin x，cos x构造 典例分析 例3 (多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(0)=0，f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是 A.f <f  B.f >0 C.f>f  D.f >f √ √ 令g(x)=，x∈， 则g'(x)=， 因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0，所以g'(x)=<0在上恒成立，因此函数g(x)=上单调递减， 刘雨萌 令g(x)=，x∈， 则g'(x)=， 因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0，所以g'(x)=<0在上恒成立，因此函数g(x)=上单调递减， 又<，所以g>g，即>，即f >f，故A错误； 又f(0)=0，所以g(0)==0，所以g(x)=≤0在上恒成立， 因为ln∈，所以f <0，故B错误； 又<，所以g>g，所以>，即f >f，故C正确； 又<，所以g>g，所以>，即f >f ，故D正确. 刘雨萌 反思感悟 f(x)与sin x，cos x构造常见的形式 (1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0，构造函数h(x)=f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0，构造函数h(x)=. (3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0，构造函数h(x)=f(x)cos x. (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0，构造函数h(x)=. 刘雨萌 跟踪训练3 已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是 A.f >-f  B.f<-f C.f >2f D.f <f √ 刘雨萌 由已知，得f(x)为奇函数，由函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)， 满足f'(x)sin x >f(x)cos x，得f'(x)sin x-f(x)cos x>0，令g(x)=，则g'(x)= ，当x∈(0，π)时，g'(x)>0， 所以g(x)在(0，π)上单调递增.对于A，>， 即f >f，所以f=-f<-f，故A错误； 对于B，>，即f>f=-f，故B错误； 对于C，<f>2f，故C正确； 对于D，>f >f，故D错误. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)几种常见的构造形式. (2)掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数. 刘雨萌 随堂演练 1.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，且满足xf'(x)+f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有 A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) √ 2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)<1，则f(x)>x-1的解集为 A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2} √ 刘雨萌 3.若函数y=f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f'(x)<f(x)，且f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)<ex的解集为 A.(2，+∞) B.(0，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，2) 随堂演练 √ 4.函数f(x)定义在上，f =，其导函数是f'(x)，且f(x)·cos x<f'(x)· sin x恒成立，则不等式f(x)>2sin x的解集为　　　　. 　 刘雨萌 基础作业 (1)整理本节课的题型； 提升作业 练透133页作业25 课后作业 刘雨萌 导数与恒成立（能成立） 培优课 第二节 学习目标 会利用导数研究恒成立和能成立问题.(难点) 刘雨萌 典例分析 一、恒成立问题 例1 　已知函数f(x)=ln x-. (1)当a=-1时，求f(x)的极值； 当a=-1时， f(x)=ln x+，定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=-=， 当0<x<1时，f'(x)<0， 当x>1时，f'(x)>0， 则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)有极小值f(1)=1，无极大值. 刘雨萌 例1 　已知函数f(x)=ln x-. (2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 因为f(x)≥0恒成立， 得∀x>0，a≤xln x， 令g(x)=xln x，x>0， 则g'(x)=1+ln x， 当0<x<时，g'(x)<0， 当x>时，g'(x)>0， 即函数g(x)在上单调递减，在上单调递增， 因此g(x)min=g=-， 则a≤-， 所以实数a的取值范围为. 刘雨萌 反思与感悟 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数求出f(x)的最值，即得参数的取值范围. 刘雨萌 跟踪训练1 已知函数f(x)=ln x-kx，且k>0，若f(x)≤在x∈(0，+∞)上恒成立，求k的最小值. 若f(x)≤在x∈(0，+∞)上恒成立，则ln x-kx-≤0在x∈(0，+∞)上恒成立， 令h(x)=ln x-kx-(x>0)，则h(x)max≤0， 令h'(x)=-k+==0，则x=-(舍去)或x=， 当0<x<时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x>时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max=h=ln -k·-=ln ≤0， 则0<≤1，即k≥，故k的最小值为. 刘雨萌 典例分析 二、能成立问题 例2 　已知函数f(x)=ex-ax-1. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值； 当a=1时，f(x)=ex-x-1，所以f'(x)=ex-1， 当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)， 所以当x=0时，函数f(x)有极小值f(0)=0，无极大值. (2)若f(x)≤x2在x∈[0，+∞)上有解，求实数a的取值范围. 刘雨萌 例2 　已知函数f(x)=ex-ax-1. (2)若f(x)≤x2在x∈[0，+∞)上有解，求实数a的取值范围. 显然当x=0时，不等式恒成立； 当x>0时，f(x)≤x2在(0，+∞)上有解，即ex-x2-ax-1≤0在(0，+∞)上有解， 即a≥-在(0，+∞)上有解， 令g(x)=-，x>0，则g'(x)=-=. 由(1)知当x>0时，ex-(x+1)>e0-0-1=0， 故当0<x<1时，g'(x)<0；当x>1时，g'(x)>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以当x=1时，g(x)min=e-2，所以a≥e-2， 综上可知，实数a的取值范围是[e-2，+∞). 刘雨萌 反思与感悟 (1)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. (2)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法 ①若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f(x)min； ②若a<f(x)在x∈D上能成立，则a<f(x)max. 刘雨萌 跟踪训练2 已知函数f(x)=ln x-x2. (1)求函数f(x)在上的最大值和最小值； 因为函数 f(x)=ln x-x2，x∈， 所以f'(x)=-x=， 令f'(x)=0，则x=1或x=-1(舍去). 当≤x<1时，f'(x)>0；当1<x≤4时，f'(x)<0， 所以函数f(x)在上单调递增，在(1，4]上单调递减， 所以当x=1时，f(x)取得最大值，最大值为f(1)=-， 又f =ln-=-ln 2-，f(4)=2ln 2-8，f -f(4)=-3ln 2-+8>-3-+8>0， 所以f>f(4)，所以当x=4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)=2ln 2-8， 故f(x)在上的最大值为-，最小值为2ln 2-8. 刘雨萌 易知f(x)的定义域为(0，+∞)， 故不等式f(x)>(2-a)x2可化为2-a<-. 记g(x)=-，x>0，则原不等式有解可转化为2-a<g(x)max. 易得g'(x)=，当x∈(0，)时，g'(x)>0；当x∈(，+∞)时，g'(x)<0， 所以函数g(x)在(0，，+∞)上单调递减， 故g(x)max=g()=-，所以2-a<-， 解得a>-. 所以实数a的取值范围为. (2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解，求实数a的取值范围. 跟踪训练2 已知函数f(x)=ln x-x2. 刘雨萌 29 课堂小结 1.知识清单： (1)恒成立问题. (2)能成立问题. 2.方法归纳：转化法、分类讨论. 3.常见误区：求错构造的函数最值. 刘雨萌 随堂演练 1.若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是 A. B.C. D. √ 2.函数f(x)=+x2-2x-a(x>0)，若恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是 A.(e，+∞) B.[e-1，+∞) C.(-∞，e-1] D.(-∞，0] √ 3.已知函数f(x)=x2-2ln x，若在定义域内存在x0，使得不等式f(x0)-m≤0成立，则实数m的最小值是 A.2 B.-2 C.1 D.-1 √ 4.已知不等式ax≤(2x+1)ex对任意x∈[1，+∞)恒成立，则正实数a的取值范围是　　　　. (0，3e] 刘雨萌 基础作业 (1)整理本节课的题型； 提升作业 练透135页作业26 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 导数与不等式证明 培优课 第三节 学习目标 1.会用移项来构造函数证明不等式. 2.会用拆分来构造函数证明不等式. 3.会利用两个常见的不等式进行合理放缩证明不等式. 刘雨萌 一、移项构造差函数证明不等式 典例分析 例1 　证明不等式ln(x+1)≤x. 由题意知x>-1，令f(x)=ln(x+1)-x，所以f'(x)=-1=， 所以当-1<x<0时，f'(x)>0； 当x>0时，f'(x)<0，故f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)有最大值f(0)=0， 故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0， 即ln(x+1)≤x成立. 注：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 刘雨萌 跟踪训练1 已知x>0，求证：<ln(1+x). 令g(x)=ln(1+x)-， 当x>0时，g'(x)=-=>0， 即当x>0时，函数g(x)单调递增， 则g(x)>g(0)=0. 故g(x)=ln(1+x)->0， 即当x>0时，<ln(1+x). 刘雨萌 二、拆分函数证明简单的不等式 典例分析 例2 　已知函数f(x)=ln x+x，证明：xf(x)<ex. 要证xf(x)<ex，即证x2+xln x<ex(x>0)，即证1+<(x>0). 令函数g(x)=1+(x>0)，则g'(x)=. 令g'(x)>0，得x∈(0，e)；令g'(x)<0，得x∈(e，+∞)， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， 所以g(x)max=g(e)=1+， 令函数h(x)=(x>0)，则h'(x)=. 当x∈(0，2)时，h'(x)<0；当x∈(2，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以h(x)min=h(2)=. 因为->0，所以h(x)min>g(x)max，即1+<，从而xf(x)<ex得证. 刘雨萌 若直接求导后导数式比较复杂或无从下手，可将待证式进行变形，构造两个函数，转化为求这两个函数的最值问题，从而达到证明的目标.在证明过程中，合理的变形是关键. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练2 已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； f'(x)=-a(x>0)， ①若a≤0，则f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f'(x)>0； 当x>时，f'(x)<0，∴f(x)在上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递减. 刘雨萌 40 (2)当a=e时，证明：xf(x)-ex+2ex≤0. ∵x>0，∴只需证f(x)≤-2e， 当a=e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， ∴f(x)max=f(1)=-e. 设g(x)=-2e(x>0)，则g'(x)=， ∴当0<x<1时，g'(x)<0；当x>1时，g'(x)>0， 故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴g(x)min=g(1)=-e，则f(x)≤f(x)max=g(x)min≤g(x). ∴当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤-2e，即xf(x)-ex+2ex≤0. 刘雨萌 41 三、放缩证明不等式 典例分析 例3 　已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； 函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2x-(a-2)-=， 当a≤0时，f'(x)>0对任意x∈(0，+∞)恒成立， ∴函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，由f'(x)>0得x>， 由f'(x)<0，得0<x<， ∴函数f(x)在区间上单调递减. 刘雨萌 (2)当a=1时，证明：对任意的x>0，f(x)+ex>x2+x+2. 当a=1时，f(x)=x2+x-ln x，要证明f(x)+ex>x2+x+2， 只需证明ex-ln x-2 >0，先证明当x>0时，ex>x+1，令g(x)=ex-x-1， 则g'(x)=ex-1，当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， ∴当x>0时，g(x)>g(0)=0，即ex>x+1， ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. 令h(x)=x-ln x-1(x>0)， 则h'(x)=1-=(x>0)，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(1)=0，即x-ln x-1≥0成立， ∴f(x)+ex>x2+x+2成立. 刘雨萌 对于某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x+1，ln x≤x-1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明. 反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练3 已知函数f(x)=aex-1-ln x-1. (1)若a=1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； 当a=1时，f(x)=ex-1-ln x-1(x>0)， 则f'(x)=ex-1-，∴所求切线斜率为k=f'(1)=0，又f(1)=0， ∴切点为(1，0). ∴所求切线方程为y-0=0(x-1)，即y=0. (2)证明：当a≥1时，f(x)≥0. 刘雨萌 ∵a≥1，∴aex-1≥ex-1，∴f(x)≥ex-1-ln x-1. 令g(x)=ex-x-1，∴g'(x)=ex-1. 当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0；当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0， ∴g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)min=g(0)=0， 故ex≥x+1，当且仅当x=0时取等号. 同理可证ln x≤x-1，当且仅当x=1时取等号. 由ex≥x+1⇒ex-1≥x(当且仅当x=1时取等号)， 由x-1≥ln x⇒x≥ln x+1(当且仅当x=1时取等号)， ∴ex-1≥x≥ln x+1，即ex-1≥ln x+1， 即ex-1-ln x-1≥0(当且仅当x=1时取等号)， 即证得当a≥1时，f(x)≥0. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)移项构造差函数证明不等式. (2)拆分函数证明简单的不等式. (3)放缩证明不等式. 2.方法归纳：构造法、转化法、分类讨论. 3.常见误区：在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 刘雨萌 随堂演练 1.若x∈(0，+∞)，则下列不等式一定成立的是 A.ln x2>ln x B.2x≥x2 C.x2>x D.x>sin x √ 2.已知m，n都是正整数，且em+ln n<m+n，则 A.n>em B.m>em C.n<em D.m>en √ 3.(多选)已知a>b>0，ab=ba，下列结论正确的是 A.b<e B.b>e C.任意a，b满足a·b<e2 D.存在a，b满足a·b>e2 √ √ 4.若函数y=ln(ex-x+a)的值域为R，则实数a的取值范围是　　　 　. (-∞，-1] 刘雨萌 基础作业 (1)整理本节课的题型； 提升作业 练透137页作业27 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 导数与函数的零点问题 培优课 第四节 学习目标 能够利用导数分析函数的单调性、极值(最值)，来确定函数的零点(或方程的根)的存在区间及数量，会根据零点的个数求参数的范围. 刘雨萌 典例分析 一、判断函数零点(或方程解)的个数 例1 　给定函数f(x)=ex-x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； 函数f(x)的定义域为R， f'(x)=ex-1， 令f'(x)=0，解得x=0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： 所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增.当x=0时，f(x)取极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，+∞). x (-∞，0) 0 (0，+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 1 单调递增 刘雨萌 (2)画出函数f(x)=ex-x.的大致图象； 由(1)可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f(-1)=+1， f(2)=e2-2，f(0)=1， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞； 当x→-∞时，指数函数y=ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. 刘雨萌 (3)求出方程f(x)=ex-x.，f(x)=m(m∈R)在区间[-1，2]上的根的个数. 截取函数f(x)在区间[-1，2]上的图象如图所示. 由图象知， 当f(0)<m≤f(-1)， 即当m∈时，f(x)的图象与直线y=m恰有 两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m=1或+1<m≤e2-2时，方程f(x)=m在区 间[-1，2]上有唯一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上无实根. 刘雨萌 反思与感悟 判断零点的个数问题的思路 (1)求出函数的定义域. (2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值. (4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势. (5)画出f(x)的大致图象. 刘雨萌 跟踪训练1 方程(x+1)ex=a(a>0)解的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 设f(x)=(x+1)ex， 所以f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex， 当x>-2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x<-2时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)min=f(-2)=-e-2=-<0， 当x→-∞时，f(x)→0-， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f(0)=1，f(-1)=0. 函数f(x)的大致图象如图所示， 因为a>0，所以方程(x+1)ex=a(a>0)的解的个数为1. 刘雨萌 典例分析 二、根据零点个数求参数的范围 例2 　已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x. (1)若函数f(x)的极值点在(2，3)内，求实数m的取值范围； 由f(x)=ln x-mx2+(2-m)x， 则f'(x)=-2mx+2-m=-， 要使函数f(x)的极值点在(2，3)内， 则f'(x)=0在(2，3)上有解， 即mx-1=0在(2，3)上有解，则<m<， 即m的取值范围为. 刘雨萌 例2 　已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x. (2)若f(x)有两个零点，求实数m的取值范围. 由(1)知f'(x)=-，x>0， 若m≤0，mx-1<0，2x+1>0，则f'(x)>0， 此时函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 若m>0，又2x+1>0，令f'(x)=0，得x=， 当0<x<时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x>时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 又当x→0时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→-∞， 要使f(x)有两个零点，则f =ln -+=ln +-1>0恒成立， 设g(x)=ln x+x-1，x>0，则g'(x)=+1>0， 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，又g(1)=0， 则>1，解得0<m<1.综上所述，m的取值范围为(0，1). 刘雨萌 反思感悟 由函数零点个数求参数范围问题的解题思路 (1)对函数求导，确定函数的单调性和极值点. (2)结合函数的极值以及函数图象的趋势，研究零点个数. (3)根据所需零点个数，建立不等式或画出函数简图，得参数范围. 刘雨萌 跟踪训练2 已知函数f(x)=e2x-ax2(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值； 因为f(x)=e2x-ax2，所以f'(x)=2e2x-2ax， 所以f'(1)=2e2-2a，f(1)=e2-a， 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y-f(1)=f'(1)(x-1)，即y=(2e2-2a)x-e2+a. 令y=0，则2(e2-a)x=e2-a， 若e2-a=0，则a=e2，则切点为(1，0)，切线为y=0，不符合题意； 若e2-a≠0，则x=，令x=0，则y=a-e2. 又切线在两坐标轴上的截距相等，即=a-e2，故a=+e2. 刘雨萌 (2)已知函数f(x)=e2x-ax2(a∈R). 是否存在实数a，使得f(x)有3个零点？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 函数f(x)=e2x-ax2有3个零点，等价于方程e2x=ax2有三个解. 易知x=0不是方程的根， 当x≠0时，转化为g(x)=的图象与直线y=a有3个交点. 又g'(x)==， 令g'(x)>0，解得x<0或x>1；令g'(x)<0，解得0<x<1， 所以函数g(x)在(-∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(1)=e2. 又当x→0时，g(x)→+∞；当x→-∞时，g(x)→0且g(x)>0；当x→+∞时，g(x)→+∞，故函数g(x)的大致图象如图所示，又直线y=a与g(x)的图象有3个交点，所以a>e2，即实数a的取值范围为(e2，+∞). 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)判断函数零点(或方程解)的个数. (2)根据零点个数求参数的范围. 2.方法归纳：转化法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数. 刘雨萌 随堂演练 1.函数y=sin x+x的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 2.方程x2=xsin x+cos x的实数解的个数是 A.3 B.0 C.2 D.1 √ 3.已知m∈N*，若关于x的不等式-mx->0的解集中有且仅有一个正整数，则m等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 4.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是　 　. (-2，2) 刘雨萌 基础作业 (1)整理本节课的题型； 提升作业 练透139页作业28 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 $