专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样（A卷·基础巩固）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第14个专题，内容为排列、组合、二项式定理与随机抽样。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1．书架上有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本，共有选法（    ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类加法计数原理求解即可. 【详解】有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本， 选工具书有5种选法，选专业书有7种选法，选数学书有3种选法， 由分类计数原理得共有种选法. 故选：B. 2. 现有3本不同的语文辅导书和4本不同的数学辅导书，从中任选2本书，恰有1本语文辅导书的选法有（   ）种． A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理求解即可； 【详解】依次任选1本语文辅导书和1本数学辅导书， 根据分步计数原理，共有（种）可能， 故选：A 3. 给出下列问题，是组合问题的是（    ） A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生去不同的学校工作，有多少种不同的选法 B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 【答案】C 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列和组合的概念判断即可. 【详解】对于A，2名学生去的是不同的学校，有顺序，是排列问题，不是组合问题． 对于B，2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题，不是组合问题． 对于C，单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． 对于D，冠亚军是有顺序的，是排列问题，不是组合问题. 故选：C. 4. 把6本不同的漫画书选3本分给3名小朋友，每人一本，共有分法为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【知识点】排列的意义理解 【分析】由排列数计算即可. 【详解】6本不同的漫画书选3本分给3名小朋友，每人一本，是有顺序的， 属于排列问题，即共有分法为种. 故选：A. 5. 在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（   ） A．33个 B．20个 C．5个 D．10个 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由已知条件求出抽样比即可求解. 【详解】因为在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析， 设应抽红球个，由，得. 故选：C. 6. 8名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，18，14，12，16，19，14，12，则这一天8名工人生产的零件的平均数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的公式计算即可. 【详解】8名工人生产的零件的平均数为. 故选：B. 7. 样本101，98，102，100，99的标准差为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算、估计总体的方差、标准差 【分析】根据标准差的计算公式求解即可. 【详解】样本平均数. 解法一（对应高教版）： . 故样本的标准差. 解法二（对应人教版）： . 故样本的标准差. 故选：A. 8. 的展开式中第2项的二项式系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】由二项展开式的通项求解即可. 【详解】的展开式的第2项为， 所以第2项的二项式系数为． 故选：B. 9.的展开式共有项，则n等于（   ） A．9 B． C． D．8 【答案】B 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项展开式共有项，即可解答. 【详解】的展开式共有项， 所以，故. 故选：B. 10. 已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（    ） A．20 B．—20 C．15 D．—15 【答案】C 【知识点】组合数的计算、求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得 【详解】由题， 则由解得， 又， 令， 则， 即. 故选：C 二、填空题 11. 若，则 ． 【答案】5 【知识点】组合数方程或不等式 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】若，则，即， 故答案为：5. 12. 如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为 .    【答案】12 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，先涂A有3种涂法，再涂B有2种涂法，最后涂C有2种涂法， 所以不同的涂法有种. 故答案为：12. 13. 班里有6个同学去参加正、副班长的竞选，问有 种选法． 【答案】 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据排列数公式来计算选法的种数. 【详解】从6个同学去参加正、副班长的竞选， 则方案有种， 故答案为：. 14. 在的展开式中，的系数为，则 ． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开式中的项的系数求解参数即可. 【详解】的展开式中， 含的项为， 所以， 故答案为：. 15.若，求 . 【答案】1 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】对于， 令，则. 故答案为：. 16.某实践团有4个男生､3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被选中的方法有 种. 【答案】12 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据组合计数以及分步计数原理求解即可. 【详解】因为实践团有4个男生､3个女生，从中任选3人，恰好有2个女生被选中有. 故答案为：12. 17. 现有5张《飞驰人生2》连号的电影票，需要分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则不同分法的种数为 种. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】根据分步乘法计数原理和排列数的计算即可解得. 【详解】由题，将电影票分为四组，其中一组为连号，则共有种分组方法， 将连在一起的两张票分给甲乙两人，则共有种分法， 将剩余的三张票分给剩下的三人，则共有种分法， 故共有种分法， 故答案为：. 18. 设，若，则 ． 【答案】1 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数 【分析】由二项式定理的性质，令，求出m的值即可. 【详解】∵， ∴令，则，解得. 故答案为：1. 三．解答题 19. 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 【答案】(1)是组合问题 (2)是排列问题 (3)是组合问题 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】利用排列与组合的定义依次判断即可求解. 【详解】（1）因为集合A的子集中的3个元素与顺序无关，所以是组合问题. （2）因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，所以是排列问题. （3）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，所以是组合问题. 20. 现有3名高一学生，5名高二学生. (1)从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法有多少种？ (2)若要从高一年级和高二年级中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同选法有多少种？ 【答案】(1)8 (2)15 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据分类计数原理即可求解. （2）根据分步计数原理即可求解. 【详解】（1）从3名高一学生，5名高二学生中选择一人作为国旗下讲话的主持人， 若从高一学生中选，有3种选法， 若从高二学生中选，有5种选法， 则有种选法. （2）若要从高一年级和高二年级中各选择一人作为国旗下讲话的主持人， 从高一学生中选出一人，有3种选法， 从高二学生中选出一人，有5种选法， 则有种选法. 21. 在20件产品中，有17件合格品和3件次品，从中任取3件．（列式并计算结果） (1)一件次品都没有的抽法有多少种？ (2)恰好抽到1件次品的抽法有多少种？ (3)至少抽到2件次品的抽法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）一件次品都没有即从件合格品中抽个利用组合数公式可求； （2）恰好抽到1件次品，就是从件合格品中抽个，从件次品中抽个然后利用组合数公式可求； （3）至少抽到2件次品，就是从件合格品中抽1个，从件次品中抽个，或者从件次品中抽个然后根据组合数公式可求. 【详解】（1）一件次品都没有，就是从件合格品中抽个，即； （2）恰好抽到1件次品，就是从件合格品中抽个，从件次品中抽个，即； （3）至少抽到2件次品，就是从件合格品中抽1个，从件次品中抽个，或者从件次品中抽个，即. 22. 2名老师和4名同学站成一排拍照留念. (1)共有多少种不同的站法? (2)要求2名老师站在正中间，共有多少种不同的站法? (3)要求2名老师不相邻，共有多少种不同的站法? 【答案】(1)720 (2)48 (3)480 【知识点】排列数的计算、全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据题意列排列数式子计算即可. 【详解】（1）不同的站法共有（种）. （2）2名老师站在正中间，不同的站法共有（种）. （3）2名老师不相邻，不同的站法共有（种）. 23. 在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，求展开式中含的项的系数. 【答案】展开式中含的项的系数为 【知识点】求指定项的系数 【分析】由可求出n的值，从而根据二项展开式通项公式求解. 【详解】解：由，得. 令，得 所以，5 所以，展开式中含的项的系数为. 24. 已知的展开式中，末尾三项的二项式系数之和为22，求n. 【答案】 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式后三项系数之和列出等式即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，即， 所以， 所以或（舍）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第14个专题，内容为排列、组合、二项式定理与随机抽样。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1．书架上有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本，共有选法（    ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 2. 现有3本不同的语文辅导书和4本不同的数学辅导书，从中任选2本书，恰有1本语文辅导书的选法有（   ）种． A．12 B．7 C．4 D．3 3. 给出下列问题，是组合问题的是（    ） A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生去不同的学校工作，有多少种不同的选法 B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 4. 把6本不同的漫画书选3本分给3名小朋友，每人一本，共有分法为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5. 在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（   ） A．33个 B．20个 C．5个 D．10个 6. 8名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，18，14，12，16，19，14，12，则这一天8名工人生产的零件的平均数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 7. 样本101，98，102，100，99的标准差为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8. 的展开式中第2项的二项式系数为（   ） A． B． C． D． 9.的展开式共有项，则n等于（   ） A．9 B． C． D．8 10. 已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（    ） A．20 B．—20 C．15 D．—15 二、填空题 11. 若，则 ． 12. 如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为 .    13. 班里有6个同学去参加正、副班长的竞选，问有 种选法． 14. 在的展开式中，的系数为，则 ． 15.若，求 . 16.某实践团有4个男生､3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被选中的方法有 种. 17. 现有5张《飞驰人生2》连号的电影票，需要分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则不同分法的种数为 种. 18. 设，若，则 ． 三．解答题 19. 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 20. 现有3名高一学生，5名高二学生. (1)从中选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同的选法有多少种？ (2)若要从高一年级和高二年级中各选择一人作为国旗下讲话的主持人，则不同选法有多少种？ 21. 在20件产品中，有17件合格品和3件次品，从中任取3件．（列式并计算结果） (1)一件次品都没有的抽法有多少种？ (2)恰好抽到1件次品的抽法有多少种？ (3)至少抽到2件次品的抽法有多少种？ 22. 2名老师和4名同学站成一排拍照留念. (1)共有多少种不同的站法? (2)要求2名老师站在正中间，共有多少种不同的站法? (3)要求2名老师不相邻，共有多少种不同的站法? 23. 在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，求展开式中含的项的系数. 24. 已知的展开式中，末尾三项的二项式系数之和为22，求n. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $