专题43 讲义 二项式定理、离散型随机变量及其分布、二项分布 - 江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块8的第43个专题：二项式定理、随机变量及其分布。本专题涵盖二项式定理、离散型随机变量及其分布、二项分布等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题43 二项式定理、随机变量及其分布 知识点一 二项式定理 1. 二项式定理：对于任意实数a，b和任意正整数n，有：. 二项展开式：式子右边称为二项展开式. 二项式系数：称为二项式系数. 通项：式子中的第项称为二项展开式的通项，记作，即. 2. 二项式系数的性质： 知识点二 离散型随机变量及其分布 1. 随机变量：随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，这个变量的取值就是随机的，我们把这个变量称为随机变量，一般地，随机变量用大写字母X，Y，···表示，或希腊字母，表示. 2 离散型随机变量：随机试验中所有可能得取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 3. 概率分布和分布列：离散型随机变量的取值及其对应的概率的全体称为离散型随机变量的概率分布，把概率分布列成的表格称为离散型随机变量的分布列. 4. 离散型随机变量的分布列的性质： (1). ； (2). ； 5. 离散型随机变量的均值(或期望值)：若离散型随机变量所有可能得取值为，且各个取值所对应的概率分别为，则称：为离散型随机变量的均值(或期望值) 6. 离散型随机变量的方差：. 知识点三 二项分布 1. n次独立重复试验：在相同条件下重复地做n次试验，每次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验. 独立重复试验的基本特征： (1). 每次试验在相同的条件下进行； (2). 每次试验中的事件是相互独立的； (3). 每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生. 2. 二项分布： 如果在一次试验中，事件A发生的概率是P，则它不发生的概率，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为：，设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，于是得到的分布列为： 把上述概率分布称为二项分布，也说离散型随机变量服从参数为n，p的二项分布，记作， 二项分布的均值(期望)：. 二项分布的方差：. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．(2025年高考真题T09)展开式中的常数项为60. ·············································（A B） 二、选择题 2．(2024年高考真题T16)二项式的展开式中含的项的系数为（     ） A． B．30 C． D．60 3．(2019年高考真题T17)展开式中各项系数之和为（     ） A．1 B． C． D． 三、填空题 4．(2023年高考真题T23)二项式的展开式中，常数项是__________. 5．(2022年高考真题T23)若，则__________. 6．(2021年高考真题T21)在的展开式中，含项的系数为__________. 7．(2020年高考真题T231)在的展开式中，常数项是__________. (用数字作答) 8．(2018年高考真题T21)展开式中含项的系数为__________. 四、解答题 9．(2025年高考真题T30)一个箱子中有6个白球，4个红球. (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸3次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 10．(2023年高考真题T30)某地客户甲通过网络平台下单向水果商乙购买一箱草莓，并约定两天内收货(不含下单当天)，乙在A、B两家快递公司中选择一家派送，对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达该地的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下： 快递公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以评率代替概率. (1)通过数据分析，说明乙应该选择哪家快递公司更好； (2)双方约定，每延迟一天收货，乙需赔偿甲50元，假设乙选择A快递公司，求乙赔偿金额的分布列. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．的二项展开式中，各项的系数之和与各项的二项式系数之和不相等. ·····················（A B） 2．若二项式的幂指数n是偶数，那么它展开式中间两项的二项式系数最大并且相等. ····（A B） 3．的展开式的二项式系数之和为256. ·······························································（A B） 二、单选题 4．已知随机变量服从二项分布，则（     ） A． B． C． D． 5．某试验每次成功的概率为,重复进行次该试验,则恰好有次试验未成功的概率为（     ） A． B． C． D． 6．展开式中，含项的系数为（     ） A． B． C． D． 7．二项式的奇数项二项式系数和是64，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．的二项展开式的第6项为（    ） A． B． C． D．252 9．若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则此展开式共有（     ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 10．展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第项 B．第n项 C．第项与第项 D．第n项与第项 11．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 14．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 15．展开式中的第4项为 . 16．的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 17．的展开式中，二项式系数之和为 . 18．二项式展开式中，含项的系数为 .（用数字作答） 19．的展开式中常数项是 （用数字作答）． 20．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x y 已知，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是江西省2026年三校生对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的模块8的第43个专题：二项式定理、随机变量及其分布。本专题涵盖二项式定理、离散型随机变量及其分布、二项分布等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 江西省2026年“三校生”对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题43 二项式定理、随机变量及其分布 知识点一 二项式定理 1. 二项式定理：对于任意实数a，b和任意正整数n，有：. 二项展开式：式子右边称为二项展开式. 二项式系数：称为二项式系数. 通项：式子中的第项称为二项展开式的通项，记作，即. 2. 二项式系数的性质： 知识点二 离散型随机变量及其分布 1. 随机变量：随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，这个变量的取值就是随机的，我们把这个变量称为随机变量，一般地，随机变量用大写字母X，Y，···表示，或希腊字母，表示. 2 离散型随机变量：随机试验中所有可能得取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 3. 概率分布和分布列：离散型随机变量的取值及其对应的概率的全体称为离散型随机变量的概率分布，把概率分布列成的表格称为离散型随机变量的分布列. 4. 离散型随机变量的分布列的性质： (1). ； (2). ； 5. 离散型随机变量的均值(或期望值)：若离散型随机变量所有可能得取值为，且各个取值所对应的概率分别为，则称：为离散型随机变量的均值(或期望值) 6. 离散型随机变量的方差：. 知识点三 二项分布 1. n次独立重复试验：在相同条件下重复地做n次试验，每次试验只有两个可能的结果，并且每一次试验的结果发生的概率都不依赖于其他试验的结果，则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验. 独立重复试验的基本特征： (1). 每次试验在相同的条件下进行； (2). 每次试验中的事件是相互独立的； (3). 每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生. 2. 二项分布： 如果在一次试验中，事件A发生的概率是P，则它不发生的概率，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为：，设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，于是得到的分布列为： 把上述概率分布称为二项分布，也说离散型随机变量服从参数为n，p的二项分布，记作， 二项分布的均值(期望)：. 二项分布的方差：. 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．(2025年高考真题T09)展开式中的常数项为60. ·············································（A B） 【答案】A 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令，解得， 所以常数项为，所以结论正确，故选A. 二、选择题 2．(2024年高考真题T16)二项式的展开式中含的项的系数为（     ） A． B．30 C． D．60 【答案】D 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令，解得， 所以含项，即含项的系数为，故选D. 3．(2019年高考真题T17)展开式中各项系数之和为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】令得展开式中各项系数之和为，故选C. 三、填空题 4．(2023年高考真题T23)二项式的展开式中，常数项是__________. 【答案】240 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令，解得， 所以常数项为. 5．(2022年高考真题T23)若，则__________. 【答案】21 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】即为的系数，，所以. 6．(2021年高考真题T21)在的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令，解得， 所以含项的系数为. 7．(2020年高考真题T231)在的展开式中，常数项是__________. (用数字作答) 【答案】160 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令，解得，所以常数项为. 8．(2018年高考真题T21)展开式中含项的系数为__________. 【答案】84 【分析】本题考察二项式定理. 【详解】展开式的通项为，令得，所以含项的系数为. 四、解答题 9．(2025年高考真题T30)一个箱子中有6个白球，4个红球. (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸3次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 【答案】见解析 【分析】本题考察古典概型及随机变量的分布列和期望. 【详解】(1)设摸两个球，恰好有一个红球为事件A，则. (2)每次摸球摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，设摸到红球的个数为X，则X的取值为0，1，2，3，，，，，所以摸到红球的个数的分布列为： X 0 1 2 3 P 该分布符合二项分布，所以摸到红球的个数的期望. 10．(2023年高考真题T30)某地客户甲通过网络平台下单向水果商乙购买一箱草莓，并约定两天内收货(不含下单当天)，乙在A、B两家快递公司中选择一家派送，对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达该地的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下： 快递公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以评率代替概率. (1)通过数据分析，说明乙应该选择哪家快递公司更好； (2)双方约定，每延迟一天收货，乙需赔偿甲50元，假设乙选择A快递公司，求乙赔偿金额的分布列. 【答案】见解析 【分析】本题考察古典概型及随机变量的分布列和期望. 【详解】(1)选择哪家快递公司的标准为下单后两天内收到货的频率更高，A快递公司两天内收货的频率为，B快递公司两天内收货的频率为，所以乙选择A快递公司更好. (2)的取值为0，50，100，，，， 所以乙赔偿金额的分布列为： 0 50 100 P 0.59 0.21 0.2 一、是非选择题(正确的选A，错误的选B) 1．的二项展开式中，各项的系数之和与各项的二项式系数之和不相等. ·····················（A B） 【答案】B 【分析】先令求出系数之和，再利用二项式系数之和的结论得出各项的二项式系数之和为. 【详解】令，则展开式中各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，二者 相等，所以结论错误，故选B. 2．若二项式的幂指数n是偶数，那么它展开式中间两项的二项式系数最大并且相等. ····（A B） 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质进行判断. 【详解】如果二项式的幂指数n是偶数，则展开式有项，那么它的展开式正中间一项的二项式系数最大，所以结论错误，故选B. 3．的展开式的二项式系数之和为256. ·······························································（A B） 【答案】A 【分析】根据二项式系数之和的计算公式计算即可. 【详解】令得的展开式的二项式系数和为，所以结论正确，故选A. 二、单选题 4．已知随机变量服从二项分布，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率计算求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布，则，故选D. 5．某试验每次成功的概率为,重复进行次该试验,则恰好有次试验未成功的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的应用即可得解. 【详解】在n次独立重复试验中,若在一次试验中事件A发生的概率是p，则它不发生的概率，于是事件A恰好发生次的概率为，根据题意，恰好有3次试验未成功，即有7次成功的概率，故选B. 6．展开式中，含项的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】的通项公式，令，则，则含项为，则含项的系数为，故选B. 7．二项式的奇数项二项式系数和是64，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式奇数项的二项式系数和为求解. 【详解】二项式的展开式中，奇数项的二项式系数和为，，解得，故选C. 8．的二项展开式的第6项为（    ） A． B． C． D．252 【答案】D 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】二项展开式的第6项为，故选D. 9．若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则此展开式共有（     ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先写出的展开式的通项公式，再根据第3项与第8项的二项式系数相等，求出n，进而可知此展开式的项数. 【详解】的展开式的通项公式为，第3项与第8项的二项式系数相等，即， 所以，所以此展开式共有10项，故选B. 10．展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第项 B．第n项 C．第项与第项 D．第n项与第项 【答案】D 【分析】根据二项展开式中二项式系数的性质即可求解. 【详解】展开式中有项，所以展开式中间两项的二项式系数最大，第项和第项的二项式系数最大，故选D. 11．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意,利用二项式展开式即可求解. 【详解】令得二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为,因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以，，故选C. 12．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目所给的条件，利用独立重复试验概率公式列出不等式即可求出范围. 【详解】因为在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率， 所以，解得，又因为，所以，故选A. 13．位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立重复试验概率的计算公式求解. 【详解】因为质点P移动五次后位于点，所以质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点. 相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为，故选B. 三、填空题 14．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 【答案】10 【分析】利用二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，即展开式的正中间一项为第6项，所以其展开式共有11项，所以. 15．展开式中的第4项为 . 【答案】 【分析】利用二次项定理的第k项计算公式：，代入即可求解. 【详解】. 16．的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】70 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为． 17．的展开式中，二项式系数之和为 . 【答案】32 【分析】根据二项式系数和为计算即可求解. 【详解】因为中，所以二项式系数之和为. 18．二项式展开式中，含项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】先将展开式的通项写出来，再计算含项的系数即可. 【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，即，所以含项的系数为. 19．的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】15 【分析】利用二项式定理，找到对应项x的指数为0时的系数，即可求解. 【详解】展开的通项公式为，令，解得， 所以常数项为. 20．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P x y 已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质及期望的公式列方程组求解. 【详解】由题意知，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $