【山东专用】45分钟综合训练卷（4）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一上册》（高教版）教材1-4章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则是的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，可得，再根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】由，可得或，即或， 因为， 所以，但，即是的充分不必要条件. 故选：A 2．设是任意两个非零向量，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得，满足必要性， 反之，即,则，，满足充分性， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：B. 3．已知向量，，，若，则实数 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 又因为， 所以，解得． 故选：A． 4．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是 (　　) A．垂直 B．同向共线 C．反向共线 D．以上都可能 【答案】A 【分析】作向量与的数量积计算即可得答案. 【详解】因为， 又因为， 所以， 所以与之间的关系是垂直. 故选：A. 5．设是椭圆的两焦点，是椭圆上任意一点，则面积的最大值为 (　　) A．12 B．24 C．25 D．40 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质，易得当点B为椭圆短轴的顶点时，面积的最大，继而求解. 【详解】因为是椭圆的两焦点， 所以， 即， 设点B到x轴的距离为d， 则， 所以当点B到x轴的距离最大时，面积的最大， 即当点B为椭圆短轴的顶点时，面积的最大， 此时， . 故选：A. 6．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程，根据直线与椭圆有两个公共点，则有，进而求的取值范围. 【详解】∵直线与椭圆有两个公共点， 联立方程， 整理得， 则有 解得的取值范围：. 故选：C. 7．过抛物线的焦点做直线交抛物线于，两点，如果线段中点到轴距离是，那么 (　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由抛物线方程得到的值，再由中点横坐标得到的值即可求出. 【详解】由抛物线方程可知： ，且焦点在轴正半轴上， 设，，则，， 线段中点到轴距离即， 即，则. 故选：C. 8．已知平面与平面平行，直线，直线，则直线与的位置关系是 (　　) A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间内两直线的位置关系，即可判断求解. 【详解】因为平面α与平面β平行，所以， 又直线，直线，所以不相交， 故直线m与n平行或异面，如下图所示： 故选：C. 9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论不正确的是 (　　) A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为 D．与是异面直线 【答案】C 【分析】利用题设条件画出示意图，根据异面直线的垂直判定、直线与平面的线面角逐个判断选项. 【详解】 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角， 如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC， 因为为正方形，则，， 所以为直二面角的平面角，故， 选项A：因为，平面AOC， 平面AOC，又平面AOC，，故A正确. 选项B：因为，所以，所以是等边三角形，故B正确. 选项C：因为，，且平面BCD， 平面BCD，是AB与平面BCD所成的角的平面角，为，故C 错误. 选项D：由图可知，AB与CD是异面直线，故D正确. 故选：C. 10．如图，在三棱锥，中分别是边的中点，且，那么四边形是 (　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线结论可得且，可得四边形是平行四边形.由可得，所以四边形是菱形. 【详解】在中，E，F分别是边AC，CD的中点， 所以且. 在中，G，H分别是边BD，AB的中点， 所以且. 故且. 所以四边形是平行四边形. 同理，，且， 故， 所以四边形是菱形. 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．已知向量，若，则_______________． 【答案】B 【分析】先根据向量的坐标的线性运算求得，再根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由，又， 所以， 则. 故答案为：. 12．已知向量，且向量的夹角为钝角，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据向量的夹角为钝角得且不共线，再由向量内积的坐标表示列不等式求解即可. 【详解】已知向量， 由向量的夹角为钝角得，且不共线， 即，解得且， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是_________________． 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线求得，结合的关系即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以. 因为，则. 故答案为：. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，则线段_________________． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】 由椭圆可知，，，从而， 所以，. 在直角中，结合椭圆的定义， 可得， 解得. 故答案为： 15．如图所示，已知正方体，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_____________． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面，平面， 所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面, 平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当为何值时，. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据数量积的计算法则计算. (2)根据向量垂直的充要条件求解. 【详解】(1)，，与的夹角是， 则， 即有 ； (2)由 可得， 即， 即， 解得. 则当k为时，. 17．(10分)已知双曲线的标准方程为 (1)求此双曲线的渐近线方程和离心率. (2)以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点做抛物线，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与此抛物线交于两点，求弦的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据双曲线的标准方程求出，再分别计算出渐近线方程和离心率即可. (2)先求出抛物线方程，然后与直线方程联立，最后运用韦达定理结合焦半径公式求出的长度. 【详解】(1)已知双曲线的标准方程为， 可得， 即， 所以渐近线方程为，离心率. (2)因为双曲线右顶点，即抛物线焦点为， 所以抛物线开口向右且 所以方程为 直线倾斜角为即斜率为1，又过焦点 所以直线方程为， 联立，消去y得 根据韦达定理可得 设 . 18．(15分)已知正方体，为底面的中心．求证： (1)平面平面； (2)求直线与所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)在正方体中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证. (2)异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解. 【详解】证明：(1)在正方体中，，且， 所以四边形为平行四边形，则，同理. 平面，平面；所以平面， 同理平面，且， 所以平面平面. (2)∵， ∴是直线与所成角， ∵， ∴， ∴直线与所成角为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（4） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一上册》（高教版）教材1-4章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则是的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设是任意两个非零向量，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知向量，，，若，则实数 (　　) A． B． C． D． 4．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是 (　　) A．垂直 B．同向共线 C．反向共线 D．以上都可能 5．设是椭圆的两焦点，是椭圆上任意一点，则面积的最大值为 (　　) A．12 B．24 C．25 D．40 6．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 7．过抛物线的焦点做直线交抛物线于，两点，如果线段中点到轴距离是，那么 (　　) A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知平面与平面平行，直线，直线，则直线与的位置关系是 (　　) A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论不正确的是 (　　) A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为 D．与是异面直线 10．如图，在三棱锥，中分别是边的中点，且，那么四边形是 (　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．已知向量，若，则_______________． 12．已知向量，且向量的夹角为钝角，则的取值范围是___________． 13．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是_________________． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，则线段_________________． 15．如图所示，已知正方体，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_____________． 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当为何值时，. 17．(10分)已知双曲线的标准方程为 (1)求此双曲线的渐近线方程和离心率. (2)以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点做抛物线，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与此抛物线交于两点，求弦的长度. 18．(15分)已知正方体，为底面的中心．求证： (1)平面平面； (2)求直线与所成角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $