专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样（B卷·能力提升）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第14个专题，内容为排列、组合、二项式定理与随机抽样。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1. 3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组，每人限报其中1个兴趣小组，则不同的报名方法种数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】因为3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组， 所以每人都有2种选择方法， 所以不同的报名方法种数为种. 故选：C. 2.若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】 排列数方程或不等式 【分析】根据排列数公式求解即可. 【详解】由，得，得， 所以或（舍去）． 故选：C. 3. 如图从村去村的道路有2条，从村去村的道路有4条，从村直达村的道路有3条，则从村去村的不同走法种数为（   ）    A．24 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意结合分类计数法及分步计数法即可得解. 【详解】由图可知，从村直达村的道路有3条； 经过村到村的道路有条， 所以共有条， 故选：. 4．某班有男生20人，女生18人，从中要选出男生、女生各2人，参加学校组织的志愿者活动，则不同的选法有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合意义理解 【分析】根据组合数定义及分步乘法计数原理列式即可. 【详解】第一步：从男生20人中选出2人的选法有：种， 第二步：从女生18人中选出2人的选法有：种， 则总的选法有：种. 故选：B 5. 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，若甲站在最左边，则不同的站法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】A 【知识点】排列数的计算、全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排特殊元素“甲”，再排剩下三人即可. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，甲站在最左边， 所以甲的位置固定，排乙、丙、丁三人即可， 不同的站法有种. 故选：A. 6. 如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据分类加法计数原理和组合数的运算，求解即可. 【详解】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有种， 从甲村到乙村再到丙村的走法有种， 所以从甲村到丙村的走法共有种， 故选：D. 7. 下列各式中，展开式含有常数项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】可先求解二项式的通项，再根据常数项令求解即可. 【详解】设二项式， 则该二项展开式的通项为：， 由得， ∴n必须是3的整数倍，n可以是6. 故选：B. 8. 某班有50名学生，其中有一名正班长，一名副班长，现选派5人参加一个游览活动，其中至少有一名班长（正、副均可）参加，共有几种不同的选法，其中错误的一个是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据直接法和间接法由组合数的计算求解即可. 【详解】某班有50名学生，其中有一名正班长，一名副班长，现选派5人参加一个游览活动，其中至少有一名班长（正、副均可）参加， 直接法：一名班长或两名班长共有种选法，故A正确； 间接法1：先从50人抽取五人，再去除不含班长的抽取办法， 符合题意的共有种选法，故B正确； 间接法2：先从班长中选定一人，再从余下的49人中抽取4人， 再减去重复的情况，即不含班长的48人中任选3人， 符合题意的共有种选法，故D正确； 所以错误的为. 故选：C． 9.的二项展开式中，常数项是（   ） A．5 B．8 C．6 D． 【答案】C 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项展开式的通项公式得，再由的指数为求出的值，再代回通项公式即可求解. 【详解】设第项是常数项，由公式， 得 ， 故当，即时， 二项式的第3项为常数项， 即． 故选：C. 10. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据平均数的公式和方差的计算公式逐个计算即可. 【详解】，， ，， 解法一：（高教版） ， ， ， ， 所以数据中方差最大的一组是， 解法二（人教版） ， ， ， ， 所以数据中方差最大的一组是， 故选：D. 二．填空题 11.若，则 ． 【答案】3或5 【知识点】组合数方程或不等式 【分析】由组合数公式计算即可 【详解】因为，所以或，解得或． 故答案为：或. 12.某班同学分5个小组参加植树活动，此活动5个小组的植树棵数的数据如下：（单位：株），若这组数据的平均数是5，则 ． 【答案】5 【知识点】平均数的概念与计算 【分析】根据题意，结合平均数的计算，即可求解. 【详解】∵这组数据的平均数是5， ∴，解得． 故答案为：5. 13.的展开式中，二项式系数之和为 . 【答案】32 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和为计算即可求解. 【详解】因为中， 所以二项式系数之和为. 故答案为：32. 14. 若二项式的展开式中的系数是320，则实数 ． 【答案】2 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意写出二项展开式的通项公式，求出值，结合题意列出方程即可得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因为展开式中的系数是320，令，解得， 则，解得， 故答案为：. 15. 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有 种不同的走法． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的计数问题 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理计算即可. 【详解】由题意可知，从甲地到丙地的路线可以分为两类， 若经过乙地到达丙地， 由从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走， 可知共种不同的走法， 若经过丁地到达丙地， 由从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走， 可知共种不同的走法， 共种不同的走法， 故答案为：. 16. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ． 【答案】2880 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、全排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】将4名女生看成一个整体，再进行全排列即可得解. 【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种， 再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种， 故不同的排法种数有种， 故答案为：． 17.二项式的展开式中含的项为 ． 【答案】 【知识点】组合数的计算、求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据题意可求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，进而求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，即， 所以二项式的展开式中含的项为 ， 故答案为：. 18. 已知的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中的第4项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】根据二项式展开式的通项公式以及奇数项二项式系数之和公式，即可求解. 【详解】由题意知的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和为128， 即，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 三．解答题 19.已知二项式． (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项找指定项的二项式系数或系数. 【详解】（1）的展开式的通项是． 展开式的第四项的二项式系数为：． （2）根据（1）中二项展开式的通项得： 展开式的第四项的系数为：． 20.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． (1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)15种. (2)120种. (3)74种. 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（）根据题意结合分类计数原理即可得解. （）根据题意结合分步计数原理即可得解. （）根据题意结合分类计数原理及分步计数原理即可得解. 【详解】（1）高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成， 选其中1人为学生会主席，选法有（种）． （2）每年级选1人为校学生会常委，选法有（种）． （3）选出不同年级的两人参加市里组织的活动， 选法有（种）． 21. 安排6名志愿者去做A，B，C三项不同的工作，每项工作需要2人. (1)求不同的安排方案种数； (2)由于工作需要，甲、乙二人必须做同一项工作，丙、丁二人不能做同一项工作，求不同的安排方案种数. 【答案】(1)90种 (2)12种 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】（1）用组合数公式及分步计数原理求解； （2）由条件分为三组，然后再排列即可. 【详解】（1）先从6人中选2人去做A工作，再从剩余的4人中选2人去做B工作，则剩下的2人就去做C工作. ∴不同的安排方案种数为种. （2）∵甲、乙二人必须做同一项工作，∴甲、乙二人为一组， ∵丙、丁二人不能做同一项工作， ∴丙与剩下的2人中挑选1人为一组，丁与剩下的1人为一组， ∴不同的安排方案种数为种. 22.甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 【答案】(1)；；（对应人教版）；；（对应高教版）； (2)甲比乙稳定. 【知识点】计算几个数的平均数、极差、方差、标准差的概念与计算、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数及方差的计算公式可求解； （2）根据方差表示的含义可得结果. 【详解】（1）由题可知 ； ； 解法一（对应人教版）： ； ； 解法二（对应高教版）： ； ； （2），甲比乙稳定. 23.已知的展开式中第5项是240. (1)求与的值； (2)求展开式中第二项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式的第k项、根据二项式的第k项求值 【分析】（1）根据展开式中第5项，结合展开式的通项公式求解即可； （2）由（1）得到的二项式，求解展示式的第二项即可； 【详解】（1）因为的展开式中第5项， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以展开式的第二项为， 当时，； 当时，； 所以展开式中第二项为. 24. 已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在常数项，为 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和 【分析】（1）赋值法令代入二项式，根据求得的系数和等于256，即可求得. （2）根据二项式的通项式，将的指数设为零，即可求得常数项. 【详解】（1）对于二项式，其各项系数之和可通过令来求解， 即， 解得. （2）的展开式通项为， 令，得到. 此时. 所以存在常数项，为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第14个专题，内容为排列、组合、二项式定理与随机抽样。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题14 排列、组合、二项式定理与随机抽样 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题 1. 3名同学分别报名参加学校的音乐兴趣小组、美术兴趣小组，每人限报其中1个兴趣小组，则不同的报名方法种数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 2.若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3. 如图从村去村的道路有2条，从村去村的道路有4条，从村直达村的道路有3条，则从村去村的不同走法种数为（   ）    A．24 B．11 C．9 D．7 4．某班有男生20人，女生18人，从中要选出男生、女生各2人，参加学校组织的志愿者活动，则不同的选法有（   ） A． B． C． D． 5. 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，若甲站在最左边，则不同的站法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 6. 如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 7. 下列各式中，展开式含有常数项的是（    ） A． B． C． D． 8. 某班有50名学生，其中有一名正班长，一名副班长，现选派5人参加一个游览活动，其中至少有一名班长（正、副均可）参加，共有几种不同的选法，其中错误的一个是（　　） A． B． C． D． 9.的二项展开式中，常数项是（   ） A．5 B．8 C．6 D． 10. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A． B． C． D． 二．填空题 11.若，则 ． 12.某班同学分5个小组参加植树活动，此活动5个小组的植树棵数的数据如下：（单位：株），若这组数据的平均数是5，则 ． 13.的展开式中，二项式系数之和为 . 14. 若二项式的展开式中的系数是320，则实数 ． 15. 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有 种不同的走法． 16. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ． 17.二项式的展开式中含的项为 ． 18. 已知的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中的第4项是 ． 三．解答题 19.已知二项式． (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数． 20.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． (1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 21. 安排6名志愿者去做A，B，C三项不同的工作，每项工作需要2人. (1)求不同的安排方案种数； (2)由于工作需要，甲、乙二人必须做同一项工作，丙、丁二人不能做同一项工作，求不同的安排方案种数. 22.甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 23.已知的展开式中第5项是240. (1)求与的值； (2)求展开式中第二项. 24. 已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $