专题3.2 直线与圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理直线与圆锥曲线位置关系的核心考点，涵盖判断、弦长、中点弦等五大模块，分椭圆、双曲线、抛物线三个知识点构建知识网络，用思维导图呈现考情规律与易错点，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，11类题型含例题与变式，如中点弦问题结合点差法与判别式验证，培养数学思维与规范表达能力。基础通关练、重难突破练满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，学生能自主掌握“设而不求”等思想，提升解题效率与数学素养。

专题3.2 直线与圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1、能熟练联立直线与椭圆、双曲线、抛物线方程，通过判别式Δ判断相交、相切、相离三种位置关系； 2、能处理直线斜率不存在的特殊情况 基础必考点，多以选择/填空形式出现，也常作为解答题第一问；高频易错点：遗漏直线斜率不存在的情况、未将方程化为标准形式就计算判别式 弦长问题求解 1、能熟练运用“设而不求”思想，结合韦达定理推导并应用弦长公式； 2、能区分焦点弦与普通弦，灵活处理斜率不存在时的弦长计算 高频考点，解答题核心得分点；命题趋势：常与椭圆、抛物线结合考查，偶尔涉及双曲线；易错点：弦长公式记错系数、未验证判别式Δ>0导致增解 中点弦问题求解 1、能运用点差法或韦达定理求解椭圆、双曲线、抛物线的中点弦方程； 2、能根据中点弦存在性验证参数范围 中档难度考点，选择/填空压轴题及解答题常考；高频易错点：使用点差法时忽略检验中点在曲线内部（椭圆/双曲线）或曲线上（抛物线）的条件 与位置关系相关的参数范围问题 1、能结合判别式、韦达定理、曲线自身范围、不等式性质等求直线斜率、截距或曲线参数的取值范围； 2、能规范书写推理过程 期末压轴题核心考点，分值占比高；命题趋势：多与椭圆、抛物线结合，常伴随最值问题综合考查；易错点：遗漏判别式限制条件、忽略曲线自身坐标范围导致范围扩大 与位置关系相关的面积最值问题 1、能根据弦长和点到直线的距离求解三角形（或四边形）面积； 2、能运用函数单调性、基本不等式等求面积的最值 高频压轴考点，解答题最后一问常见；核心思想：“设而不求”+“转化与化归”；易错点：距离公式应用错误、最值求解时未验证等号成立条件 定点、定值问题探究 1、能通过联立方程、韦达定理化简表达式，判断直线是否过定点、代数式是否为定值； 2、能规范完成探究性问题的论证过程 难点考点，部分地区期末压轴题会涉及；命题趋势：以抛物线、椭圆为载体考查；易错点：化简过程繁琐导致计算错误、未对特殊情况（如直线斜率为0）进行验证 知识点01 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． （3）共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． ·易错点：滥用点差法，未检验中点是否在圆锥曲线内部（椭圆、双曲线）或曲线上（抛物线），导致求出的中点弦实际不存在． 知识点02 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； ·易错点：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识点03 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. ·易错点：计算焦点弦长时，未结合对应圆锥曲线的焦点弦特有性质（如抛物线焦点弦性质），仍用普通弦长公式硬算，增加计算量且易出错． 题型一 直线与圆锥曲线位置关系判断 解｜题｜技｜巧 解题思路： ①联立直线与圆锥曲线方程，整理为标准一元二次方程； ②讨论二次项系数：时为一次方程，直线与双曲线抛物线可能有一个交点（非相切）；时计算判别式Δ； ③由Δ符号判断：Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0相离． 核心要点：需优先考虑直线斜率不存在的特殊情况，双曲线需区分单支与双支相交． 【例题1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】 【解析】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点.故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·青海西宁·月考）直线与椭圆（）的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条.故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得， 化简得， 令， 化简得，解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故， 故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点，故选：C 题型二 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 解｜题｜技｜巧 ①联立方程得标准一元二次方程； ②讨论二次项系数，结合Δ与位置关系的对应性建不等式； ③结合斜率存在性、曲线范围等条件求解不等式组． 核心要点：需全面考虑参数的隐含限制（如直线斜率不存在、曲线中a>0、b>0、p>0等），避免遗漏特殊情况导致范围偏差． 【例题2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部， 所以直线与椭圆必有公共点.故选：D 【变式2-1】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时， 则，解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·辽宁·期末）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】命题q：直线与抛物线无公共点， 把代入即无解，， 又命题p：，所以q是p的充分不必要条件.故选：A. 题型三 直线与圆锥曲线曲线相交弦长问题 解｜题｜技｜巧 1、普通弦长问题：①联立方程，用韦达定理求根与系数关系；②代入弦长公式（斜率存在/不存在分类使用）．计算前需验证Δ>0，确保弦存在；弦长公式需根据斜率是否存在灵活选择． 2、焦点弦长问题：直线过圆锥曲线的焦点，求焦点弦长；或利用焦点弦性质求解相关参数 优先用曲线定义转化距离，再结合韦达定理或焦点弦特有机理计算． 【例题3】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故，故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长，故选： 【变式3-2】（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则， 故弦的长度为.故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为5，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【解析】由抛物线：上一点到其准线的距离为5， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，则焦点． 因为，则直线：．设点，． 由消去得， 则，．又， 所以．故选：B． 题型四 圆锥曲线的中点弦问题 易｜错｜点｜拨 1、点差法滥用致错：未检验中点是否在圆锥曲线内部（椭圆/双曲线）导致求出的中点弦实际不存在； 2、斜率考虑不全面：忽略直线斜率不存在的特殊情况，遗漏垂直于x轴的中点弦． 【例题4】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上， 则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即.故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, ，则.故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为.故选：A. 题型五 圆锥曲线中长度/距离最值问题 解｜题｜技｜巧 距离最值：转化为单变量函数或利用几何意义求解； 弦长最值：结合弦长公式转化为斜率的函数，用单调性或基本不等式求最值． 注意：需结合曲线自身范围限制变量取值，确保最值在合理范围内． 【例题5】（23-24高二上·河南·月考）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式5-1】（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 点到直线的距离， 由题意可知，， 化简得：，即曲线的方程为：； （2）设点到直线的距离为，因为，所以， 所以， 因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为， 所以， 当点三点共线时，取得最小值， 且最小值为点到直线的距离，即为：， 所以的最小值为. 【变式5-2】（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为，所以，则， 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则， ， 整理得， 又，代入得，故， 所以总在定直线上，又, 而过且与该直线垂直的直线为， 由可得两条直线的交点为， 而，故交点在抛物线内部， 故的最小值为到直线的距离， 即的最小值为. 【变式5-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上， 设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离 ； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 题型六 圆锥曲线面积最值问题 解｜题｜技｜巧 1、建立面积表达式（底×高/2）； 2、用韦达定理表示弦长和距离，转化为单变量函数求最值． 注意：合理选择底和高，简化计算；验证基本不等式等号成立条件． 【例题6】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 【变式6-1】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. (1)求的方程； (2)若点为线段的中点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）当的方程为时，，则，， 故为等边三角形，则，解得， 则，故的方程为. （2）设点的坐标为，，， 由题意知：直线斜率存在且不为，设直线的方程为：（）， 联立，消得，且， 故， 故，所以， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为. 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·月考）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 【变式6-3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8；(2)32 【解析】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 题型七 圆锥曲线中参数范围探究 解｜题｜技｜巧 已知直线与曲线的位置关系、弦长、面积等条件，求直线斜率、截距或曲线参数的取值范围． 解题思路：①联立方程，用Δ≥0建不等式；②结合韦达定理、弦长/面积条件转化为代数不等式；③结合曲线范围求解不等式组． 【例题7】（24-25高二上·北京西城·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题知解得 所以，C的方程为． （2）由椭圆的定义可知， 设点，其中，则， 所以， 因为，所以，即 当且仅当时，，时，， 因为，则，所以． 综上所述，的取值范围是． 【变式7-1】（23-24高二上·江苏泰州·月考）已知椭圆：的右焦点为离心率为 (1)若求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，半焦距，离心率，则， 所以椭圆的方程为. （2）由与联立消去，得， 设，则， 由原点在以为直径的圆上，得， 由分别为线段的中点，为中点，得， 则四边形为平行四边形，，又， 于是，即 整理得，由，得， 即，因此，解得， 所以的取值范围是. 【变式7-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【变式7-3】（2025·山东济南·模拟预测）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵等轴双曲线E过点， ①若E的焦点在x轴上，不妨设，代入，可得， ∴， ②若E的焦点在y轴上，不妨设，代入，可得，不符题意， 综上所述，. （2）设，，，， 联立可得， ∴，，解得， ∴，， 显然双曲线E的渐近线方程为，不妨设C为直线：与直线l的交点， 联立可得，同理， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围为. 题型八 圆锥曲线中的定点问题 解｜题｜技｜巧 判断动直线是否过定点，或求出定点坐标（动直线通常含参数，如斜率k、截距m） 解题思路：①设动直线方程，联立曲线方程化简；②整理为参数恒成立形式；③令参数系数为0求定点，验证特殊情况． 【例题8】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，则， 当直线平行于轴时，，联立，则， 故，解得，则， 即椭圆的方程为； （2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点， 且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为， 由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则， 且两直线斜率存在，设， 联立，消去得， ，即， 有、， 则， 由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，则 ， 故直线过定点. 【变式8-1】（24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点的坐标为. 【解析】（1）由题知，，化简得.解得， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设，则， 联立 消去整理得， 所以， 所以， 又直线的斜率， 所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【变式8-2】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点． 【解析】（1）因为动点到定点的距离比它到直线的距离小， 所以动点到直线的距离与到点的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为，所以，则， 所以曲线的方程为． （2）由题意知直线的斜率存在，设，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，，． 所以 ， 又，所以，即， 即直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点． 题型九 圆锥曲线中的定值问题 解｜题｜技｜巧 探究代数式（如斜率之积、斜率之和、向量数量积）是否为定值，与动直线/动点的位置无关． 解题思路：①设动点/动直线，联立曲线方程得韦达定理关系；②代入代数式化简，消参判断是否为常数． 【例题9】（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知，，为坐标原点，动点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)，是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析，. 【解析】（1）设点，由，得， 即， 则，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）设， ， 则，由（1）知， ， 因此，， 所以为定值，该定值为. 【变式9-1】（2025·四川南充·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由的面积为，得，解得， 由点在椭圆上，得，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 由，消去并整理得， ，又直线与线段交于点，则， ，，于是， 直线的斜率分别为， ，则，而， 所以. 【变式9-2】（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）依题意设双曲线的标准方程为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点、，即、， 所以． 又因为椭圆的长半轴长为3，且为双曲线实半轴长的3倍， 所以，，得． 故双曲线的标准方程为． （2）不妨设P是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 在中，由余弦定理得， 所以， 故． （3）法一：依题意可知，直线的斜率不为0， 设直线方程为，，， 联立，消去x得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为， 即，所以， 综上，为定值，且定值为． 法二：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 法三：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， ， ， 于是 ， ， 同理可得， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． (1)求和的方程； (2)过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；；(2)存在，. 【解析】（1）因为椭圆过点，所以，所以， 所以方程：． 又因为椭圆的右焦点， 所以，所以方程：． （2）解：假设存在这样的， 设直线的方程为：， ． ， ，， ， 设， ， ，， ， 为定值． ，任意的实数恒成立 ，得到， 当时，为定值． 题型十 圆锥曲线中的定直线问题 解｜题｜技｜巧 探究满足条件（如动点与定点连线垂直、夹角为定值）的动点轨迹是否为定直线，或求定直线方程． 解题思路：①设动点坐标，列题设条件等式；②结合曲线方程化简得直线方程；③验证是否为定直线，检验轨迹完备性． 【例题10】（25-26高二上·重庆·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)求点Q的坐标； (3)过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)在定直线上 【解析】（1）由题可知，，又，可得. 因此椭圆的方程为. （2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为. 联立直线与椭圆整理得， 再令，整理得，解得. 则过点的切线方程为：，再令，得. 因此点的坐标为. （3） 设过的直线方程，设点，线段的中点为， 联立，得， 令，得，即或. 根据韦达定理，由，， 直线的方程为. 则. 于是， . ， 因此点在直线上， 即线段中点在定直线上. 【变式10-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【答案】(1)；(2)直线与的交点在定直线上. 【解析】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为， 所以，即，又，则， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 依题意设直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得， 代入，可得， ，即直线与的交点在定直线上. 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 【变式10-3】（25-26高二上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或；(2)证明见解析. 【解析】（1）抛物线方程为 ，根据抛物线的定义得，解得， 抛物线方程为 ，由题设，令，则， 即， 所以，故或； （2）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为， 即，故， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，，则，， 消去得，显然点在直线，即上，得证. 题型十一 向量与直线-圆锥曲线综合应用（跨章节） 解｜题｜技｜巧 以向量为条件（如垂直、平行、共线、数量积定值），求解直线方程、参数范围、最值等． 解题思路：①将向量条件转化为坐标关系；②联立曲线方程，用韦达定理代入求解． 【例题11】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得， 由，得成立. 设，则， 因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点， 所以，即， 所以，综上得，解得. （2）令得，依题意， 因为，且， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，计算得，又因为， 所以. 【变式11-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则，整理得：. （2）由题意可知直线斜率存在，设，， 令得， 由，得，， 即， 代入：，得，，， 直线：. 【变式11-2】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为． 于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得． 于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 【变式11-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）或. 【解析】（1）由已知得：， 两边平分并化简得：， 即，即为曲线C的方程； （2）（i）设直线l的方程为， 将其代入，得， 故，即或， 所以， ， ， ， 解得，所以； （ii）由 ， 所以， 所以， 所以， 或， 又 当时，；当时，， 所以或    期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，线段为椭圆的通径， 所以.故选：D 2．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线为直线，与圆联立得， 不妨设，则, 故故，故选：B 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为.故选：B 4．（25-26高二上·湖北·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得；故选：C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，；(2)存在， 【解析】（1）椭圆的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形， ，， 椭圆的标准方程为，离心率. （2）设点的坐标为， ①若过点的动直线的斜率不存在， 则或， 此时只需. ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为， 设， 由可得 而， 因为恒成立，故，解得. 由①②可知，， 存在，使得恒成立. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以，即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. (1)若直线的斜率为，求点的坐标. (2)设，.求证：为定值，并求出该值. (3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3) 【解析】（1）（1）由题意有椭圆左焦点坐标为，则直线方程为， 所以解得或 ， 所以的坐标为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，且设为，设直线的方程为：， 所以 ，消去得， 设，，则 由，，且点的横坐标为0，得，， 从而 ，为定值，且. （3）设直线，则的内切圆的半径为，又，为椭圆的焦点， 故的周长为，从而， 设，，则， 即， 由（2）两方程联立得， 得，化简得， 解得或（舍去），故， 即存在直线满足题意. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1)；(2)(ⅰ) (ⅱ) 【解析】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 , 当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 直线与圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1、能熟练联立直线与椭圆、双曲线、抛物线方程，通过判别式Δ判断相交、相切、相离三种位置关系； 2、能处理直线斜率不存在的特殊情况 基础必考点，多以选择/填空形式出现，也常作为解答题第一问；高频易错点：遗漏直线斜率不存在的情况、未将方程化为标准形式就计算判别式 弦长问题求解 1、能熟练运用“设而不求”思想，结合韦达定理推导并应用弦长公式； 2、能区分焦点弦与普通弦，灵活处理斜率不存在时的弦长计算 高频考点，解答题核心得分点；命题趋势：常与椭圆、抛物线结合考查，偶尔涉及双曲线；易错点：弦长公式记错系数、未验证判别式Δ>0导致增解 中点弦问题求解 1、能运用点差法或韦达定理求解椭圆、双曲线、抛物线的中点弦方程； 2、能根据中点弦存在性验证参数范围 中档难度考点，选择/填空压轴题及解答题常考；高频易错点：使用点差法时忽略检验中点在曲线内部（椭圆/双曲线）或曲线上（抛物线）的条件 与位置关系相关的参数范围问题 1、能结合判别式、韦达定理、曲线自身范围、不等式性质等求直线斜率、截距或曲线参数的取值范围； 2、能规范书写推理过程 期末压轴题核心考点，分值占比高；命题趋势：多与椭圆、抛物线结合，常伴随最值问题综合考查；易错点：遗漏判别式限制条件、忽略曲线自身坐标范围导致范围扩大 与位置关系相关的面积最值问题 1、能根据弦长和点到直线的距离求解三角形（或四边形）面积； 2、能运用函数单调性、基本不等式等求面积的最值 高频压轴考点，解答题最后一问常见；核心思想：“设而不求”+“转化与化归”；易错点：距离公式应用错误、最值求解时未验证等号成立条件 定点、定值问题探究 1、能通过联立方程、韦达定理化简表达式，判断直线是否过定点、代数式是否为定值； 2、能规范完成探究性问题的论证过程 难点考点，部分地区期末压轴题会涉及；命题趋势：以抛物线、椭圆为载体考查；易错点：化简过程繁琐导致计算错误、未对特殊情况（如直线斜率为0）进行验证 知识点01 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． （3）共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． ·易错点：滥用点差法，未检验中点是否在圆锥曲线内部（椭圆、双曲线）或曲线上（抛物线），导致求出的中点弦实际不存在． 知识点02 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； ·易错点：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识点03 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有1个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 4、抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. ·易错点：计算焦点弦长时，未结合对应圆锥曲线的焦点弦特有性质（如抛物线焦点弦性质），仍用普通弦长公式硬算，增加计算量且易出错． 题型一 直线与圆锥曲线位置关系判断 解｜题｜技｜巧 解题思路： ①联立直线与圆锥曲线方程，整理为标准一元二次方程； ②讨论二次项系数：时为一次方程，直线与双曲线抛物线可能有一个交点（非相切）；时计算判别式Δ； ③由Δ符号判断：Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0相离． 核心要点：需优先考虑直线斜率不存在的特殊情况，双曲线需区分单支与双支相交． 【例题1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式1-1】（25-26高二上·青海西宁·月考）直线与椭圆（）的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型二 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 解｜题｜技｜巧 ①联立方程得标准一元二次方程； ②讨论二次项系数，结合Δ与位置关系的对应性建不等式； ③结合斜率存在性、曲线范围等条件求解不等式组． 核心要点：需全面考虑参数的隐含限制（如直线斜率不存在、曲线中a>0、b>0、p>0等），避免遗漏特殊情况导致范围偏差． 【例题2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·辽宁·期末）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 直线与圆锥曲线曲线相交弦长问题 解｜题｜技｜巧 1、普通弦长问题：①联立方程，用韦达定理求根与系数关系；②代入弦长公式（斜率存在/不存在分类使用）．计算前需验证Δ>0，确保弦存在；弦长公式需根据斜率是否存在灵活选择． 2、焦点弦长问题：直线过圆锥曲线的焦点，求焦点弦长；或利用焦点弦性质求解相关参数 优先用曲线定义转化距离，再结合韦达定理或焦点弦特有机理计算． 【例题3】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式3-3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为5，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 题型四 圆锥曲线的中点弦问题 易｜错｜点｜拨 1、点差法滥用致错：未检验中点是否在圆锥曲线内部（椭圆/双曲线）导致求出的中点弦实际不存在； 2、斜率考虑不全面：忽略直线斜率不存在的特殊情况，遗漏垂直于x轴的中点弦． 【例题4】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【变式4-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型五 圆锥曲线中长度/距离最值问题 解｜题｜技｜巧 距离最值：转化为单变量函数或利用几何意义求解； 弦长最值：结合弦长公式转化为斜率的函数，用单调性或基本不等式求最值． 注意：需结合曲线自身范围限制变量取值，确保最值在合理范围内． 【例题5】（23-24高二上·河南·月考）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【变式5-1】（25-26高二上·山东菏泽·月考）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【变式5-2】（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【变式5-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 题型六 圆锥曲线面积最值问题 解｜题｜技｜巧 1、建立面积表达式（底×高/2）； 2、用韦达定理表示弦长和距离，转化为单变量函数求最值． 注意：合理选择底和高，简化计算；验证基本不等式等号成立条件． 【例题6】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【变式6-1】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. (1)求的方程； (2)若点为线段的中点，求面积的最大值. 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·月考）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【变式6-3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 题型七 圆锥曲线中参数范围探究 解｜题｜技｜巧 已知直线与曲线的位置关系、弦长、面积等条件，求直线斜率、截距或曲线参数的取值范围． 解题思路：①联立方程，用Δ≥0建不等式；②结合韦达定理、弦长/面积条件转化为代数不等式；③结合曲线范围求解不等式组． 【例题7】（24-25高二上·北京西城·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【变式7-1】（23-24高二上·江苏泰州·月考）已知椭圆：的右焦点为离心率为 (1)若求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且求的取值范围． 【变式7-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-3】（2025·山东济南·模拟预测）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 题型八 圆锥曲线中的定点问题 解｜题｜技｜巧 判断动直线是否过定点，或求出定点坐标（动直线通常含参数，如斜率k、截距m） 解题思路：①设动直线方程，联立曲线方程化简；②整理为参数恒成立形式；③令参数系数为0求定点，验证特殊情况． 【例题8】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【变式8-1】（24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【变式8-2】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 题型九 圆锥曲线中的定值问题 解｜题｜技｜巧 探究代数式（如斜率之积、斜率之和、向量数量积）是否为定值，与动直线/动点的位置无关． 解题思路：①设动点/动直线，联立曲线方程得韦达定理关系；②代入代数式化简，消参判断是否为常数． 【例题9】（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知，，为坐标原点，动点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)，是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【变式9-1】（2025·四川南充·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【变式9-2】（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． (1)求和的方程； (2)过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型十 圆锥曲线中的定直线问题 解｜题｜技｜巧 探究满足条件（如动点与定点连线垂直、夹角为定值）的动点轨迹是否为定直线，或求定直线方程． 解题思路：①设动点坐标，列题设条件等式；②结合曲线方程化简得直线方程；③验证是否为定直线，检验轨迹完备性． 【例题10】（25-26高二上·重庆·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)求点Q的坐标； (3)过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 【变式10-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【变式10-3】（25-26高二上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 题型十一 向量与直线-圆锥曲线综合应用（跨章节） 解｜题｜技｜巧 以向量为条件（如垂直、平行、共线、数量积定值），求解直线方程、参数范围、最值等． 解题思路：①将向量条件转化为坐标关系；②联立曲线方程，用韦达定理代入求解． 【例题11】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，. (1)求实数的取值范围； (2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【变式11-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 【变式11-2】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【变式11-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. （i）若，求直线l的方程； （ii）若，求的面积. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东揭阳·期末）若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. (1)若直线的斜率为，求点的坐标. (2)设，.求证：为定值，并求出该值. (3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $