寒假作业11 机械波（巩固培优）高二物理人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 机械波 考点1波的形成和描述 1．机械波的形成条件 (1)有发生机械振动的波源。 (2)有传播介质，如空气、水等。 2．传播特点 机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。 3．机械波的分类 (1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰(凸部)和波谷(凹部)。 (2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。 4．横波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。 (2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。 (3)图像 (4)应用 ①直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。 ②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。 ③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。 5．波长、波速、频率及其关系 (1)波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 (2)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 (3)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。 (4)波长、波速和频率的关系 ①v＝λf；②v＝。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025秋•沧州期中）关于机械波和机械振动，下列说法正确的是（　　） A．只要有机械振动，就一定有机械波 B．介质中质点的振幅就是机械波的波长 C．介质中质点的振动速度就是机械波的传播速度 D．在机械波的传播过程中，各个质点的振动周期均与波源的振动周期相等 2．（2025秋•五华区期中）艺术体操运动员站在场地中上下抖动长绸带，绸带自左向右呈现波浪状起伏。某时刻绸带形状如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．此时质点P向右运动 B．手的起振方向竖直向上 C．手振动的频率逐渐减小 D．波的传播速度保持不变 3．（2024秋•邢台期末）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波动图像如图所示，图中质点a、f均处于波峰，质点c处于波谷，质点b、e偏离平衡位置的位移相同，质点d恰好处于平衡位置。下列说法正确的是（　　） A．此时质点b、e的速度相同 B．此时质点b、e的加速度相同 C．此时质点d正在沿y轴正方向运动 D．此时质点a、c、f的加速度相同 4．（2024秋•唐山期末）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，图中的实线与虚线分别为t＝0和t＝0.3s时的波形图。若平衡位置在x＝1cm处的质点在0到0.3s内运动方向不变，则下列说法中正确的是（　　） A．该简谐波沿x轴正方向传播 B．该简谐波的传播速度为 C．该简谐波波源的振动频率为1.2Hz D．在0～1.2s内x＝1cm处的质点经过的路程为40cm 5．（2024秋•赤峰期末）一列简谐横波在介质中沿x轴正方向传播，波速为3m/s，t＝0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则（　　） A．该波的波长为24m B．该波的周期为7s C．0～2s内质点P运动的路程等于0.1m D．t＝0时质点P的加速度方向沿y轴负方向 6.（多选）（2025•平罗县校级四模）如图甲、乙所示分别为一列简谐横波M、N两质点的振动图像，已知两质点在波传播方向上的平衡位置相距6m，其波长2m＜λ＜3.5m，下列说法正确的是（　　） A．此波的波长可能为2.8m B．此波的传播速度可能为 C．质点M和质点N在任何时刻偏离平衡位置的位移不可能相同 D．质点M的振动方程为 考点2波的反射和折射 1. 波的反射 （1）现象：当波遇到障碍物时会发生反射 （2）规律：反射线、法线与入射线在同一平面内；反射线与入射线分居法线两侧；反射角等于入射角。 2. 波的折射 （1）现象：波在不同介质中传播时，在交界面处将发生折射现象；一切波都会发生折射现象。 （2）规律：折射线、法线与入射线在同一平面内；折射线与入射线分居法线两侧；折射角不等于入射角。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2024秋•苏州期末）一振动发生器S在水槽中产生水波，某时刻形成的波形如图所示。水波遇到水槽壁反射后（　　） A．波速变小 B．波长变小 C．频率变小 D．振幅变小 2．（2024•浙江开学）如图是γ射线精准测距原理简图。装置辐射源发出的γ射线与地表土壤层发生反射，一部分γ粒子重新被该装置探测器接收，根据接收强度可以测定该装置离地高度。若发射器辐射的强度为I0，接收器的有效接收面积为A，接收装置的接收效率为η。在地面处，有占比为f的光子数被均匀向地面上方各方向反射。若接收器接收到的射线强度为I，射线强度可视作γ射线全部光子的能量之和，则接收器离地高度为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•兴庆区月考）以下关于波的认识，哪些是不正确的（　　） A．潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理 B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的 C．雷达的工作原理是利用波的折射 D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象 4．（2024春•浦东新区校级期中）在发波水槽的底部放置一块玻璃板，将水槽分为不同深浅的两个部分A、B。一列水波从深水区A入射到浅水区B时发生了折射的情况如图所示。图中实线表示A区域水波的波峰，波速为v1，频率为f1，与分界面的夹角为α。虚线表示B区域水波的波峰，波速为v2，频率为f2，与分界面的夹角为β。由图可推得（　　） A．f1＜f2 B．v1＝v2 C． D． 5．（2025•河北开学）河北博物院馆藏有战国时期的编钟，该编钟为中山国的重要礼乐器。某编钟可发出“宫”音和“徵”音，经测定其频率分别为65.4Hz和130.8Hz。已知空气中声速为340m/s，水中声速为1500m/s，则下列说法正确的是（　　） A．在空气中传播时，“宫”音的波长大于“徵”音的波长 B．在水中传播时，“宫”音的波速远大于“徵”音的波速 C．由空气进入水中时，两音的频率均减小为原来的一半 D．由空气进入水中时，“宫”音的波长改变量小于“徵”音的波长改变量 6.（多选）（2021秋•诸暨市校级期中）以下关于波的认识，正确的是（　　） A．潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理 B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的 C．雷达的工作原理是利用波的折射 D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象 考点3波的干涉和衍射 1．波的叠加 观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不_互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的_位移的矢量和。 2．波的干涉和衍射 波的干涉 波的衍射 条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多 现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025秋•锡山区校级期中）如图（a）所示，P、Q为x轴上相距为20m的两个波源，P在坐标原点，t＝0时两波源同时开始振动，图（b）所示为波源P的振动图像，图（c）所示为波源Q的振动图像。已知两列波的传播速度均为v＝2m/s，下列说法错误的是（　　） A．t＝4.5s时，x＝8m处质点的位移为5cm B．t＝8.5s时，x＝8m处质点的位移为8cm C．经过足够长时间，x＝10m处为振动减弱点 D．经过足够长时间，x轴上两质点间共有10处振动加强点 2．（2024秋•南京期末）某均匀介质中两持续振动的振源P、Q分别位于x轴上x1＝﹣3cm和x2＝9cm处，t＝0时刻两振源同时开始振动，t＝3s时两列波分别传播到0cm和6cm处，波形如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．振源Q起振方向沿y轴正方向 B．波在介质中的传播速度为1m/s C．振源P的振动方程为y＝4sin（πt）cm D．两列波在x＝3cm处相遇后，该质点的振动始终加强 3．（2025秋•历下区校级期中）如图为水面上的两列振动步调相同的相干波在某时刻的叠加情况，以波源S1、S2为圆心的两组同心圆弧分别表示该时刻两列波的波峰（实线）和波谷（虚线），已知S1的振幅为3cm，S2的振幅为5cm，下列说法正确的是（　　） A．质点A和B在该时刻的高度差为8cm B．B点始终处于平衡位置 C．质点C的振幅为8cm D．再过二分之一个周期后，D点位于平衡位置上方8cm处 4．（2025秋•鼓楼区校级期中）两个处于不同位置的波源，做方向一致的简谐运动，产生的机械波在同一均匀介质中传播。某时刻两波源产生的波沿传播方向的波形分别如图中1、2所示，则下列说法正确的是（　　） A．波1速度比波2速度大 B．两波相遇时会产生稳定的干涉现象 C．若分别遇到同一障碍物，波2可能比波1的衍射现象更明显 D．在两个波源连线上运动的观察者，接收到两波的频率可能相等 5．（2025秋•即墨区期中）在某均匀介质中有一沿x轴方向传播的简谐横波，t＝2s时其波形图如图甲所示。图乙为x＝2cm处的质点振动图像。关于该简谐波，下列说法正确的是（　　） A．波速为1cm/s B．沿x轴正方向传播 C．传到另一种均匀介质时，周期发生变化 D．遇到尺寸为10cm的障碍物，不能发生衍射 6.（多选）（2025秋•沙坪坝区校级期中）两波源产生的简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播，其波源初始的平衡位置分别位于x＝﹣0.2m和x＝1.2m处，左侧波源的振幅为2cm，右侧波源的振幅为3cm，两波源的振动频率均为1Hz。如图所示为t＝0时刻的波形图（背向传播的波形未画出），此时平衡位置分别位于x＝0.2m和x＝0.8m处的两质点刚要开始振动。下列说法正确的是　　） A．两列波在介质中传播的速度大小为0.2m/s B．足够长时间后，在两波源连线之间共有7个振动加强点 C．平衡位置位于x＝0.7m处的质点在t＝2.6s时沿y轴正方向振动 D．在0～6.125s内平衡位置位于x＝0.4m处的质点运动的路程为 考点4波的多解问题 1．波的周期性 (1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。 (2)在波的传播方向上当两质点平衡位置间的距离为nλ时(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2．造成波动问题多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 (3)波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025•白银区校级三模）一列简谐横波在t＝0时的波形如图所示，图中P点坐标为（1m，0），Q点横坐标为3.5m。t＝2s时Q位于平衡位置，且沿y轴负方向振动。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波的周期可能为0.5s B．该简谐波的波速可能为7.5m/s C．2s末质点P可能沿y轴负方向振动且靠近平衡位置 D．2s内质点Q的路程可能为 2．（2025秋•云岩区校级期中）如图所示为南昌赣江“两滩七湾”天然泳场的摩天湾，水面上均匀排列着红黄相间的警示浮球随水波上下振动，若水面产生一列稳定沿浮球连线方向传播的简谐波，某同学用手机录像记录到浮球振动的周期为2s，并观察到某时刻相邻两浮球都振动到最高点，已知相邻两浮球平衡位置的间距为6m，则水波的波速可能为（　　） A．1.5m/s B．2m/s C．6m/s D．12m/s 3．（2025•河南模拟）健身者在公园以固定频率上下抖动长绳的一端，长绳呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。以健身者手持长绳端为坐标原点，t1＝0和t2＝0.25s时刻长绳呈现的波形图如图所示，已知横波沿x轴正方向传播，则横波的波速可能是（　　） A．4.2m/s B．5m/s C．5.2m/s D．5.4m/s 4．（2025春•甘南州期末）一列简谐横波沿x轴正向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝2s时刻的波形如图中虚线所示，已知3T＜2s＜4T（T为周期），则波传播的速度可能是（　　） A．19cm/s B．20cm/s C．21cm/s D．22cm/s 5．（2025•福建模拟）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，在t2＝0.4s时的波形如图中虚线所示。则下列说法正确的是（　　） A．在t2＝0.4s时，平衡位置在x＝1m处的M质点向上振动 B．这列波的波长为2m C．这列波的周期可能为0.8s D．这列波的传播速度可能为2.5m/s 6.（多选）（2025秋•邯郸期中）一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1m和x2＝13m处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是（　　） A．14m/s B．4m/s C．2.4m/s D．1m/s 1．（2024秋•上饶期末）一列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播。某时刻的波形图如图甲所示，质点M的平衡位置在xM＝7cm处，质点N的平衡位置在xN＝3cm处，从该时刻起质点N的振动图像如图乙所示。求： （1）该波的波速； （2）质点N的振动方程； （3）从该时刻起质点M到达波谷的最短时间。 2．（2024秋•潍坊期末）沿x轴方向传播的一列简谐波，在t1＝0时和t2＝0.3s时的波形图分别如图中实线和虚线所示。 （1）若波沿x轴正方向传播，求这列波的波速； （2）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.4s，求这列波的波速。 1．（2025秋•南通期中）如图所示，S1、S2分别是浅水区和深水区水面上的两波源，两波源到浅水区和深水区分界处的距离分别为L1＝2.4m、L2＝4.2m。t＝0时，S1和S2开始做简谐振动，振动的表达式均为y＝10sin（5πt）cm，取向上为正方向。已知水波在浅水区和深水区的传播速度分别为v1＝2m/s、v2＝3m/s。求： （1）S1振动的振幅A和周期T； （2）S1和S2连线中点P的振动表达式； （3）S1和S2之间存在几个振动加强点。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 机械波 考点1波的形成和描述 1．机械波的形成条件 (1)有发生机械振动的波源。 (2)有传播介质，如空气、水等。 2．传播特点 机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。 3．机械波的分类 (1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰(凸部)和波谷(凹部)。 (2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。 4．横波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。 (2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。 (3)图像 (4)应用 ①直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。 ②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。 ③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。 5．波长、波速、频率及其关系 (1)波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 (2)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 (3)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。 (4)波长、波速和频率的关系 ①v＝λf；②v＝。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025秋•沧州期中）关于机械波和机械振动，下列说法正确的是（　　） A．只要有机械振动，就一定有机械波 B．介质中质点的振幅就是机械波的波长 C．介质中质点的振动速度就是机械波的传播速度 D．在机械波的传播过程中，各个质点的振动周期均与波源的振动周期相等 【答案】D 【解析】解：A、机械波的形成需要波源和介质，仅有振动而无介质时无法形成波，故A错误； B、二者概念不同。振幅是质点振动的最大位移，波长是波在一个周期内传播的距离，故B错误； C、质点振动速度是质点往复运动的速度，波速是振动形式传播的速度，二者方向与大小均无必然联系，故C错误； D、机械波传播时，介质中各质点做受迫振动，其周期由波源决定，可知与波源振动周期相等，故D正确。 故选：D。 2．（2025秋•五华区期中）艺术体操运动员站在场地中上下抖动长绸带，绸带自左向右呈现波浪状起伏。某时刻绸带形状如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．此时质点P向右运动 B．手的起振方向竖直向上 C．手振动的频率逐渐减小 D．波的传播速度保持不变 【答案】D 【解析】解：A、机械波传播时，质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移。故此时质点P不会向右运动，故A错误。 B、根据波的传播方向，从左向右传播，结合“上坡下，下坡上”原则，可知手的起振方向竖直向下，故B错误。 C、从图中可以看出波长逐渐增大，而波速由介质决定，根据v＝λf，波速v不变，波长λ减小，则频率f逐渐增大，故C错误。 D、波的传播速度由介质决定，绸带作为介质，其性质未变，所以波的传播速度保持不变，故D正确。 故选：D。 3．（2024秋•邢台期末）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波动图像如图所示，图中质点a、f均处于波峰，质点c处于波谷，质点b、e偏离平衡位置的位移相同，质点d恰好处于平衡位置。下列说法正确的是（　　） A．此时质点b、e的速度相同 B．此时质点b、e的加速度相同 C．此时质点d正在沿y轴正方向运动 D．此时质点a、c、f的加速度相同 【答案】B 【解析】解：A、简谐横波传播时，介质中各质点振动频率相同，质点b沿+y方向振动，质点e沿﹣y方向振动，速度方向相反，故A错误； B、质点b、e偏离平衡位置的位移相同，由a＝﹣ω2x可知加速度相同，故B正确； C、质点d此刻正沿﹣y方向振动，故C错误； D、质点a、c、f的加速度大小满足|a|＝|ω2x|，其中a、f加速度沿﹣y方向，c沿+y方向，故D错误。 故选：B。 4．（2024秋•唐山期末）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，图中的实线与虚线分别为t＝0和t＝0.3s时的波形图。若平衡位置在x＝1cm处的质点在0到0.3s内运动方向不变，则下列说法中正确的是（　　） A．该简谐波沿x轴正方向传播 B．该简谐波的传播速度为 C．该简谐波波源的振动频率为1.2Hz D．在0～1.2s内x＝1cm处的质点经过的路程为40cm 【答案】D 【解析】解：A、由t＝0时的波形图可知，平衡位置在x＝1cm的质点此后将向y轴负方向运动，因此t＝0.3s时该质点也向y轴负方向运动，结合t＝0.3s时的波形图，根据同侧法可知，该简谐波沿x轴负方向传播，故A错误； B、由图可知，波长为λ＝4cm。由于平衡位置在x＝1cm处的质点在0到0.3s内运动方向不变，可知，解得：T＝1.2s。波速为，解得：，故B错误； C、该简谐波波源的振动频率为，解得：，故C错误； D、在0～1.2s内，质点运动一个周期，因此质点经过的路程为s＝4A，解得：s＝40cm，故D正确。 故选：D。 5．（2024秋•赤峰期末）一列简谐横波在介质中沿x轴正方向传播，波速为3m/s，t＝0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则（　　） A．该波的波长为24m B．该波的周期为7s C．0～2s内质点P运动的路程等于0.1m D．t＝0时质点P的加速度方向沿y轴负方向 【答案】A 【解析】解：A．由图可知 波长λ＝24m 故A正确； B．周期Tm/s＝8m/s 故B错误； C．0～2s内，即内，质点P向上运动，它在0～2s内的平均速度大于从平衡位置到波峰的平均速度，故路程大于0.1m，故C错误； D．t＝0时，质点P受到沿y轴正方向的回复力，故加速度沿y轴正方向，故D错误。 故选：A。 6.（多选）（2025•平罗县校级四模）如图甲、乙所示分别为一列简谐横波M、N两质点的振动图像，已知两质点在波传播方向上的平衡位置相距6m，其波长2m＜λ＜3.5m，下列说法正确的是（　　） A．此波的波长可能为2.8m B．此波的传播速度可能为 C．质点M和质点N在任何时刻偏离平衡位置的位移不可能相同 D．质点M的振动方程为 【答案】BD 【解析】解：A．若波由N点向M点传播，由两质点的振动图像可知，相距的距离满足 可能的波长 当n＝0时，，当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，⋯⋯， 因为波长2m＜λ＜3.5m，则波长的可能值为、 若波由M点向N点传播，由两质点的振动图像可知，相距的距离满足 可能的波长 当n＝0时，λ＝24m，当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，⋯⋯，因为波长2m＜λ＜3.5m，解得波长为，故A错误； B．由图可知周期为T＝2s，由可得，或或，故B正确； C．t＝0时刻，质点M从位移最大位置向负方向运动，质点N从平衡位置向正方向运动，在某一时刻，两质点偏离平衡位置的位移会相同，故C错误； D．由质点M的振动图像可得，振幅A＝20cm，圆频率， 初相位，可得质点M的振动方程为，故D正确。 故选：BD。 考点2波的反射和折射 1. 波的反射 （1）现象：当波遇到障碍物时会发生反射 （2）规律：反射线、法线与入射线在同一平面内；反射线与入射线分居法线两侧；反射角等于入射角。 2. 波的折射 （1）现象：波在不同介质中传播时，在交界面处将发生折射现象；一切波都会发生折射现象。 （2）规律：折射线、法线与入射线在同一平面内；折射线与入射线分居法线两侧；折射角不等于入射角。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2024秋•苏州期末）一振动发生器S在水槽中产生水波，某时刻形成的波形如图所示。水波遇到水槽壁反射后（　　） A．波速变小 B．波长变小 C．频率变小 D．振幅变小 【答案】D 【解析】解：A、波速是由介质的性质决定的，水波在水中的传播速度不会因为反射而改变，故A错误。 B、波长与波速和频率有关，由于波速和频率在反射过程中不变，波长也不会变小，故B错误。 C、频率是波源的固有属性，不会因为反射而改变，故C错误。D、在波的反射过程中，由于能量的损失，波的振幅可能会变小，故D正确。 故选：D。 2．（2024•浙江开学）如图是γ射线精准测距原理简图。装置辐射源发出的γ射线与地表土壤层发生反射，一部分γ粒子重新被该装置探测器接收，根据接收强度可以测定该装置离地高度。若发射器辐射的强度为I0，接收器的有效接收面积为A，接收装置的接收效率为η。在地面处，有占比为f的光子数被均匀向地面上方各方向反射。若接收器接收到的射线强度为I，射线强度可视作γ射线全部光子的能量之和，则接收器离地高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：γ射线被地面反射强度为：fI0，而光子辐射到接收装置处时均匀分布在以反射点为球心的半球面上，设此时接收器离地面的高度为h，则 反射面积为 S＝2πh2 根据能量守恒可得 fI0Aη＝IS 可解得 故BCD错误，A正确。 故选：A。 3．（2024春•兴庆区月考）以下关于波的认识，哪些是不正确的（　　） A．潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理 B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的 C．雷达的工作原理是利用波的折射 D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象 【答案】C 【解析】A、潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，声呐采用的是超声波，超声波的方向性好，遇到障碍物容易反射，故A正确； B、隐形飞机的原理是：通过降低飞机的声、光、电等可探测特征量，使雷达等防空探测器无法早期发现，所以隐形飞机可能在机身表面涂有高效吸收电磁波的物质，使用吸收雷达电磁波材料，在雷达屏幕上显示的反射信息很小、很弱，很难被发现，故B正确； C、雷达的工作原理是利用波的反射，故C不正确； D、水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象。故D正确。 本题选不正确的，故选：C。 4．（2024春•浦东新区校级期中）在发波水槽的底部放置一块玻璃板，将水槽分为不同深浅的两个部分A、B。一列水波从深水区A入射到浅水区B时发生了折射的情况如图所示。图中实线表示A区域水波的波峰，波速为v1，频率为f1，与分界面的夹角为α。虚线表示B区域水波的波峰，波速为v2，频率为f2，与分界面的夹角为β。由图可推得（　　） A．f1＜f2 B．v1＝v2 C． D． 【答案】D 【解析】解：设AB界面处相邻两波峰之间的距离为L， 则λ1＝Lsinα，λ2＝Lsinβ， 因为折射不改变波的频率，即f1＝f2， 根据v＝λf，可得，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．（2025•河北开学）河北博物院馆藏有战国时期的编钟，该编钟为中山国的重要礼乐器。某编钟可发出“宫”音和“徵”音，经测定其频率分别为65.4Hz和130.8Hz。已知空气中声速为340m/s，水中声速为1500m/s，则下列说法正确的是（　　） A．在空气中传播时，“宫”音的波长大于“徵”音的波长 B．在水中传播时，“宫”音的波速远大于“徵”音的波速 C．由空气进入水中时，两音的频率均减小为原来的一半 D．由空气进入水中时，“宫”音的波长改变量小于“徵”音的波长改变量 【答案】A 【解析】解：A、根据公式，“宫”音的波长，“徵”音的波长，显然λ1＞λ2，即“宫”音的波长大于“徵”音的波长，故A正确 B、波速由介质决定，同一介质中不同频率的声波波速相同，水中两音的波速均为1500m/s，故B错误。 C、波的频率由振源（编钟振动）决定，与介质无关，所以由空气进入水中时，两音的频率保持不变，故C错误。 D、由空气进入水中时，“宫”音的波长改变量为，“徵”音的波长改变量为，可知“宫”音的波长改变量大于“徵”音的波长改变量，故D错误。 故选：A。 6.（多选）（2021秋•诸暨市校级期中）以下关于波的认识，正确的是（　　） A．潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理 B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的 C．雷达的工作原理是利用波的折射 D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象 【答案】ABD 【解析】解：ABC、潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊隐形物质，雷达的工作原理都是利用了波的反射原理，故AB正确，C错误； D、水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象，故D正确； 故选：ABD。 考点3波的干涉和衍射 1．波的叠加 观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不_互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的_位移的矢量和。 2．波的干涉和衍射 波的干涉 波的衍射 条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多 现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025秋•锡山区校级期中）如图（a）所示，P、Q为x轴上相距为20m的两个波源，P在坐标原点，t＝0时两波源同时开始振动，图（b）所示为波源P的振动图像，图（c）所示为波源Q的振动图像。已知两列波的传播速度均为v＝2m/s，下列说法错误的是（　　） A．t＝4.5s时，x＝8m处质点的位移为5cm B．t＝8.5s时，x＝8m处质点的位移为8cm C．经过足够长时间，x＝10m处为振动减弱点 D．经过足够长时间，x轴上两质点间共有10处振动加强点 【答案】B 【解析】解：A.波源P的振动形式传到x＝8m处质点所用的时间，解得：t1＝4s，波源Q的振动形式传到x＝8 m处质点所用的时间：，解得：t2＝6s 则t＝4.5s时，只有波源P的振动形式传播到x＝8m处则x＝8m处，质点的位移为5cm，故A正确。 B.t＝8.5s时，P波源引起x＝8m处质点的位移为5cm，Q波源引起x＝8m处质点的位移为﹣3cm，故t＝8.5s时，x＝8m处质点的位移为2cm，故B错误。 C.由于两波源振动步调相反，两波波长均为4m，x＝10m处质点到两波源的距离差为半波长的偶数倍，故经过足够长的时间该点为振动减弱，故C正确。 D.由于两波源振动步调相反，则某点到两波源的距离差为半波长的奇数倍时为振动加强点，即x＝1m、3m、5m、7m、9m、11m、13m、15m、17m、19m，故经过足够长的时间，x轴上两质点间共有10处振动加强点，故D正确。 本题选错误的，故选：B。 2．（2024秋•南京期末）某均匀介质中两持续振动的振源P、Q分别位于x轴上x1＝﹣3cm和x2＝9cm处，t＝0时刻两振源同时开始振动，t＝3s时两列波分别传播到0cm和6cm处，波形如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．振源Q起振方向沿y轴正方向 B．波在介质中的传播速度为1m/s C．振源P的振动方程为y＝4sin（πt）cm D．两列波在x＝3cm处相遇后，该质点的振动始终加强 【答案】C 【解析】解：A．波在传播过程中，质点的起振方向与波源的起振方向相同，由同侧法可知，波传到x＝6cm处时，该质点起振方向沿y负方向，故振源Q起振方向沿y轴负方向，故A错误； B．两列波的波速，故B错误； C．由图可知，振源P振动的振幅A＝4cm，振源P形成的波的波长为2cm，根据波长、周期、波速的关系可得其周期为，，P从平衡位置启动，初相φ＝0，故源P的振动方程为y＝Asin（ωt）cm＝4sin（πt）cm，故C正确； D．两列波在同一介质中传播，则波速相等，在x＝3cm处相遇后，振动情况完全相反，该质点的振动始终减弱，故D错误。 故选：C。 3．（2025秋•历下区校级期中）如图为水面上的两列振动步调相同的相干波在某时刻的叠加情况，以波源S1、S2为圆心的两组同心圆弧分别表示该时刻两列波的波峰（实线）和波谷（虚线），已知S1的振幅为3cm，S2的振幅为5cm，下列说法正确的是（　　） A．质点A和B在该时刻的高度差为8cm B．B点始终处于平衡位置 C．质点C的振幅为8cm D．再过二分之一个周期后，D点位于平衡位置上方8cm处 【答案】D 【解析】解：A.质点A是波峰与波峰相遇，是振动加强点，合振幅A1＝3cm+5cm＝8cm，质点B是波峰与波谷相遇，是振动减弱点，合振幅A2＝5cm﹣3cm＝2cm 因此质点A和B在该时刻的高度差为6cm，故A错误； B.由于两波源的振幅不同，合振幅不为零，质点B的位移随时间变化，因此B点不是始终处于平衡位置，故B错误； C.质点C是波峰与波谷相遇，是振动减弱点，合振幅A2＝5cm﹣3cm＝2cm，故C错误； D.质点D此刻位于波谷，再过二分之一个周期后，D点位于波峰，在平衡位置上方8cm处，故D正确。 故选：D。 4．（2025秋•鼓楼区校级期中）两个处于不同位置的波源，做方向一致的简谐运动，产生的机械波在同一均匀介质中传播。某时刻两波源产生的波沿传播方向的波形分别如图中1、2所示，则下列说法正确的是（　　） A．波1速度比波2速度大 B．两波相遇时会产生稳定的干涉现象 C．若分别遇到同一障碍物，波2可能比波1的衍射现象更明显 D．在两个波源连线上运动的观察者，接收到两波的频率可能相等 【答案】D 【解析】解：A、在同一种介质中，各种频率的机械波传播速度相同，故A错误； B、从题图中可以看出波1的波长大于波2的波长，由公式v＝λf可得，波1的频率小于波2的频率，由于两列波的频率不同，两列波不能发生稳定的干涉现象，故B错误； C、对于同一障碍物，波长越大衍射现象越明显，故波1的衍射现象更明显，故C错误； D、根据多普勒效应，观察者与波源相对运动时，接收频率会变化。若观察者在两波源连线上运动，其相对于波1和波2的接近/远离情况可能使接收频率调整后相等（例如：观察者向波1靠近时接收频率升高，同时向波2远离时接收频率降低，存在两者相等的可能），故D正确； 故选：D。 5．（2025秋•即墨区期中）在某均匀介质中有一沿x轴方向传播的简谐横波，t＝2s时其波形图如图甲所示。图乙为x＝2cm处的质点振动图像。关于该简谐波，下列说法正确的是（　　） A．波速为1cm/s B．沿x轴正方向传播 C．传到另一种均匀介质时，周期发生变化 D．遇到尺寸为10cm的障碍物，不能发生衍射 【答案】A 【解析】解：A、由题图甲可知，λ＝4cm，T＝4s，则波传播的速度为v，代入数据解得v＝1cm/s，故A正确； B、由图乙可知，t＝2s时质点向下振动，根据图甲由同侧法判断，波向x轴负方向传播，故B错误； C、波的周期由波源决定，与传播介质无关。因此，波传到另一种均匀介质时，周期不会变化，故C错误； D、由题图甲可知，λ＝4cm，遇到尺寸为10cm的障碍物，不能发生明显的衍射现象，衍射是波特有的现象，任何情况下都能发生，只是明显程度不同，故D错误； 故选：A。 6.（多选）（2025秋•沙坪坝区校级期中）两波源产生的简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播，其波源初始的平衡位置分别位于x＝﹣0.2m和x＝1.2m处，左侧波源的振幅为2cm，右侧波源的振幅为3cm，两波源的振动频率均为1Hz。如图所示为t＝0时刻的波形图（背向传播的波形未画出），此时平衡位置分别位于x＝0.2m和x＝0.8m处的两质点刚要开始振动。下列说法正确的是　　） A．两列波在介质中传播的速度大小为0.2m/s B．足够长时间后，在两波源连线之间共有7个振动加强点 C．平衡位置位于x＝0.7m处的质点在t＝2.6s时沿y轴正方向振动 D．在0～6.125s内平衡位置位于x＝0.4m处的质点运动的路程为 【答案】BC 【解析】解：A、由图可知，两列波波长均为λ＝0.4m，波速v＝λf＝0.4×1m/s＝0.4m/s，故A错误； B、距离两个波源的波程差为波长整数倍的点是振动加强点，|（1.2m﹣x）﹣（x+0.2m）|＝kλ，当k取整数时，在两波源连线上，有x＝﹣0.1m，0.1m，0.3m，0.5m，0.7m，0.9m，1.1m，共7个振动加强点，故B正确； C、左侧波源在t1时到达0.7m处，起振方向向下，周期T＝1s，在t＝2.6s时，振动时间t＝2.6s﹣1.25s＝1.35s，所以左侧波源在该点引起的振动在到沿y轴正方向振动， 右侧波源在t2时到达0.7m处，起振方向向下，周期T＝1s，在t＝2.6s时，振动时间t＝2.6s﹣0.25s＝2.35s，所以左侧波源在该点引起的振动沿y轴正方向振动，振动叠加后，该质点沿y轴正方向振动，故C正确； D、x＝0.4m处的质点与两个波源的波程差为：1.2m﹣0.4m﹣（0.4m+0.2m）＝0.2m，即波程差满足：，该点为振动减弱点； 该点离右侧较远，右侧波源传播到该质点所需的时间为：，左侧波源传播到该质点所需时间为：； 即可知从0到0.5s间，该质点不振动； 从0.5s到1s之间，该质点按照左侧波源的振动方式振动，振动的距离满足：； 从1s到6.125s之间，该质点在两侧波源带动的情况下振动，且为振动减弱点，从1s到6s之间刚好5个周期，振动距离为：5×4×（3cm﹣2cm）＝20cm， 在6s到6.125s之间，由几何关系，可得振动距离为：，即该质点在0～6.125s内运动的路程为：，故D错误。 故选：BC。 考点4波的多解问题 1．波的周期性 (1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。 (2)在波的传播方向上当两质点平衡位置间的距离为nλ时(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2．造成波动问题多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 (3)波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．（2025•白银区校级三模）一列简谐横波在t＝0时的波形如图所示，图中P点坐标为（1m，0），Q点横坐标为3.5m。t＝2s时Q位于平衡位置，且沿y轴负方向振动。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波的周期可能为0.5s B．该简谐波的波速可能为7.5m/s C．2s末质点P可能沿y轴负方向振动且靠近平衡位置 D．2s内质点Q的路程可能为 【答案】D 【解析】解：A、t＝2s时Q位于平衡位置，且沿y轴负方向振动，如果波沿+x方向传播，则有：nT＝2s 解得：Ts（n＝0、1、2、3……），当简谐波的周期为0.5s时，n不是整数； 如果波沿﹣x方向传播，则有：nT＝2s 解得：Ts（n＝0、1、2、3……），当简谐波的周期为0.5s时，n不是整数； 所以该简谐波的周期不可能为0.5s，故A错误； B．根据图像可知该波的波长为4m，如果波沿+x方向传播，波速为v，解得：v＝（2n）m/s（n＝0、1、2、3……），当简谐波的波速可能为7.5m/s时，n不是整数； 如果波沿﹣x方向传播，波速为v，解得：v＝（2n）m/s（n＝0、1、2、3……），当简谐波的波速可能为7.5m/s时，n不是整数； 该简谐波的波速不可能为7.5m/s，故B错误； C、根据振动情况结合同侧法可知，无论波沿+x方向传播或是沿﹣x方向传播，2s末质点P都是沿y轴正方向振动，故C错误； D、如果波沿﹣x方向传播，2s＝（n）T（n＝0、1、2、3……），如果n＝2，则Q通过的路程为： s＝2×4A+2A10A10×1cm（10）cm，故D正确。 故选：D。 2．（2025秋•云岩区校级期中）如图所示为南昌赣江“两滩七湾”天然泳场的摩天湾，水面上均匀排列着红黄相间的警示浮球随水波上下振动，若水面产生一列稳定沿浮球连线方向传播的简谐波，某同学用手机录像记录到浮球振动的周期为2s，并观察到某时刻相邻两浮球都振动到最高点，已知相邻两浮球平衡位置的间距为6m，则水波的波速可能为（　　） A．1.5m/s B．2m/s C．6m/s D．12m/s 【答案】A 【解析】解：已知某时刻相邻两浮球都振动到最高点，相邻两浮球平衡位置的间距为6m，则有：nλ＝6m（n＝1、2、3……） 解得：m（n＝1、2、3……） 根据波速计算公式可得：vm/s（n＝1、2、3……） n＝1时速度最大为3m/s，n＝2时速度为1.5m/s，故A正确、BCD错误。 故选：A。 3．（2025•河南模拟）健身者在公园以固定频率上下抖动长绳的一端，长绳呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。以健身者手持长绳端为坐标原点，t1＝0和t2＝0.25s时刻长绳呈现的波形图如图所示，已知横波沿x轴正方向传播，则横波的波速可能是（　　） A．4.2m/s B．5m/s C．5.2m/s D．5.4m/s 【答案】D 【解析】解：由题意可知横波沿x轴正方向传播，波长λ＝0.6m，则波速；其中n＝0，1，2，3，… 分别代入v＝4.2m/s、v＝5m/s和v＝5.2m/s，均解得n不为整数，代入v＝5.4m/s，解得n＝2，故ABC错误，D正确。 故选：D。 4．（2025春•甘南州期末）一列简谐横波沿x轴正向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝2s时刻的波形如图中虚线所示，已知3T＜2s＜4T（T为周期），则波传播的速度可能是（　　） A．19cm/s B．20cm/s C．21cm/s D．22cm/s 【答案】D 【解析】解：波沿x轴正向传播，在Δt＝2s内传播的距离Δx＝（nλ+8）cm＝（12n+8）cm，（n＝0，1，2，3…） 传播速度大小vcm/s＝（6n+4）cm/s，（n＝0，1，2，3…） 由于3T＜2s＜4T，所以取n＝3 故波传播的速度大小为v＝（6×3+4）cm/s＝22cm/s，故ABC错误，D正确。 故选：D。 5．（2025•福建模拟）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，在t2＝0.4s时的波形如图中虚线所示。则下列说法正确的是（　　） A．在t2＝0.4s时，平衡位置在x＝1m处的M质点向上振动 B．这列波的波长为2m C．这列波的周期可能为0.8s D．这列波的传播速度可能为2.5m/s 【答案】D 【解析】解：A．根据波形图结合“同侧法”可知，在t2＝0.4s时，平衡位置在 x ＝1m处的 M 质点向下振动，故A错误； B．由图可知，这列波的波长为4m，故B错误； C．根据波的传播特点可知： 解得周期表达式满足： 可知这列波的周期不可能为 0.8s，故C错误； D．若n＝0，则T＝1.6s，根据波长、波速和周期的关系，此时这列波的传播速度为 故D正确。 故选：D。 6.（多选）（2025秋•邯郸期中）一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1m和x2＝13m处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是（　　） A．14m/s B．4m/s C．2.4m/s D．1m/s 【答案】BC 【解析】解：由振动图像可知周期T＝4s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，x2处质点在正的最大位移处。若波沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示： x2处质点的平衡位置可能在A1、A2或A3等位置。则有（n＝0，1，2⋯），解得：。 波速，代入得（n＝0，1，2⋯）。当n＝0时，v＝12m/s；当n＝1时，v＝2.4m/s；当n＝2时，。 若波沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示： x2处质点的平衡位置可能在A1、A2或A3等位置。则有（n＝0，1，2⋯），解得：。 波速，代入得（n＝0，1，2⋯）。当n＝0时，v＝4m/s；当n＝1时，。综上，故AD错误，BC正确。 故选：BC。 1．（2024秋•上饶期末）一列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播。某时刻的波形图如图甲所示，质点M的平衡位置在xM＝7cm处，质点N的平衡位置在xN＝3cm处，从该时刻起质点N的振动图像如图乙所示。求： （1）该波的波速； （2）质点N的振动方程； （3）从该时刻起质点M到达波谷的最短时间。 【答案】（1）该波的波速为0.3m/s。 （2）质点N的振动方程为y＝﹣10sin5πt（cm）。 （3）质点M到达波谷的最短时间为。 【解析】解：（1）由甲乙两图分析可得周期T＝0.4s，波长λ＝0.12m，根据波速公式，解得：v＝0.3m/s。 （2）从甲图所示时刻计时，N点振动方程可表示为y＝﹣10sinωt（cm），其中角频率，代入数据得ω＝5πrad/s，故振动方程为y＝﹣10sin5πt（cm）。 （3）结合两图分析，波沿x轴正方向传播，质点M到达波谷的最短时间满足，代入数据Δx＝0.070m，v＝0.3m/s，解得：。 答：（1）该波的波速为0.3m/s。 （2）质点N的振动方程为y＝﹣10sin5πt（cm）。 （3）质点M到达波谷的最短时间为。 2．（2024秋•潍坊期末）沿x轴方向传播的一列简谐波，在t1＝0时和t2＝0.3s时的波形图分别如图中实线和虚线所示。 （1）若波沿x轴正方向传播，求这列波的波速； （2）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.4s，求这列波的波速。 【答案】（1）若波沿x轴正方向传播，则这列波的波速为（n＝0，1，2……）； （2）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.4s，这列波的波速为。 【解析】解：（1）由题图可知波长为λ＝6m。 若波沿x轴正方向传播，根据波形平移法可知，在0～0.3s内波向右传播的距离为：Δx＝nλ+4m＝（6n+4）m（n＝0，1，2……） 则这列波的波速为：（n＝0，1，2……）； （2）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.4s，根据波形平移法可知，在0～0.3s内波向左传播的距离为Δx′＝2m 则这列波的波速为。 答：（1）若波沿x轴正方向传播，则这列波的波速为（n＝0，1，2……）； （2）若波沿x轴负方向传播，且周期大于0.4s，这列波的波速为。 1．（2025秋•南通期中）如图所示，S1、S2分别是浅水区和深水区水面上的两波源，两波源到浅水区和深水区分界处的距离分别为L1＝2.4m、L2＝4.2m。t＝0时，S1和S2开始做简谐振动，振动的表达式均为y＝10sin（5πt）cm，取向上为正方向。已知水波在浅水区和深水区的传播速度分别为v1＝2m/s、v2＝3m/s。求： （1）S1振动的振幅A和周期T； （2）S1和S2连线中点P的振动表达式； （3）S1和S2之间存在几个振动加强点。 【答案】（1）S1振动的振幅A为10cm，周期T为0.4s。 （2）当0＜t＜1.1s时y＝0；当1.1s≤t＜1.5s时y＝10cos（5πt）cm；当t≥1.5s时y＝20cos（5πt）cm。 （3）S1和S2之间存在13个振动加强点。 【解析】解：（1）由振动表达式可得振幅A＝10cm，周期，解得：T＝0.4s。 （2）波源S2到达P点时间t1＝1.1s，波源S1经浅水区和深水区到达P点总时间t2＝1.5s。因此：当0＜t＜1.1s时y＝0；当1.1s≤t＜1.5s时y＝10cos（5πt）cm；当t≥1.5s时y＝20cos（5πt）cm。 （3）波源S2的波传到分界处用时。在浅水区，波源S1与分界处虚拟波源干涉加强点的波程差，波长λ1＝0.8m。 由x1+x2＝2.4m和，取n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，可得6个振动加强点。 波源S1的波传到分界处用时3T。在深水区，波源S2与分界处虚拟波源干涉加强点的波程差Δs＝nλ2，波长λ2＝1.2m。 由x1+x2＝4.2m和x1﹣x2＝nλ2，取n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，可得7个振动加强点。 综上，S1和S2之间存在13个振动加强点。 答：（1）S1振动的振幅A为10cm，周期T为0.4s。 （2）当0＜t＜1.1s时y＝0；当1.1s≤t＜1.5s时y＝10cos（5πt）cm；当t≥1.5s时y＝20cos（5πt）cm。 （3）S1和S2之间存在13个振动加强点。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $