2026年浙江省中考数学专题复习：圆中等量关系

2025-2026年浙江省杭州中考专题复习：圆中等量关系 1.如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,记∠BAC的度数为，∠CAD的度数为 B.若AB=AC,ABCD,则有() B A.2a+3β=180° B.3a+4β=360 C.3a+2β=180° D.4c+3B=3609 2.已知：如图，直线MN切⊙O于点C,AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点， AE⊥MN,BF⊥MN,E、F分别为垂足，BF交⊙O于G,连接AC、BC,过点C作 CD⊥AB,D为垂足，连接OC、CG. 下列结论：其中正确的有 ①CD=CF=CE: ②EF2=4AEBF; ③ADDB=FGFB: ④MCCF=MABF. B D E F N 3.已知△ABC内接于⊙O,MN为直径，连接CN,且CN平分∠ACB. B E H M N M A C C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB⊥MW: (2)如图2，过点N作NE⊥BC交⊙O于点E,交BC于点H,求证：BH+AC=CH: (3)如图3，在(2)的条件下，连接EC,连接EA交BC于点G,连接MG交CE于点 K,连接BN,且4∠CBN=3∠ACB,若EH=3,AB=210,求KG的长. 4.如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DEAC交⊙O于点E,连结BE交 AC于点F. D D E E F °0 ●0 B 图1 图2 (1)若∠DCB=2∠DAB,求∠EFA的度数. (2)如图2，连接FD,若AF=FC. ①求证：FE=FD, ②求证：DCAB=ADBC. 2 5.如图，己知AB是⊙O的直径，CD,CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于点G,CE交AG于点 F,且BD=DE,连结BE,分别交AD,CD于点H,K. (1)求证：BK=DK. (2)若DK=5,DH=6,求⊙O的直径. (3)若点r在半径01上，0F=0G,请直接写出品的值. EH E H C G K D B 3 6.已知，AB,CD是⊙O的弦，CDLAB于点E,且BD=2AD,连接BC,AD. (1)如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数. (2)如图2，求证：①CD=CB. ②AE+AD=BE. E A 0 A 0 (图1) (图2) 7.如图1，在⊙O中，AB与CD是点O异侧的两条弦，AB>CD,且ABCD,连结AD,与 4 BC交于点E. (1)求证：AE=BE (2)如图2，连结OE并延长，与BD的延长线交于点F,连结OA.求证：∠F= ∠OAE. EF米 (3)在(2)的条件下，若O5=号. BF的值. A C O B D ⊙ 图1 图2 8.如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C,BDLCD于点D,连 5 结BC. (1)求证：∠ABC=∠CBD. (2)若AB=10,BD=32 ①求BC的长度. ②如图，点P在半径0上，准结CP并延长交O0于点心，且号。造结08，求 证：QB=QC. D C P 0 B Q 9.如图，在口ABCD中，过A,B,C三点的⊙O交CD于点E,连结AE. 6 (1)求证：△ADE是等腰三角形. (2)如图2，已知AD为⊙O的切线，连结AO并延长交BE于点G. ①求i证：∠BAG=∠DAE: @% ,求cosD的值. A ⊙ B 0 G D E E 图1 图2 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B,C > 重合)，连结AE与CD交于点F,过E,F,D三点的圆与BD交于点G(不与B,D重 合)，连结EG (1)若CE=CF,∠B=50°，求∠EGD的度数： Q)者品肥的： (3)求证：EG+EF=AF. C ② F A D 11.在△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上，连结AD,AO,分别交BC于点E,F,∠CAD= ∠BAO. 8 (1)求证：AD⊥BC. (2)若AOCD. ①求证：CA=CF. ②若CD=5,BF=V10,求BC的长. A A B C B .0 图1 图2 12.己知△ABC内接于⊙O,MN为直径，连接CN,且CN平分∠ACB. 9 ⊙ B E E H 0 M NM N M K G C C A 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB⊥MW; (2)如图2，过点N作NE⊥BC交⊙O于点E,交BC于点H,求证：BH+AC=CH; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EC,连接EA交BC于点G,连接MG交CE于点 K,连接BN,且4∠CBN=3∠ACB,若EH=3,AB=210,求KG的长. 13,已知正方形ABCD内接于⊙O,边CD以点C为中心顺时针旋转到CE,连结BE分别 交⊙O,边CD于点F,G. 10 2025-2026年浙江省杭州中考专题复习：圆中等量关系 1.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 【解答】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝90°α， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝α， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α+α＝90°α， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴90°α+α+β＝180°， 整理得：3α+2β＝180°． 故选：C． 2.已知：如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点，AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分别为垂足，BF交⊙O于G，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB，D为垂足，连接OC、CG． 下列结论：其中正确的有　①②③④　 ． ①CD＝CF＝CE； ②EF2＝4AE•BF； ③AD•DB＝FG•FB； ④MC•CF＝MA•BF． 【解答】解：∵MN与圆O相切于点C， ∴∠ACE＝∠ABC， 又∵AB为圆O直径， ∴AC⊥BC， ∵CD⊥AB， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣∠DAC＝∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACD， ∵∠AEC＝∠ADC＝90°， 在Rt△AEC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△ADC（AAS）， ∴CD＝CE， 同理，Rt△BCD≌Rt△BCF， ∴CD＝CE＝CF， 故①正确； 由①的过程知：∠ACE＝∠DBC＝∠FBC， ∵∠AEC＝∠CFB＝90°， ∴Rt△ACE∽Rt△CBF， ∴， ∴CE•CF＝AE•BF， 由①的结论知，CE＝CFEF， ∴EF2＝AE•BF ∴EF2＝4AE•BF， 故②正确； 由①过程知，Rt△BCD≌Rt△BCF ∴DB＝FB，…（1） ∵MN为⊙O切线， ∴∠FCG＝∠FBC＝∠ABC＝∠ACE， 由①结论知，CE＝CF， ∵∠AEC＝∠GFC＝90°， 在Rt△ACE和Rt△GCF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△GCF（ASA）， 而由①的过程知，Rt△ACE≌Rt△ACD， ∴Rt△ACD≌Rt△GCF， ∴AD＝FG，…（2） 由（1）（2）得到：AD•DB＝FG•FB； 故③正确； ∵∠M＝∠M，∠AEM＝∠ADC， ∴△AME∽△CMD， ∴， ∵AE＝AD， ∴， ∴，…（3） 又∵Rt△ACD∽Rt△BCF， ∴，…（4） 由（3）（4）得到：， ∴MC•CF＝MA•BF； 故④正确， 故答案为：①②③④． 3.已知△ABC内接于⊙O，MN为直径，连接CN，且CN平分∠ACB． （1）如图1，求证：AB⊥MN； （2）如图2，过点N作NE⊥BC交⊙O于点E，交BC于点H，求证：BH+AC＝CH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，连接EA交BC于点G，连接MG交CE于点K，连接BN，且4∠CBN＝3∠ACB，若EH＝3，，求KG的长． 【解答】（1）证明：CN平分∠ACB，如图1，连接OB、OA， ∴∠BCN＝∠ACN， ∵∠BON＝2∠BCN，∠AON＝2∠ACN， ∴∠BON＝∠AON， ∵OB＝OA， ∴AB⊥MN； （2）证明：如图2，连接NB、NA，延长CB至点U，连接NU，使NU＝NC， ∴CH＝UH，∠U＝∠NCU＝∠ACN， ∵∠NBC+∠NAC＝180°，∠NBC+∠UBN＝180°， ∴∠NAC＝∠UBN， 在△NBU和△NAC， ， ∴△NBU≌△NAC（AAS）， ∴BU＝AC． 又∵NE⊥CU， ∴CH＝UH， ∴BH+AC＝BH+BU＝UH＝CH； （3）解：连接BE、ME、MC，设AG与CN交点为T，连接HT，过M作MR⊥EG于R，过T作TP⊥NH于P，在PN上取点Q，连接TQ，使TQ＝TH．则HP＝PQ， ∵4∠CBN＝3∠ACB， 设∠CBN＝3α，∠ACB＝4α， ∴∠ACN＝∠BCN＝2α， ∵， ∴∠CEN＝∠CBN＝3α， ∵， ∴∠AEN＝∠ACN＝2α， ∵EN⊥BC， ∴∠EHC＝90°， ∴∠EGH＝90°﹣2α＝∠CGT， ∴∠CTG＝90°， ∴∠CAG＝90°﹣2α＝∠EBG＝∠EGB＝∠CGA， ∴BE＝GE，CG＝CA， ∴BH＝GH，AT＝GT， ∴，HT∥AB， ∵， ∴∠ABN＝∠ACN＝2α， ∴∠ABC＝3α﹣2α＝α， ∴∠CHT＝∠ABC＝α， ∴∠THQ＝∠TQH＝90°﹣α， 设HP＝PQ＝x， ∴EQ＝3+2x， ∵∠ETQ＝180°﹣∠AEN﹣∠EQT＝90°﹣α＝∠TQE， ∴ET＝EQ＝3+2x， ∵TP⊥EQ， ∴TE2﹣EP2＝TP2＝HT2﹣HP2， ∴， ∴x1＝1，（不合题意，舍去）， ∴PH＝PQ＝1，ET＝5， 在直角三角形PTH中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠HTP＝90°﹣∠THP＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∴∠HTP＝∠ABC， ∵， ∴∠AEC＝∠ABC＝∠HTP， ∴， 在Rt△ECT中，， ∴， ∵MN为直径， ∴∠MEN＝∠MCN＝90°＝∠CHN＝∠ETN， ∴ME∥CH，MC∥ET， ∴四边形MEGC为平行四边形， ∴EM＝GC，MK＝KG， ∴∠MRT＝∠RTC＝∠MCT＝90°， ∴四边形MRTC为矩形． ∴． 在Rt△EMR和Rt△GCT中， ， ∴Rt△EMR≌Rt△GCT（HL）． ∴ER＝GT＝AT． ∵∠GHE＝∠TPE＝90°， ∴GH∥TP． ∴△EHG∽△EPT， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在直角三角形MRG中，由勾股定理得：． ∴MG＝MK+KG＝2KG， ∴． 4.如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连结BE交AC于点F． （1）若∠DCB＝2∠DAB，求∠EFA的度数． （2）如图2，连接FD，若AF＝FC． ①求证：FE＝FD． ②求证：DC•AB＝AD•BC． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠DCB＝2∠DAB， ∴2∠BAD+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝60°， ∵∠DEB＝∠BAD， ∴∠DEB＝60°． ∵DE∥AC， ∴∠EFA＝∠DEB＝60°； （2）①证明：连接AE，如图， ∵DE∥AC， ∴， ∴AE＝CD，， ∴， ∴∠EAC＝∠DCA． 在△EAF和△DCF中， ， ∴△EAF≌△DCF（SAS）， ∴FE＝FD． ②证明：连接AE，延长DF交⊙O于点G，连接CG，BG，AG，如图， 由（2）①知：△EAF≌△DCF， ∴∠AEF＝∠CDF， ∴， ∴AB＝CG，， ∴， ∴AG＝BC，∠ACG＝∠BGC， ∵∠CDG＝∠CAG，∠DFC＝∠AFG， ∴△DFC∽AFG， ∴， ∴． ∵∠ADG＝∠ACG，∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF∽△GCF， ∴， ∴． ∵AF＝FC， ∴， ∴， ∴DC•AB＝AD•BC． 5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于点G，CE交AG于点F，且，连结BE，分别交AD，CD于点H，K． （1）求证：BK＝DK． （2）若DK＝5，DH＝6，求⊙O的直径． （3）若点F在半径OA上，，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴∠KBD＝∠KDB， ∴BK＝DK； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠KHD+∠KBD＝∠HDK+∠KDB＝90°， ∵∠KBD＝∠KDB， ∴∠KHD＝∠HDK， ∴BK＝DK＝HK， ∵DK＝5，DH＝6， ∴BH＝10，BD＝8， ∵， ∴∠BAD＝∠HBD， ∵∠ADB＝∠BDH， ∴△ADB∽△BDH， ∴， ∴； （3）解：连接FH，AE，OC， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∵CG＝DG． ∵， ∴∠BDG＝∠FCG， ∵∠CGF＝∠DGB， ∴△CGF≌DGB（ASA）， ∴BG＝FG， ∵BK＝HK， ∴GK是△BFH的中位线， ∴FH∥CD， 设OF＝x，则OG＝2x， ∴BG＝3x，OC＝OB＝5x， ∴，， ∵， ∴∠BAD＝∠DCE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠ANF＝∠CGF＝90°， ∵∠AFN＝∠CFG， ∴△AFN∽△CFG， ∴， ∴， ∵， ∴∠FAN＝∠EAN， ∵AN＝AN，∠ANF＝∠ANE＝90°， ∴△FAN≌△EAN（ASA）， ∴NE＝FN， ∴， ∵∠ANF＝∠ADB＝90°， ∴FH∥CD， ∴， ∴． 6.已知，AB，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，且，连接BC，AD． （1）如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数． （2）如图2，求证：①CD＝CB． ②AE+AD＝BE． 【解答】（1）解：连接AC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵， ∴∠BCD＝2∠ACD， ∴∠BCDBCD＝90°， ∴∠BCD＝60°． ∴∠C的度数为60°； （2）证明：①取的中点F，连接AC，AF，CF，如图， 则． ∵， ∴， ∴∠ACD＝∠DCF＝∠BAF， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE+∠BAF＝90°， ∴∠CAF＝90°， ∴CF为⊙O的直径， ∵， ∴， ∴CD＝CB； ②在BE上取一点F，使EF＝AE，连接DF并延长交BC于点G，如图， ∵EF＝AE，CD⊥AB， ∴CD垂直平分AF， ∴AD＝DF， ∴∠A＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFG， ∴∠BFG＝∠A， ∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠B， ∴∠B+∠BFG＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∴∠BGF＝∠CGD＝∠BEC＝∠AED＝90°． 在△CDG和△CBE中， ， ∴△CDG≌△CBE（AAS）， ∴CG＝CE， ∴CB﹣CG＝CD﹣CE， ∴BG＝DE． 在△ADE和△BFG中， ， ∴△ADE≌△BFG（ASA）， ∴AD＝BF． ∵BE＝EF+BF， ∴AE+AD＝BE． 7.如图1，在⊙O中，AB与CD是点O异侧的两条弦，AB＞CD，且AB∥CD，连结AD，与BC交于点E． （1）求证：AE＝BE． （2）如图2，连结OE并延长，与BD的延长线交于点F，连结OA．求证：∠F＝∠OAE． （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【解答】（1）证明：由圆周角定理推论可得∠A＝∠C， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B， ∴AE＝BE． （2）证明：连接OB，如图2所示， 由题意可知点O为△ABD的外心，从而有OA＝OB， 又AE＝BE，OE＝OE， 则易证△AOE≌△BOE，OF必为∠AOB的平分线， ∴∠AOE＝∠BOE， 又∵∠BOE＝180°∠AOB＝180°﹣∠ADB， ∠EDF＝180°﹣∠ADB， ∴∠BOE＝∠EDF， 即∠AOE＝∠EDF， ∵∠AEO＝∠FED， 根据三角形内角和性质可得∠F＝∠OAE． （3）解：由（2）知，∠AOE＝∠BOF，∠F＝∠OAE， ∴△OAE∽△OFB， ∴， ∵，则设OE＝x，EF＝2x， ∴OF＝3x， 设OA＝OB＝r， 故，解得x， 故． 8.如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，连结BC． （1）求证：∠ABC＝∠CBD． （2）若． ①求BC的长度． ②如图，点P在半径AO上，连结CP并延长交⊙O于点Q，且，连结QB，求证：QB＝QC． 【解答】（1）证明：⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，如图1，连接CO． ∵CD切⊙O于点C， ∴CO⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴CO∥BD， ∴∠OCB＝∠CBD． ∵CO＝BO， ∴∠ABC＝∠OCB＝∠CBD． （2）解：①连接AC．如图2， ∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴， ∵AB＝10，， ∴BC＝8． ②法一：连接CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，如图3， ∵CM⊥AB，QN⊥AB， ∴∠CMA＝∠QNO＝90°． 又∵∠CPM＝∠QPN， ∴△CPM∽△QPN， ∴， 设CM＝6x，则QN＝5x， ∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆， ∴∠ACB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴∠CAM＝∠QON， ∴CA∥QH． ∵AC⊥CB，QH过圆心O， ∴QH⊥CB且QH平分CB， ∴QB＝QC； 法二：连接CA，在PB上取一点G，使得，连接QG并延长交BC于H， ∵，∠CPA＝∠QPG， ∴△CPA∽△QPG， ∴∠CAP＝∠QGP， ∴CA∥QH． ∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∵， ∴QG＝5＝QO， ∴Q点与O点重合， ∵AC⊥CB，QH过圆心O， ∴QH⊥CB且QH平分CB， ∴QB＝QC． 9.如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，连结AE． （1）求证：△ADE是等腰三角形． （2）如图2，已知AD为⊙O的切线，连结AO并延长交BE于点G． ①求证：； ②若，求cosD的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D＝∠B， ∵四边形AECB为圆的内接四边形， ∴∠AED＝∠B， ∴∠AED＝∠D， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）①证明：过点A作AH⊥DC于点H，如图， 由（1）知：AD＝AE， ∵AH⊥DC， ∴∠DAH＝∠EAHDAE． ∵AD为⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∴∠DAH+∠HAG＝90°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AH⊥DC， ∴AB⊥AH， ∴∠BAG+∠HAG＝90°， ∴∠DAH＝∠BAG， ∴∠BAGDAE； ②过点B作BF∥AE，交AG的延长线于点F，设AF交BC于点M，连接OB，如图， ∵BF∥AE， ∴△AEG∽△FBG， ∴， 设AE＝3k，则BF＝2k， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD， 由（1）知：AD＝AE， ∴BC＝AE＝3k． 由（2）①知：OA⊥AD， ∴OM⊥BC， ∴BM＝CMBC， ∴MFk， ∵∠BAGDAE，∠BAGBON， ∴∠BON＝∠DAE． ∵∠DAE+∠EAF＝90°， ∴∠BON+∠EOF＝90°． ∵BF∥AE， ∴∠EAF＝∠F， ∴∠BON+∠F＝90°，即∠OBF＝90°， ∵OF⊥BC， ∴△FBM∽△FOB， ∴， ∴， ∴FOk． ∴OM＝FO﹣FMk， ∴OA＝OBk， ∴AM＝OA+OMk， ∴AB3k． ∴cosB． ∵∠D＝∠B， ∴cosD． 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B，C重合），连结AE与CD交于点F，过E，F，D三点的圆与BD交于点G（不与B，D重合），连结EG． （1）若CE＝CF，∠B＝50°，求∠EGD的度数； （2）若，求的值； （3）求证：EG+EF＝AF． 【解答】（1）解：∵D是斜边AB上的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCE＝∠B＝50°， ∵CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF＝65°， ∵四边形EFDG内接于圆， ∴∠EGD＝∠CFE＝65°； （2）解：如图，过E作EH∥CD，交BD于点H， ∵EH∥CD，， ∴， ∵AD＝BD， ∴， ∵EH∥CD， ∴； （3）证明：如图，过B作BM∥CD，交AE延长线于点M，在BD上作BH＝BM，连接EH， ∵BM∥CD，AD＝DB， ∴AF＝FM， ∵BM∥CD， ∴∠MBE＝∠DCB＝∠CBD，∠M＝∠CFE＝∠EGD， 又∵BM＝BH，BE＝BE， ∴△EMB≌△EHB（SAS）， ∴EH＝EM，∠EHG＝∠M＝∠EGH， ∴EH＝EG， ∴EG+EF＝EM+EF＝FM＝AF． 11.在△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO． （1）求证：AD⊥BC． （2）若AO∥CD． ①求证：CA＝CF． ②若CD＝5，，求BC的长． 【解答】（1）证明：延长AO交⊙O于点M，连结CM，如图， ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ACM＝90°， ∴∠BCM+∠ACE＝90°， ∵∠BCM＝∠BAO， ∴∠BAO+∠ACE＝90°， ∵∠CAD＝∠BAO， ∴∠CAD+∠ACE＝90°， 即∠AEC＝90°， ∴AD⊥BC； （2）①证明：∵AO∥CD， ∴∠FAE＝∠D， ∵∠D＝∠B， ∴∠FAE＝∠B， ∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC， 又∵∠CAD＝∠BAO，即∠CAE＝∠FAB， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴CA＝CF； ②解：∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B， ∴△ACD∽△AFB， ∴， 设AC＝5a，则AFa， 由①知CF＝CA， ∴CF＝5a， 设CE＝x，则EF＝5a﹣x， 由（1）知AD⊥BC， ∴AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2， ∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2， ∴， ∴x＝4a， 即CE＝4a，EF＝a， ∴， ∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA， ∴△AEF∽△BEA， ∴， 即AE2＝EF•EB， ∴， 解得， ∴CF＝5a， ∴BC＝CF+BF． 12.已知△ABC内接于⊙O，MN为直径，连接CN，且CN平分∠ACB． （1）如图1，求证：AB⊥MN； （2）如图2，过点N作NE⊥BC交⊙O于点E，交BC于点H，求证：BH+AC＝CH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接EC，连接EA交BC于点G，连接MG交CE于点K，连接BN，且4∠CBN＝3∠ACB，若EH＝3，，求KG的长． 【解答】（1）证明：CN平分∠ACB，如图1，连接OB、OA， ∴∠BCN＝∠ACN， ∵∠BON＝2∠BCN，∠AON＝2∠ACN， ∴∠BON＝∠AON， ∵OB＝OA， ∴AB⊥MN； （2）证明：如图2，连接NB、NA，延长CB至点U，连接NU，使NU＝NC， ∴CH＝UH，∠U＝∠NCU＝∠ACN， ∵∠NBC+∠NAC＝180°，∠NBC+∠UBN＝180°， ∴∠NAC＝∠UBN， 在△NBU和△NAC， ， ∴△NBU≌△NAC（AAS）， ∴BU＝AC． 又∵NE⊥CU， ∴CH＝UH， ∴BH+AC＝BH+BU＝UH＝CH； （3）解：连接BE、ME、MC，设AG与CN交点为T，连接HT，过M作MR⊥EG于R，过T作TP⊥NH于P，在PN上取点Q，连接TQ，使TQ＝TH．则HP＝PQ， ∵4∠CBN＝3∠ACB， 设∠CBN＝3α，∠ACB＝4α， ∴∠ACN＝∠BCN＝2α， ∵， ∴∠CEN＝∠CBN＝3α， ∵， ∴∠AEN＝∠ACN＝2α， ∵EN⊥BC， ∴∠EHC＝90°， ∴∠EGH＝90°﹣2α＝∠CGT， ∴∠CTG＝90°， ∴∠CAG＝90°﹣2α＝∠EBG＝∠EGB＝∠CGA， ∴BE＝GE，CG＝CA， ∴BH＝GH，AT＝GT， ∴，HT∥AB， ∵， ∴∠ABN＝∠ACN＝2α， ∴∠ABC＝3α﹣2α＝α， ∴∠CHT＝∠ABC＝α， ∴∠THQ＝∠TQH＝90°﹣α， 设HP＝PQ＝x， ∴EQ＝3+2x， ∵∠ETQ＝180°﹣∠AEN﹣∠EQT＝90°﹣α＝∠TQE， ∴ET＝EQ＝3+2x， ∵TP⊥EQ， ∴TE2﹣EP2＝TP2＝HT2﹣HP2， ∴， ∴x1＝1，（不合题意，舍去）， ∴PH＝PQ＝1，ET＝5， 在直角三角形PTH中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠HTP＝90°﹣∠THP＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∴∠HTP＝∠ABC， ∵， ∴∠AEC＝∠ABC＝∠HTP， ∴， 在Rt△ECT中，， ∴， ∵MN为直径， ∴∠MEN＝∠MCN＝90°＝∠CHN＝∠ETN， ∴ME∥CH，MC∥ET， ∴四边形MEGC为平行四边形， ∴EM＝GC，MK＝KG， ∴∠MRT＝∠RTC＝∠MCT＝90°， ∴四边形MRTC为矩形． ∴． 在Rt△EMR和Rt△GCT中， ， ∴Rt△EMR≌Rt△GCT（HL）． ∴ER＝GT＝AT． ∵∠GHE＝∠TPE＝90°， ∴GH∥TP． ∴△EHG∽△EPT， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在直角三角形MRG中，由勾股定理得：． ∴MG＝MK+KG＝2KG， ∴． 13.已知正方形ABCD内接于⊙O，边CD以点C为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交⊙O，边CD于点F，G． （1）如图1，若CE是⊙O的切线， ①求∠E的度数； ②连结DF，求证：BG＝2DF． （2）如图2，连结AF，DE，求证：AF∥DE． 【解答】（1）①解：如图1， 连接OC，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵OC是CE的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠BCE＝∠OCB+∠OCE＝135°， ∵边CD以点C为中心顺时针旋转到CE， ∴CE＝BC， ∴∠E＝∠CBE； ②证明：如图2， 连接CF，OB，OC，作CH⊥CF，交BE于H， ∴∠HCF＝90°， ∵， ∴∠BFC， ∴∠CHF＝45°， ∴∠CHF＝∠BFC， ∴CH＝CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠BCD＝∠HCF， ∴∠BCD﹣∠DCH＝∠HCF﹣∠DCH， ∴∠BCH＝∠DCF， ∴△BCH≌△DCF（SAS）， ∴BH＝DF， 由①知， ∠CBE＝22.5°， ∴∠BCH＝∠CHF﹣∠CBE＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵∠BGC＝90°﹣∠CBE＝67.5°， ∴∠DCH＝∠BGC， ∴CH＝GH， ∴BH＝GH， ∴BG＝2BH＝2DF； （2）证明：如图3， 连接BD，CF，延长CF，交DE于W， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠DFE＝∠BFD＝90°， 由（1）知， ∠AFB＝45°，CD＝BC＝CE，∠CBE＝∠BEC， ∴∠CDE＝∠CED， ∵， ∴∠CBE＝∠CDF， ∴∠CDF＝∠BEC， ∴∠CDE﹣∠CDF＝∠CED﹣∠BEC， ∴∠FDE＝∠FED45°， ∴∠FED＝∠AFB， ∴AF∥DE． 14.如图1，已知ABCD内接于⊙O，连结BD，BD平分∠ABC，点P是的中点，连结AP分别交BD，BC于点E，F． （1）如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数． （2）求证：①DC＝DE；②PE2﹣PF2＝PF•AF． 【解答】（1）解：如图，连接OD、OP， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 又∵AB为直径， ∴，即∠POD＝90°，∠ADB＝90°， ∴∠PAD＝45°， ∴∠AED＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）证明：①连接AC， 由（1）得，， ∴∠DAC＝∠ABD，∠PAC＝∠PAB，DA＝DC， ∴∠PAD＝∠DAC+∠PAC＝∠ABD+∠PAB， 即∠PAD＝∠DEA， ∴DA＝DE， ∵DA＝DC， ∴DE＝DC； ②连结PB， 由①得∠PAD＝∠DEA， ∴∠PEB＝∠PBE， ∴PB＝PE， ∵， ∴∠PBF＝∠PAB，∠P＝∠P， ∴△PBF∽△PAB， ∴，即PF•AP＝PB2＝PE2， ∵AP﹣PF＝AF， ∴PF•AP﹣PF2＝PF•AF， 即PE2﹣PF2＝PF•AF． 15.如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． （1）若，用含的代数式表示． （2）如图2，连结，，若，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．（1）利用垂径定理证明即可；（2）通过证明，即可证明所求；（3）连接，先推导出，再证明，设，，利用相似性质求出，再证明，得到，设，列出方程求出，通过证明，即可求． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，连结， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，， 可得：， 解得：， ， ， ， ， ， ， 设，可得：，解得：， ，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $