【山东专用】45分钟综合训练卷（3）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（3） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一上册》（高教版）教材1-4章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题正确的是 (　　) A．过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行同一条直线的两条直线平行 D．垂直同一条直线的两条直线平行 2．设，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知实数，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 5．已知，，两向量平行且方向相反，则 (　　) A． B． C． D． 6．设抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 (　　) A．4 B．6 C．8 D．10 7．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 (　　) A． B． C． D． 8．已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点，则椭圆的标准方程是 (　　) A． B． C． D． 9．已知，是两条不同直线，两个不同平面，则下列命题正确的是 (　　) A．若，垂直于同一平面，则与平行 B．若，平行于同一平面，则与平行 C．若，垂直于同一平面，则与平行 D．若，垂直于同一平面，则与垂直 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为 (　　) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．已知，，，则与的夹角为_______________． 12．已知点，，则与向量同方向的单位向量为_________________． 13．已知直线与椭圆 交于两点，则线段的中点坐标是______． 14．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_________________． 15．三棱锥中，面，，则二面角的平面角的大小是_____________． 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 17．(10分)已知双曲线C：的离心率为，实轴长为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数的值； 18．(15分)在正方体中，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二上学期《数学期末考点大串讲》 综合训练卷（3） 考试时间：45分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一上册》（高教版）教材1-4章。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个命题正确的是 (　　) A．过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行同一条直线的两条直线平行 D．垂直同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】利用空间中直线与平面的位置关系可判断. 【详解】选项A：过平面外一点，有无数条直线与已知平面平行，故A错误； 选项B：过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故B错误； 选项C：由平行线公理可知，平行同一条直线的两条直线平行，故C正确； 选项D：垂直同一条直线的两条直线平行、相交或异面，故D错误. 故选：C. 2．设，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分、必要条件结合一元二次不等式解法判断即可. 【详解】由，可解得， 因为，不能推出， 而，可以推出， 所以设，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知实数，则“”是“”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知信息对问题进行分析即可. 【详解】在已知实数的前提下,， 所以“"是""的充要条件. 故选：C 4．已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量模的坐标公式、向量内积的运算律和坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 故， 所以 . 故选：C. 5．已知，，两向量平行且方向相反，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两向量平行列式求出，再由方向相反确定的值即可. 【详解】因为，两向量平行且方向相反，， 可得，解得或， 当时，，，两向量方向相同，不满足题意， 当时，，，两向量方向相反，满足题意， 综上，. 故选：C. 6．设抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 (　　) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可求解. 【详解】由抛物线可知，准线方程为，且P在y轴的右侧， 因为点P到y轴的距离为2， 所以点P到抛物线准线的距离为4， 根据抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离为4. 故选：A 7．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的关系，求出的值，再根据双曲线的渐近线方程可求解. 【详解】由已知双曲线的焦距，即， 所以，解得，即双曲线方程为， 得到, 则其渐近线方程为. 故选：B 8．已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点，则椭圆的标准方程是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程求得焦点，结合椭圆的关系即可求解. 【详解】因为椭圆与双曲线共焦点，由双曲线得， 则椭圆及双曲线的焦点为. 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆过点，则. 由得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 9．已知，是两条不同直线，两个不同平面，则下列命题正确的是 (　　) A．若，垂直于同一平面，则与平行 B．若，平行于同一平面，则与平行 C．若，垂直于同一平面，则与平行 D．若，垂直于同一平面，则与垂直 【答案】C 【分析】由平面与平面的位置关系，可判断A，D错误；由直线与平面垂直，直线与平面平行的性质可判断B错误，C正确. 【详解】垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A，D错误； 平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误； 垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确. 故选：C 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在Rt中，，， 所以． 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．已知，，，则与的夹角为_______________． 【答案】 【分析】根据向量内积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 12．已知点，，则与向量同方向的单位向量为_________________． 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求得向量坐标，进而由平行向量与向量的模长公式求解即可. 【详解】因为点. 所以向量. 设单位向量为. 因为与向量同方向. 所以解得或. 当时，.此时与向量反向. 所以. 故答案为： 13．已知直线与椭圆 交于两点，则线段的中点坐标是______． 【答案】 【分析】将直线与椭圆方程联立，再利用韦达定理，即可求解. 【详解】设，， 联立，消y得，∴， ∴， ∴，， ∴线段AB的中点. 故答案为：. 14．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_________________． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义列出式子，解得答案. 【详解】设点的纵坐标为， 抛物线的准线为，焦点为， 由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等， 即， 解得， 故答案为：. 15．三棱锥中，面，，则二面角的平面角的大小是_____________． 【答案】 【分析】由面，则，所以是面角的平面角，从而得解. 【详解】 如图，∵面， ， 所以是面角的平面角. 由已知， 所以二面角的平面角的大小是. 故答案为： 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知，，且与的夹角为，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据向量内积的运算律和向量模长的计算公式，即可得解； (2)根据向量平行的条件列式即可得解. 【详解】解：(1)因为，，且与的夹角为， 所以， 所以 (2)因为向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以， 解得. 17．(10分)已知双曲线C：的离心率为，实轴长为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据双曲线的性质结合离心率公式和实轴长列出方程组即可解得. (2)将直线方程与双曲线进行联立，设出交点坐标，根据韦达定理和弦长公式即可解得. 【详解】解：(1)双曲线的离心率为，实轴长为2. 则由题意可得， 故双曲线C： (2)联立 因为直线被双曲线C截得弦长为， 设直线与双曲线交于点， 则， 根据弦长公式可得， 解得. 18．(15分)在正方体中，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用中位线和直线与平面平行的判定定理即可得证； (2)由直线与平面垂直的判定定理和性质定理即可得证. 【详解】解：(1)因为在正方体中， ，分别是，的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面． (2)连结，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由(1)可知，，所以， 同理可证，， 因为，平面， 所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $