【解题模型】专题35带电粒子在立体空间中的运动-2026高考物理

专题35带电粒子在立体空间中的运动 模型总结 模型1 带电粒子的旋进运动 1 模型2 带电粒子在立体空间中的偏转 18 模型1 带电粒子的旋进运动 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面（图中未画出）。一个电子由O点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度逐渐减小 C．电子的初速度v0只需大于即可 D．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过Q点 【答案】D 【详解】A．电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入正交的匀强磁场和匀强电场中，电子先向下偏转，电子所受的电场力向上，则电子所受的洛伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B．电子由P点至Q点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐增大，故B错误； C．根据配速法，将电子初速度分解为水平向右的速度、，使其满足，， 则在最低点P时，水平向右，水平向左，合速度向左，则需满足点，即 解得，故C错误； D．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子初始时将向上偏转，质子的轨迹与电子的轨迹关于过初速度方向的水平线轴对称，粒子的轨迹仍然能过Q点，故D正确。 故选D。 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）利用电场和磁场控制带电粒子的运动是现代电子设备的常见设计。如图所示，两水平正对放置的平行金属板MN和PQ之间存在竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为B、垂直纸面的匀强磁场（未画出）。两金属板的板间距为。质量为2、速度为v0、带电荷量为+q的粒子甲和质量为、速度为、带电荷量也为+q的粒子乙先后从M、P连线的中点O处沿两平行金属板中轴线进入电场，甲粒子恰好沿轴线射出金属板，乙粒子恰好从MN板右侧的N点射出。两粒子均可视为质点，不计粒子重力、粒子间作用力。下列说法正确的是（    ） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．电场强度的大小为 C．乙粒子从N点射出时，速度大小为，方向与MN的夹角为30° D．金属板的长度可能为 【答案】BD 【详解】A．甲粒子恰好沿轴线射出金属板，可知甲受到的电场力与洛伦兹力等大反向，由于甲受到的电场力竖直向下，则洛伦兹力竖直向上，由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向里，故A错误； B．对甲粒子有 解得，故B正确； C．对乙粒子，根据动能定理有 联立解得粒子在N点的速度 乙粒子的运动可分解为速度大小为的匀速圆周运动和水平向右、速度大小为的匀速直线运动，如图所示 根据速度的合成与分解可知，乙粒子从N点射出时的速度方向与MN的夹角为，故C错误； D．乙粒子做圆周运动转过一周前从N射出，则在磁场中转过的角度为 乙粒子在磁场中做圆周运动的周期 乙粒子在磁场中做圆周运动的半径 则金属板的长度，故D正确。 故选BD。 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图，平面直角坐标系的区域内有沿轴负方向的匀强电场，是平行于轴的磁场边界，与轴间、与间距离均为与轴间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在间有垂直坐标平面向里的匀强磁场II，在右侧的区域III有沿轴负方向的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场组成的叠加场，区域I、II中磁场的磁感应强度大小均为，区域III中磁场的磁感应强度大小为，一个质量为、电荷量为的带正电粒子在第三象限内的点沿与轴正方向成角的方向斜向上射出，粒子刚好从点沿轴正方向进入磁场，粒子恰好不进入磁场II，区域III中电场的电场强度大小为，不计粒子的重力。 (1)粒子在点射出时的初速度大小。 (2)将区域的磁场的磁感应强度大小改为，求粒子在区域、中运动的总时间。 (3)在（2）问中，以粒子通过时为时刻，则粒子进入区域III后，速度最小时对应的时刻和离轴最远时与轴的距离分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设粒子在点的初速度大小为，则粒子经过点时的速度 粒子在磁场中做圆周运动的半径，根据牛顿第二定律有 解得 （2）将区域I中磁场的磁感应强度大小改为，设粒子在区域I中做圆周运动的半径为，则 粒子在磁场II中做圆周运动的半径，轨迹如图 设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角为，则 解得 设粒子出磁场II时，速度与轴正方向的夹角为，根据几何关系 解得 根据 可得粒子在区域、II中运动的周期分别为 因此粒子在区域、II中运动的总时间 （3）粒子刚进入区域III时，将粒子的速度沿轴正方向和轴正方向分解，则， 由于， 即 因此粒子进入区域III后的运动可以看成是沿轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做逆时针方向的匀速圆周运动的合运动，粒子做匀速圆周运动分运动的周期 则粒子圆周运动方向的速度沿x轴负方向时在区域III中的速度最小，时刻为 粒子做匀速圆周运动分运动的半径为 解得 则粒子在区域III中离轴距离最远的距离，由几何关系可得 4．（25-26高二上·山东·期中）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为水平方向上两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动的向心力。设带电小球的质量为、电量为，磁感应强度为（范围无限大），重力加速度为，小球由静止开始下落，则以下说法正确的是（　　） A．、两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为 【答案】BCD 【详解】A．在水平方向上带电小球受力平衡，则有 求得水平速度为 竖直面内匀速圆周运动半径为 周期为 、两点间距离为，故A错误； B．小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，则小球的机械能守恒，故B正确； C．小球下落的最大高度为，故C正确； D．小球在水平面内是匀速直线运动，竖直面内是匀速圆周运动，小球的加速度大小恒为，故D正确。 故选BCD。 5．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）如图,质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力）以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，经过该区域中的点的速率为，此时竖直方向侧移量为，若，则（　　） A．带电粒子在点的速率为 B．带电粒子的加速度大小恒为 C．若，粒子从射入该区域到点所用时间至少为 D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 【答案】BC 【详解】A．粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，根据动能定理得 解得，故A错误； B．将粒子进入叠加场的初速度看成是两个水平向右分速度、的合成,其中分速度满足 解得 另一分速度满足 则粒子在电磁场中的运动可分解为以水平向右做匀速直线运动和以做匀速圆周运动,其中以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力,可知粒子运动过程受到的合力大小为 根据牛顿第二定律可知带电粒子的加速度大小为，故B正确； C．粒子以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若,可知粒子从射入该区域到点所用时间至少为，故C正确； D．粒子的合速度为分速度与的合成,其中的大小方向均保持不变,的大小不变,方向时刻发生改变,当方向与方向相反时,粒子的合速度最小,则有 可知粒子受到的洛伦兹力最小值为零,而粒子受到的电场力保持不变，故D错误。 故选BC。 6．（25-26高二上·北京西城·期中）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为ν的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 【答案】D 【详解】A．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则 解得两板间电场强度的大小为，不符合题意，故A错误； B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，做曲线运动，速度有竖直分量，据左手定则水平方向会受洛仑兹力，故水平方向上不会做匀速运动，故B错误； C．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 整理得到，故C错误； D．由题意，乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大，为，洛伦兹力与电场力的合力提供向心力 所以对应圆周的半径为，故D正确。 故选D 。 7．（2025·陕西西安·模拟预测）xOy空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为B；电场方向为y轴正向，电场强度为E，一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O以初速度v0沿y轴正向发射，其运动轨迹如图所示。不计重力，则（　　） A．粒子向y轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大 B．粒子能到达的最低点距x轴距离为 C．运动过程中粒子的最大速度为 D．运动过程中粒子的最大速度为 【答案】D 【详解】A．正电荷向y轴正向上运动，沿电场方向运动，电场力做正功，电势能减小，故A错误； B．如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足qv1B=qE，即v1引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平衡，得 则粒子的运动可以分解成由v1引起的沿x轴正方向的匀速直线运动，和由v2引起的在xOy平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子能到达的最低点距x轴距离 解得，故B错误； CD．粒子实际的运动就是这两个分运动的合运动，当两个分运动的速度均沿x轴正方向时，粒子的合速度最大，，故C错误，D正确。 故选 D。 8．（24-25高二下·湖北孝感·月考）如图所示，直线边界PQ下方存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的小球，带正电q，从边界上a点静止释放，之后沿曲线经时间t到c点（图中c点未画出）时速度达到最大值v，不计空气阻力，有关小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球最终将原路返回a点 B．小球到c点时，速度v沿水平方向 C．小球离开直线边界的最远距离为 D．小球由a点运动到c点的过程中，洛伦兹力冲量大小为 【答案】BD 【详解】BC．根据配速法，小球的运动可看成是水平向右的匀速直线运动和竖直平面内的匀速圆周运动，所以， 由于初始时，小球速度为零，所以 小球达到最大速度时，有 方向为水平向右，最远距离为，故B正确，C错误； A．小球的运动为摆线运动，最终将不会原路返回a点，故A错误； D．小球由a点运动到c点的过程中，根据动量定理可得洛伦兹力冲量大小为，故D正确。 故选BD。 9．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第二象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，上边界y＝0.25m，下边界如图中虚线所示，电场强度大小E＝4V/m；第四象限同时存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向里的磁场，电场强度大小也为E，磁感应强度大小为，其中k＝4T/m。在P（-1m，0）处有一粒子源，以v0=4m/s速度均匀地向x轴上方各个方向发射粒子，粒子电荷量q＝+8×10-6C，质量m＝1×10-6 kg。过P点有一圆形匀强磁场区域，能使占比粒子平行于x轴射入电场，经电场偏转后，全部通过原点O进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求： (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）； (2)圆形磁场的半径和磁场强度大小； (3)粒子从O点进入第四象限时，其速度方向与x轴正方向所成夹角的范围；粒子在第四象限运动的过程最大速率。 【答案】(1)y＝x2 （y≤0.25） (2)R=m，B1=3T (3)0°~ 45°，vm＝ 8m/s 【详解】（1）粒子在电场中的加速度m/s2 x方向﹣x＝v0t y方向y＝ 解得 y＝ （y≤0.25） （2）由几何关系可知 可得 由 解得 （3）从Q点射入电场的粒子，到达O点时＝ ＝ 得 ， 速度与x轴夹角在0°~ 45° 水平方向动量定理 即 由动能定理 得ym=0.5m，vm=8m/s 10．（2025·甘肃白银·三模）如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，的区域内有方向沿纸面且与x轴正方向成角斜向上的匀强电场；的区域内有一个半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心在x轴上且边界与y轴相切，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从x轴负半轴上的A点由静止开始沿AO方向做直线运动，通过O点时的速度大小为v，此时在圆形区域内立刻加上方向竖直向上、电场强度大小的匀强电场，带电小球经圆形磁场偏转后继续运动到磁场右侧的最高点P。此时在过P点的竖直虚线右侧区域内同时加上方向竖直向上、电场强度大小也为的匀强电场和方向沿纸面且与x轴正方向成角斜向下、磁感应强度大小也为的匀强磁场。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计。求： (1)的区域内的电场强度大小E以及A、O两点间的距离L； (2)小球从O点运动到P点经过的总时间t； (3)从小球到达P点开始，经时间，小球的位置与P点间的距离d。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球从A点由静止开始沿AO方向做直线运动，则，， 解得，。 （2）由，可知小球在圆形区域中做匀速圆周运动，设小球在磁场中的偏转角为α，根据牛顿第二定律得，其中，又因为 解得，； 小球在圆形区域中运动的时间； 小球经圆形区域偏转后运动到最高点P的过程可看成平抛运动的逆过程，则 解得 小球从O点运动到P点经过的总时间 （3）又由，根据运动的合成与分解，可知小球通过P点后做螺旋线运动，沿磁场方向以的速率做匀速运动，在与磁场垂直的方向以的速率做匀速圆周运动 轨道半径； 周期 由于 由几何关系可知，小球的位置与P点间的距离 解得 模型2 带电粒子在立体空间中的偏转 1.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理 －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0 qBx＝mvy1－mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 11．（25-26高三上·天津滨海新·开学考试）如图所示，边长为L=0.9m的正方体OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度，方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度E=1.0N/C，方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为q=1.0×10−12C的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J的动能，并从O1点沿y轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取π2=10。 (1)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小； (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C1点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 【答案】(1)正极；10V (2)4.5×10−14kg (3) 【详解】（1）由题可知，正电的粒子在M、N间做加速运动，则M、N间的电场方向向右，故M板带正电，根据动能定理可得 代入题中数据，解得加速电场的电压 （2）由题可知，粒子进入正方体空间的速度，粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用，因此粒子在O1A1C1D1平面内做匀速圆周运动，粒子从C1点离开，则粒子做圆周运动的半径需满足 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 代入题中数据，解得 （3）由题可知，粒子进入复合场的速度 结合上述分析可知 故 故如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中旋转了，则 粒子在磁场中运动时间 粒子沿z轴的加速度 速度 位移 粒子从前表面射出时的坐标为，， 粒子出正方体空间后，做匀速直线运动，则有 粒子运动到xOy平面的位置坐标， 故粒子运动到xOy平面的位置坐标为 12．（2025·四川成都·模拟预测）空间中水平方向存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B已知，建立空间直角坐标系如图所示。一已知质量为m、电荷量为q的带正电小球在此空间运动，且速度大小恒定不变，已知重力加速度为g。 (1)若小球仅在xOz平面内运动，求此时小球运动的速度大小； (2)在（1）的情况下，若小球经过坐标原点O时，撤去磁场，求小球再次回到x轴时沿x方向的位移大小； (3)若某一时刻撤去电场，已知此后该小球在空间运动过程中的最大动能为其初始动能（即电场刚要撤去时的动能）的1.5倍，试求电场刚要撤去时小球的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做匀速直线运动，则电场、磁场和重力场对其作用力的合力为0，即，解得速度大小为 （2）撤去磁场后，小球在平面内做类平抛运动，设沿轴的方向位移为，速度方向与轴正方向夹角为，小球加速度为，则有， 沿速度方向，小球做匀速直线运动 垂直于速度方向，小球做匀加速直线运动 解得 （3）撤去电场后，小球受重力和洛伦兹力做一般曲线运动，撤去电场前，小球做匀速直线运动，水平方向的洛伦兹力与电场力平衡，即，即，解得 方向的洛伦兹力与重力平衡，即，解得 因此初动能为 撤去电场后，利用配速法，轴方向的洛伦兹力仍平衡重力，所以小球沿轴做匀速直线运动。 使小球做匀速圆周运动，当方向与轴同向时，合速度最大，动能最大，此时有 联立解得 13．（2025·广东·模拟预测）如图所示，边长为0.8m的立方体的底面中心处有一点状放射源S，可在abcO平面内向各个方向发射比荷为的带正电的粒子，所有带电粒子的速率均为。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场B，使所有该种粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内，再在正方体内施加竖直向上的匀强电场，使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，不计粒子重力及粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从S点到P点过程中速度大小不变 B．匀强磁场的磁感应强度 C．在电场强度为某一可能值的情况下，所有粒子在立方体内运动时间均相同 D．所加匀强电场的电场强度E的最大值为 【答案】CD 【详解】A．加上电场后，所有粒子在水平方向仍做匀速圆周运动，竖直方向做匀加速直线运动，所以粒子从S点到P点过程中合速度一直增大，A错误； B．由几何关系得粒子在磁场中运动半径 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则 解得，B错误； C．在电场强度为某一可能值的情况下，竖直方向上所有粒子均做匀加速直线运动，所以其在立方体内运动时间均相同，C正确； D．粒子做圆周运动的周期 要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍，电场强度E有最大值时，粒子的运动时间最短：一个周期 可得 ，D正确。 故选CD。 14．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，下列说法错误的是（　　） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．与的比值保持不变 D．该离子的加速度大小保持不变 【答案】C 【详解】A．电场力的瞬时功率为，故A正确； B．由于与磁场平行，则根据洛伦兹力的计算公式可知该离子受到的洛伦兹力大小为，故B正确； C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，在磁场方向做加速运动，则增大，不变，的比值不断增大，故C错误； D．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子受到的合力大小不变，该离子的加速度大小保持不变，故D正确。 本题选择错的，故选C。 15．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，绝缘粗糙的竖直墙壁MN右侧一定宽度区域内，同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，方向水平向左，磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为的带电小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开墙壁，之后恰好从边界处D点以速度水平向右飞出。已知A、C两点间距离为，C、D间高度差为，不计空气阻力，忽略边界效应，则（    ） A．小滑块运动至A、C中点时受到4个力的作用 B．小滑块与墙壁的动摩擦因数一定小于 C．小滑块运动过程中克服摩擦力做功 D．边界到MN距离为 【答案】BCD 【详解】A．小滑块运动至A、C中点时受到重力、墙壁的向上的摩擦力、墙壁的支持力、电场力和洛伦兹力，共5个力的作用，A错误； B．开始时小滑块能沿竖直墙壁下滑，则， 可得小滑块与墙壁的动摩擦因数，B正确； C．小滑块从C点离开墙壁时 可知运动过程中克服摩擦力做功，C正确； D．从C到D由动能定理 解得边界到MN距离为，D正确。 故选BCD。 16．（25-26高二上·浙江·期中）如图所示，真空中有圆柱体回旋加速器，处在竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，圆柱体金属盒的半径为R，高度为H，两盒狭缝间接有电压为U的交变电场，在加速器上表面圆心A处静止释放质量m，电量的粒子，粒子从加速器底部边缘引出，不计带电粒子的重力、相对论效应及粒子间的相互作用。则（　　） A．粒子每转过半圈动能增加qU B．粒子引出时速度大小为 C．增大狭缝间电压U，粒子仍从加速器底部引出 D．粒子的运动时间为 【答案】D 【详解】A．粒子每转过半圈，交变电场做功qU，竖直向下的匀强电场也要做功，其动能增量要大于qU，A错误； B．粒子引出时水平方向速度为，竖直方向也有速度，合速度要大于，B错误； C．粒子在运动过程中，周期不变，每隔相同的时间就加速一次，增大狭缝间电压U，每加速一次得到的动能增大，整个过程的运动时间是确定的（D选项的解析），粒子到底部时的速度比原来增大，实际上的情况是速度提前到达原来的最大值，可提前引出，C错误； D．研究粒子在竖直方向运动，， 解得 ，D正确； 故选D 。 17．（2025·广东·模拟预测）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度 由类平抛运动的规律得， 又有比荷 解得 （2）根据题意，由动能定理可得 解得 （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 周期 从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足 联立可得 18．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【答案】BD 【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向做匀加速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x轴方向的分速度相等，均为 甲粒子在轴方向的分速度 根据几何关系 可得 乙粒子以最短时间到达（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 在Ⅰ区域运动的时间 沿着正方向，根据运动学公式 解得乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量为 乙粒子进入Ⅱ区域后，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 可得，故B正确，C错误； AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据 可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时轴坐标均为零，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间 甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 联立解得，故D正确，A错误。 故选BD。 19．（25-26高三上·云南·阶段练习）如图，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，MN和PQ两条竖直分界线把第一象限分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，其中区域Ⅰ中分布着水平向右的匀强电场（大小未知）和垂直于xOy向里的匀强磁场（大小未知），区域Ⅱ中仅分布着与区域Ⅰ相同的匀强电场，区域Ⅲ中分布着与区域Ⅰ相同的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（大小与区域Ⅰ相等）。一质量为m、电荷量为q（q>0）可视为质点的小球从O点进入区域Ⅰ中恰好做匀速直线运动，已知小球的初速度大小为，方向与x轴正方向夹角为。小球经M 点进入区域Ⅱ，然后从P点恰好沿x轴正方向进入区域Ⅲ。已知区域Ⅰ的宽度为L，重力加速度大小为g，忽略磁场的边界效应。求： (1)电场强度E和磁感应强度B的大小； (2)小球在区域Ⅰ、Ⅱ中运动的总时间t； (3)小球进入区域Ⅲ后，再次经过PQ线时离x轴的距离Y。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）在区域Ⅰ，小球做匀速直线运动，由受力平衡可知 解得， （2）在区域Ⅰ，小球水平方向做匀速直线运动，可知 解得 在区域Ⅱ，小球竖直方向只受重力，竖直方向有 解得 故小球在区域Ⅰ、区域Ⅱ运动的总时间 解得 （3）在区域Ⅱ，小球水平方向只受电场力，水平方向有， 解得 在区域Ⅲ， 所以 解得 在区域Ⅰ易知，M点到x轴的距离 在区域Ⅱ，设P、M两点的高度差为，小球在竖直方向做匀减速直线运动 解得 根据几何关系可知小球再次经过PQ线时到x轴的距离 20．（25-26高三上·山西长治·开学考试）如图所示，在空间直角坐标系中区域存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小，该区域同时存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小。有一质量、电荷量的带电粒子从轴上的点以初速度沿轴正方向射入复合场（重力不计），点坐标为（单位：m）。 (1)求粒子刚进入复合场0.2s内运动的位移； (2)若仅撤去磁场，求粒子在电场中运动0.2s时粒子所处的位置坐标。 【答案】(1)1.0m，方向沿轴正方向 (2)（）（单位m） 【详解】（1）刚进入复合场时，粒子受到的静电力 方向沿轴负方向， 粒子受到的洛伦兹力 由左手定则可以判断洛伦兹力方向沿轴正方向， 所以粒子受力平衡做匀速直线运动， 所以粒子刚进入复合场0.2s内发生的位移 方向沿轴正方向 （2）撤去磁场后，粒子只受静电力，所以有 解得，方向沿轴负方向， 所以粒子在平面内做类平抛运动，0.2s内粒子在方向发生的水平位移，方向沿轴正方向， 在方向上发生的竖直位移 方向沿轴负方向， 所以此时粒子的位置坐标满足， 解得， 所以此时粒子坐标为（单位m）。 21．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）如图甲为研究光电效应的装置示意图，图乙为垂直于磁场的截面，P为竖直放置足够大且接地、逸出功为的金属板，其右侧分布有磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里匀强磁场；分界面CD与板P平行且相距为R构成区域Ⅰ，该区域存在一方向竖直向下的匀强电场（未画出），电场强度大小为；Q为足够长且接地、半径为R的金属圆筒，其轴线与磁场方向平行，轴心O距板P的距离为3R。当频率的入射光照射到板P右表面时，表面各点均逸出大量速率不同、沿空间各个方向运动的电子。已知电子电量为e、质量为m，普朗克常量为h，板P和筒Q始终不带电，忽略相对论效应，不计电子重力和电子之间相互作用： (1)求从金属板P表面逸出电子的最大速度； (2)若仅考虑乙图截面内直线运动通过区域Ⅰ的电子，求截面内圆筒Q表面有电子打击的区域所对应的最大圆心角θ； (3)求空间内直线运动通过区域I且打在圆筒Q表面的电子，运动全过程沿磁场方向的最大位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属板P发生光电效应，则有 解得 （2）电子在叠加场中匀速直线运动，则有 圆周运动半径为 如图，轨迹与圆筒外切，有 可得 轨迹与圆筒内切则打到圆筒最右端，则截面内圆筒Q表面有电子打击的区域所对应的最大圆心角 （3）沿磁场方向速度分量为 在区域Ⅰ直线运动分运动时间为 如图，圆周分运动与圆筒相切，则有 则有 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题35带电粒子在立体空间中的运动 模型总结 模型1带电粒子的旋进运动. 模型2带电粒子在立体空间中的偏转 18 模型1带电粒子的旋进运动 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着 条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着 变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以 把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或静电力，或重力 和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复 杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 把初速度0分解为一个向左的速度，和一个向右 BG摆线：初速度为0，有重力 的速度v。 8 ××× x ↑F洛=Bq ×××××× G=mg BE摆线：初速度为O, 不计重力 + 把初速度0分解为一个向左的速度和一个向右 XXXX 的速度v。 E 第1页共16页 ↑F格=Bq% F电=Eq 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度和一 BEG摆线：初速度为O,有重力 个斜向右上方的速度v。 X×XXxxx Fx=Bqv E XXXXX×× ngE mgt__ BGv摆线：初速度为o,有重力 把初速度o分解为速度v,和速度y2。 XX××××x ↑F洛=Bq 2x-x-x70x xx ×B米X× ××××XXX ××××××× G=mg 1.(25-26高二上·辽宁大连·期中)如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场， 己知电场强度大小为E,方向竖直向下，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面（图中未画 出)。一个电子由O点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P 分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是() A.磁感应强度方向垂直纸面向外 B.由P点至Q点的运动过程中，电子的速度逐渐减小 2 C.电子的初速度只需大于B即可 D.如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过Q点 2.(25-26高三上·河北秦皇岛·月考)利用电场和磁场控制带电粒子的运动是现代电子设备 的常见设计。如图所示，两水平正对放置的平行金属板MN和PQ之间存在竖直向下的匀强 电场和磁感应强度大小为B、垂直纸面的匀强磁场（未画出）。两金属板的板间距为 d=3m,出 80。质量为2m,、速度为、带电荷量为+9的粒子甲和质量为m,速度为2。、带 第2页共16页 电荷量也为+q的粒子乙先后从M、P连线的中点O处沿两平行金属板中轴线进入电场，甲粒 子恰好沿轴线射出金属板，乙粒子恰好从MN板右侧的N点射出。两粒子均可视为质点，不 计粒子重力、粒子间作用力。下列说法正确的是() M E ⊙ A.磁场的方向垂直纸面向外 B.电场强度的大小为BVo C.乙粒子从N点射出时，速度大小为'o,方向与MN的夹角为30° 3V5+4元mo D.金属板的长度可能为 6gB 3.(25-26高三上·湖南·开学考试)如图，平面直角坐标系xOy的x<0区域内有沿y轴负方 向的匀强电场，M、N是平行于y轴的磁场边界，M与y轴间、M与N间距离均为L,M与 y轴间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I,在M、N间有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ， 在N右侧的区域Ⅱ有沿y轴负方向的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场组成的叠 加场，区域1、Ⅱ中磁场的磁感应强度大小均为g区域Ⅲ中磁场的磁感应强度大小为2B, 一个质量为m、电荷量为9的带正电粒子在第三象限内的P点沿与x轴正方向成45°角的方 向斜向上射出，粒子刚好从O点沿x轴正方向进入磁场I,粒子恰好不进入磁场Ⅱ，区域Ⅲ 中电场的电场强度大小为E-V3gBL,不计粒子的重力。 4m 第3页共16页 M ●】 + ● ● ● × ● × × 。。}×× E (I)粒子在P点射出时的初速度大小。 (2)将区域，的磁场的磁感应强度大小改为 B,求粒子在区域1n中运动的总时间。 (3)在(2)问中，以粒子通过N时为t=0时刻，则粒子进入区域Ⅲ后，速度最小时对应的 时刻和离x轴最远时与x轴的距离分别是多少？ 4.(25-26高二上·山东·期中)带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为水平方向的 匀速直线运动和竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为水平 方向上两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡， 水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球匀速圆周运动的向心力。设带电小球的质量为m、 电量为+9，磁感应强度为B(范围无限大)，重力加速度为g,小球由静止开始下落，则以 下说法正确的是() 龙××××××× 八××××× X义× ×。 πmg A. M、N 两点间的距离为 92B2 B.小球在运动过程中机械能守恒 2mg C.小球下降的最大高度为 92B2 D.小球的加速度大小恒为 g 5.(25-26高二上·贵州六盘水·期中)如图，质量为m、电荷量为9的带正电粒子（忽略粒子 重力)以速度%沿OO方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀 2E 强磁场。，经过该区域中的。点的速率为y。，此时竖直方向侧移量为。，若%= B D B，则( 第4页共16页 ) →X --X- X---米-X0 2gEs A.带电粒子在点的速率，为 + p m gE B.带电粒子的加速度大小恒为 m mE 元m C.若S= 9B2, 粒子从射入该区域到。点所用时间至少为29B D.粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 6.(25-26高二上·北京西城期中)如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向 里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为、电荷量均 为+q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为y的甲粒子恰好做匀 速直线运动：速率为)的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达 轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在)和》之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线 2 分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆 周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( B A.两板间电场强度的大小为 B.乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 mv C.乙粒子偏离中轴线的最远距离为24B 第5页共16页 9mv D.乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为24B 7.(2025·陕西西安·模拟预测)xOy空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方 向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为B;电场方向为y轴正向，电场强度为E,一质量 为m,电荷量为g(q>0)的粒子从坐标原点O以初速度v沿y轴正向发射，其运动轨迹如 图所示。不计重力，则( A.粒子向y轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大 m E B.粒子能到达的最低点距x轴距离为 gB B + E2 C.运动过程中粒子的最大速度为 +好 /E2 B2+G D.运动过程中粒子的最大速度为。+ 8.(24-25高二下·湖北孝感月考)如图所示，直线边界PQ下方存在垂直纸面向内的匀强磁 场，磁感应强度大小为B。质量为m的小球，带正电9，从边界上a点静止释放，之后沿曲线 经时间t到c点（图中c点未画出）时速度达到最大值v,不计空气阻力，有关小球的运动， 下列说法正确的是() a × X----X A.小球最终将原路返回a点 B.小球到c点时，速度v沿水平方向 C.小球离开直线边界的最远距离为d=mg gB D.小球由a点运动到c点的过程中，洛伦兹力冲量大小为I=Vmgt)+(mv) 第6页共16页 9.(2025江苏南京·模拟预测)如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy,其第二象限 内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，上边界y=0.25m,下边界如图中虚线所示，电场强度 大小E=4V;第四象限同时存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向里的磁场，电场 强度大小也为E,磁感应强度大小为B=k|y川，其中k=4Tm。在P(-1m,0)处有一粒子 源，以v4m/s速度均匀地向x轴上方各个方向发射粒子，粒子电荷量q=+8×10℃，质量m 2 =1×I0kg。过P点有一圆形匀强磁场区域，能使占比3粒子平行于x轴射入电场，经电场 偏转后，全部通过原点O进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求： ↑/m Q 0.25 P(-1,0) x/m × ×× B E ×× (1)写出匀强电场边界OQ段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）： (2)圆形磁场的半径和磁场强度大小； (3)粒子从O点进入第四象限时，其速度方向与x轴正方向所成夹角的范围：粒子在第四象限 运动的过程最大速率。 10.(2025·甘肃白银·三模)如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，x<0的区域内有方向 沿纸面且与x轴正方向成8=60°角斜向上的匀强电场；x>0的区域内有一个半径为R的圆 形匀强磁场区域，圆心在x轴上且边界与y轴相切，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向里， 磁感应强度大小B= V3mv 3R·一个质量为m、电荷量为9的带正电小球（视为质点）从x轴负 半轴上的A点由静止开始沿AO方向做直线运动，通过O点时的速度大小为v,此时在圆形区 第7页共16页 域内立刻加上方向竖直向上、电场强度大小E,-3的匀强电场，带电小球经圆形磁场偏转 后继续运动到磁场右侧的最高点P。此时在过P点的竖直虚线右侧区域内同时加上方向竖直 向上、电场强度大小也为E。=ms 的匀强电场和方向沿纸面且与x轴正方向成日=60~角斜 向下、磁感应强度大小也为B=V3mv 的匀强磁场。已知重力加速度大小为g,空气阻力不计。 3gR 求： P (1)x<0的区域内的电场强度大小E以及A、O两点间的距离L; (2)小球从O点运动到P点经过的总时间： (3)从小球到达P点开始，经时间4M=V3πR 小球的位置与P点间的距离d。 2v 模型2 带电粒子在立体空间中的偏转 1.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m,电荷量为十9。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小 为B的匀强磁场中运动。粒子速度为，所受洛伦兹力为F,且重力不计。如图建立直角坐 标系。 第8页共16页 沿两轴方向的洛伦兹力分力F=qy,B Fy=gv B 两个方向分别列动量定理 -qy,B△t=m△y qyB△t=m△y 即-gB△y=m△V qB△x=m△y, 两边累加得一gBy=mvx1一mvxo gBx=mvs-mvsoo 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移（可能需要借助动能定理获得），通过列出与 之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 11.(25-26高三上·天津滨海新·开学考试)如图所示，边长为L=0.9m的正方体 OACD-OA,CD,空间中存在磁感应强度B=TT,方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度 3 E=1.ON/C,方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为 q=1.0×102℃的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得E=1.0×10J的动能，并从O, 点沿y轴正方向进入正方体空间。己知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取 元2=10。 MN C BE (I)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小： (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m2×1014kg,求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 12.(2025·四川成都·模拟预测)空间中水平方向存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电 场强度E和磁感应强度B已知，建立空间直角坐标系如图所示。一已知质量为、电荷量为 第9页共16页 9的带正电小球在此空间运动，且速度大小恒定不变，已知重力加速度为g。 个2 g B (I)若小球仅在xOz平面内运动，求此时小球运动的速度大小： (2)在(1)的情况下，若小球经过坐标原点O时，撤去磁场，求小球再次回到x轴时沿x方向 的位移大小； (3)若某一时刻撤去电场，已知此后该小球在空间运动过程中的最大动能为其初始动能（即电 场刚要撤去时的动能)的1.5倍，试求电场刚要撤去时小球的动能。 13.(2025·广东·模拟预测)如图所示，边长为0.8m的立方体的底面中心处有一点状放射源 S,可在abc0平面内向各个方向发射比荷为9-5.0x10Ckg的带正电的粒子，所有带电粒 子的速率均为v=5.0×10°/s。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场B,使所有该种粒子 恰好能束缚在正方形αbcO区域内，再在正方体内施加竖直向上的匀强电场，使所有粒子刚好 都能从上表面中心P离开，不计粒子重力及粒子间的作用力，下列说法正确的是() A.粒子从S点到P点过程中速度大小不变 B.匀强磁场的磁感应强度B=1T C.在电场强度为某一可能值的情况下，所有粒子在立方体内运动时间均相同 D.所加匀强电场的电场强度E的最大值为 5x10°V1m π2 14.(25-26高三上·河北沧州期中)如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电 场强度大小为E,磁感应强度大小为B。电荷量为9的正离子在此电场和磁场中运动，某时 第10页共16页