精品解析：浙江省绍兴鲁迅中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2024年绍兴鲁迅中学高二数学 姓名___________班级___________学号___________ 一、单选题 1. 两平行直线和之间的距离为（　　） A. B. 2 C. D. 3 2. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点为坐标原点，且，则（ ） A. 36 B. C. 6 D. 4. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D. 点C和点G到平面AEF的距离相等 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（       ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 三、填空题 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则___________． 13. ，其中，，则二元函数的最小值为_________ 14. 已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________. 四、解答题 15. 如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 16. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 18. 如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH. （1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积. 19. 已知两条直线， （1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； （2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； （3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年绍兴鲁迅中学高二数学 姓名___________班级___________学号___________ 一、单选题 1. 两平行直线和之间的距离为（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意，两平行直线间的距离为. 故选：A 2. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】如图，连接， 则， ， , 所以. 故选：C 3. 已知点为坐标原点，且，则（ ） A. 36 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，求出的值，再利用模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 又，解得， 所以， 则， 所以． 故选：. 4. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离. 【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量， 在平面上任取一点，则， 点到平面距离 故选：A. 5. 直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得，从而可得，联立两条直线的方程即可求交点坐标. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故直线即为， 直线即为. 由，解得， 则这两条直线的交点坐标为. 故选:A. 6. 无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解. 【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为． 故选：D． 7. 已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 8. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D. 点C和点G到平面AEF的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，假设直线与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾； 对于B，的中点，连接，利用面面平行的判定可得平面平面，再由面面平行的性可得结论； 对于C，连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得截面判断即可； 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，然后分别利用等体积法求解判断即可. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，所以， 这不成立，所以假设错误，所以A错误. 对于B，的中点，连接，，， 因为E，F，G分别为，，的中点， 所以，，，，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以B正确． 对于C，如图所示，连接，延长，交于， 由选项可知，，因为，， 所以，，所以四点共面， 所以梯形为截面，所以C错误. 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，假设正方体边长为1． 因为， ， 所以，所以D错误. 故选：B. 二、多选题 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（       ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式和不等式即可求解D. 【详解】由直线，可得过定点， 动直线，可得恒过定点， 因为两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，此时, 所以A正确； 由于,又，所以，，故，当且仅当取等号，故B正确，C错误， 设到直线的距离为，由于，故，故最大值为，故D正确， 故选：ABD 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于， 可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 三、填空题 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合空间向量的运算求得正确答案. 【详解】因为为空间两两夹角都是的三个单位向量， 所以 . 故答案为： 13. ，其中，，则二元函数的最小值为_________ 【答案】7 【解析】 【分析】先将问题转化为动点到定点，，，距离的和，再利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：，，在由直线、、、围成的矩形区域内（含边界），如图所示： 因为 所以二元函数表示动点到定点，，，距离的和， 在矩形边界及内部任取点，连接，，，，， 于是有，当且仅当点在线段上时取等号， ，当且仅当点在线段上时取等号， 于是， 当且仅当点是线段与的交点时取等号， 又，所以直线为，即， 显然直线与轴的交点为在线段上，即当时，的最小值为7. 故答案为：． 14. 已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 四、解答题 15. 如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【小问1详解】 解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 【小问2详解】 解：因为分别为边和的中点， 所以 【小问3详解】 解： 16. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 17. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH. （1）在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积. 【答案】（1）存在，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的三线合一及线线垂直的性质定理，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的判定定理，结合面面平行的判定定理及面面平行的性质定理即可求解； （2）根据已知条件及线面垂直的判定定理，建立空间直线坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面BHC与平面BDA的法向量，利用向量的夹角公式及棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 存在点F满足题意，且，理由如下: 在图甲中，取B′C的中点M，连接AM，如图所示 因为AB'C是等边三角形， B′C的中点为M， 所以, 因为DH⊥B′C， 所以AM∥DH， 在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH， 所以AM∥平面BDH，且； 在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示 因为， 所以MF∥BH， 又因为平面BDH，平面BDH， 所以MF∥平面BDH， 又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF， 所以平面AMF//平面BDH， 又因为AF平面AMF， 所以AF∥平面BDH. 【小问2详解】 在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB⊂平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示 则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0）， 设，则， ，， 设平面BDA的法向量为则 ，即， 令，则，， 所以， 易知平面BHC的一个法向量 因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为， 所以， 化简整理得:， 所以，，， 所以B（，0，）， 所以三棱锥B-DCH的高为， 又因为底面积， 所以三棱锥的体积为. 19. 已知两条直线， （1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； （2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； （3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 【答案】（1）；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点A、B、P的坐标，利用两点间的距离公式和基本不等式即可求解； （2）根据题意求出与x轴的交点A坐标，与y轴的交点B坐标，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质即可求解； （3）当时求出、方程，设直线MN方程，联立方程求出点M坐标，联立方程求出点N坐标，结合图形和三角形面积公式可得，由k得范围即可求解. 【小问1详解】 由直线，令， 得，直线恒过定点， 则， 当且仅当时，最小值为9．此时直线； 【小问2详解】 由直线，知恒过定点， 分别与轴交于两点，且， 故， 又函数在上单调递增， 因为，故当时，面积； 【小问3详解】 由，可得，均恒过定点， 设直线，由； ，设直线交轴于点，而, 则 ， 又，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $