第一章空间向量与立体几何单元卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x=(　　) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ的值为(　　) A. B. C. D. 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,若点F是侧面CC1D1D的中心,且+m-n,则m,n的值分别为(　　) A.,- B.-,- C.- D. 4.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于(　　) A.2 B.1 C.13 D.26 5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为3,CA=CB=4,∠ACB=,点D,E分别在AA1,B1C1上,F为AB的中点,若CD⊥FE,则线段AD的长度为(　　) A. B. C. D. 7.如图,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,M是AB的中点,PC与平面ABCD成30°角,则的值等于(　　) A.1 B.2 C. D. 8.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),沿直线y=x把平面直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.已知u,v是两个不共线的向量,若a=u+v,b=3u-2v,c=2u+3v,则a,b,c共面 B.若a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.若A(1,0,0),B(0,1,0),则与向量同向的单位向量为e=-,0 D.在三棱锥O-ABC中,若侧棱OA,OB,OC两两垂直,则底面三角形ABC是直角三角形 10.已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是(　　) A.=-2 B.cos<>=- C.点O到直线BC的距离为 D.O,A,B,C四点共面 11.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=6,AB=BC=AC=6,E为PA的中点,D,F分别在AC,PB上,且AD∶CD=PF∶BF=2∶1,则(　　) A.PA⊥BC B.AB∥平面DEF C.点C到平面DEF的距离是 D.平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E为BD上一点,BE=3ED,以{}为基底,则=　 .  13.如图,在正四面体A-BCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为　　　　　.  14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点. (1)求证:D1F⊥平面ADE; (2)求平面A1C1D与平面ADE的夹角的余弦值. 16.(15分)(2025·高考综合改革适应性演练,19)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点. (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. ①证明:平面PAC⊥平面ABC; ②求球O的半径. (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值的最小值. 17.(15分)如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E,F分别为棱BC,AD的中点.求: (1)异面直线AB与EF所成角的余弦值; (2)点E到平面ACD的距离. 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA的中点. (1)求证:PC∥平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为,求PA的长度. (3)若PA=2,线段PC上是否存在一点F,使AF⊥平面BDE?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由. 第1章 空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.B 由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 2.C 由a,b,c共面,知存在m,n∈R,使c=ma+nb,即解得 3.A 由于)=,故m=,n=-.故选A. 4.A 设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z), 则所以 取x=1,则y=4,z=, 于是n=是平面ABCD的一个法向量, 所以h==2. 5.C 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. 不妨设AA1=2AB=2,则C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,0,1),D1(0,0,2), 所以=(0,-1,1),=(0,-1,2),所以cos<>=. 所以异面直线BE与CD1所成角的余弦值为. 6.B 由于ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ACB=,所以以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0). 则C(0,0,0). 由CA=CB=4,可得F(2,2,0). 设E(0,b,3),D(4,0,c),则=(4,0,c),=(-2,b-2,3). ∵CD⊥FE,∴=0,即-8+3c=0,解得c=,∴AD=,故选B. 7.C 取AD的中点O,连接OP. 由题意知OP⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以OP⊥平面ABCD. 以O为原点,OD所在直线为x轴,过点O,平行于DC的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,a),C(a,2b,0),于是=(a,2b,0),=(a,2b,-a). ∵OP⊥平面ABCD, ∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角. ∴cos∠PCO==,解得b=a. ∴. 8.C 如图,分别作AC,BD垂直直线y=x于点C,D, 则由等腰直角三角形的性质可得|AC|=|OC|=2,|BD|=|OD|=4,即|CD|=6. 若沿直线y=x把直角坐标系折成120°的二面角, 则=()2=+2+2+2=4+36+16+2||||cos<>, 因为二面角的大小为120°,所以<>=60°,代入上式可得=64, 所以||=8,即AB的长度为8,故选C. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.ABC 选项A,假设a,b,c共面,则存在实数m,n,使c=ma+nb, 即解得故c=a-b, 故a,b,c共面,故A正确; 选项B,∵a∥b,∴a,b与任何向量都共面,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,故B正确; 选项C,=(-1,1,0),||=,所以=-,0, ∴与向量同向的单位向量为-,0,故C正确; 选项D,∵OA,OB,OC两两垂直,∴=()·()=>0, ∴<>为锐角,即∠BAC为锐角,同理,∠ABC,∠ACB为锐角, ∴△ABC为锐角三角形,故D错误. 10.ABC ∵=(0,1,2),=(2,0,-1),∴=-2,故A正确; cos<>==-,故B正确; ∵=(1,2,2),=2×1+0×2+(-1)×2=0,∴,又||=, ∴点O到直线BC的距离为,故C正确; 假设O,A,B,C四点共面,则共面, 设=x+y(x,y∈R),则此方程组无解, ∴O,A,B,C四点不共面,故D错误. 11.ACD 因为PA=PB=PC=6,AB=BC=AC=6,所以PA2+PB2=AB2,PA2+PC2=AC2,PB2+PC2=BC2,所以PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC. 以P为原点,以PB,PC,PA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz如图所示. 则P(0,0,0),A(0,0,6),B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,4,2),E(0,0,3),F(4,0,0),=(0,0,6),=(-6,6,0),=(6,0,-6),=(4,-4,-2),=(4,0,-3). 因为=0,所以PA⊥BC,故A正确; 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z), 则取x=3,则y=1,z=4, 于是m=(3,1,4)是平面DEF的一个法向量. 因为·m=6×3+0-6×4=-6≠0,所以AB与平面DEF不平行,故B错误;因为=(0,-6,3),所以点C到平面DEF的距离d=,故C正确; 设平面ABC的法向量为n=(x1,y1,z1), 则取x1=1,则y1=1,z1=1,于是n=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量,所以cos<m,n>=,故D正确. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. - )==-. 13. 不妨设正四面体A-BCD的棱长为4,则=()·=0,同理,=0.因为, ,所以cos<>=.所以直线DE和BF所成角的余弦值为. 14.2或 ∵AB与CD成60°角,∴<>=60°或<>=120°. 又AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB, ∴||= = = =. 当<>=60°时,||==2; 当<>=120°时,||=. ∴BD的长为2或. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点. (1)求证:D1F⊥平面ADE; (2)求平面A1C1D与平面ADE的夹角的余弦值. 16.(15分)(2025·高考综合改革适应性演练,19)在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,其中P为动点. (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. ①证明:平面PAC⊥平面ABC; ②求球O的半径. (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值的最小值. 17.(15分)如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E,F分别为棱BC,AD的中点.求: (1)异面直线AB与EF所成角的余弦值; (2)点E到平面ACD的距离. 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA的中点. (1)求证:PC∥平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为,求PA的长度. (3)若PA=2,线段PC上是否存在一点F,使AF⊥平面BDE?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $