2025-2026学年人教版八年级数学上册一月模拟考试卷

2025-2026学年上学期一月模拟考试答案解析 八年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； C的图形不符合轴对称图形的定义，故符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）（25-26八年级上·广东广州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm B．3cm，3cm，7cm C．2cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系“在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、由于，则能组成三角形，本选项符合题意； B、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； C、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； D、由于，不大于8，则不能组成三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 3．（本题3分）（2016·四川资阳·中考真题）世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 4．（本题3分）（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接运用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 5．（本题3分）（25-26八年级上·山西·月考）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 6．（本题3分）（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【详解】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合题意即可． 【分析】解：A、左边是整式的积，右边是多项式的形式，是整式乘法，故不是因式分解； B、左边为多项式，右边为积的形式，且等式成立，故是因式分解； C、左边，右边，等式不成立，不是因式分解； D、右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解． 故选：B． 7．（本题3分）（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 8．（本题3分）（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，理解“提前”即原计划时间多于实际时间． 原计划每日行，实际每日行，原计划时间比实际时间多1日，据此列方程． 【详解】解：设原计划每日行x km，则原计划所需时间为日，实际所需时间为日． ∵实际比原计划提前1日到达， ∴， 故选B． 9．（本题3分）（25-26七年级上·山东济南·月考）用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ④过点作射线，即为所求作的角； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． 则下列排序正确的是（　 　） A．①③②④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作图顺序为： ①作射线； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． ④过点作射线，即为所求作的角； 即：①③②⑤④； 故选：B． 10．（本题3分）（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质及等底等高的三角形面积相等，关键是熟练应用三角形中线的性质． 由中线平分三角形的面积可计算出答案． 【详解】解：由中线性质可得：， ， ， ． 故选：B． 11．（本题3分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，，平分，平分，，过点作 ，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 12．（本题3分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 14．（本题4分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；解题时先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：； 故答案为． 15．（本题4分）（25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 【答案】7 【知识点】分式值为零的条件 【分析】分式的值为零需满足分子为零且分母不为零．本题考查分式值为零的条件，涉及的知识点是分式有意义的条件及绝对值方程的求解．解题中用到的方法是“双条件验证法”，同时验证分子为零和分母不为零．解题关键是不能忽略分母不为零的限制条件．易错点是只考虑分子为零，忘记排除使分母为零的情况． 【详解】由分子，得，解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，符合条件． 故答案为7． 16．（本题4分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、垂线段最短 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，即得到，可知当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长，再利用三角形的面积求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】实数的混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各运算法则． （1）先进行零指数幂，绝对值，负整数指数幂运算，再进行加减即可； （2）先进行同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方运算，再进行合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题10分）（22-23八年级下·山西运城·期末）在解分式方程时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘，得        （第一步） 解这个整式方程得：                    （第二步） …… 任务一：填空 在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ． 任务二：请写出解这个方程的正确过程． 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议． 【答案】任务一：一，在去分母时整数项没有乘；任务二：过程见解析，原方程无解；任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】任务一：根据解分式方程的步骤即可得出答案； 任务二：根据解分式方程的步骤即可得出答案； 任务三：根据解分式方程的步骤即可得出答案． 【详解】任务一：第一步有错，错误的原因是：在去分母时整数项没有乘， 任务二：去分母得：， 解得， 经检验是原方程的增根， 所以原方程无解； 任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键． 19．（本题10分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解； （2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：6； （2）解：如图； （3）解：∵点与点关于x轴对称， ，， ． 20．（本题10分）（2025·宁夏银川·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 21．（本题10分）（21-22八年级上·吉林·期末）如图，在中，，．于点E，平分． （1）求证； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的性质可得，再由等量代换及等角对等边即可证明； （2）根据三角形外角的性质可得，再由垂直的性质得出，利用三角形内角和求解即可得． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握运用各个性质定理是解题关键． 22．（本题12分）（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（本题12分）（25-26八年级上·河北石家庄·月考）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过37000元，列出不等式求解，并取最小整数解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 24．（本题12分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）（1）【特例感知】 已知：，，，·…… 猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25． 证明：设此两位数的十位数字是m，…… 请完成上述剩余证明过程． （2）【类比迁移】 观察下列等式： ；；； ； ①请写第四个等式的结果； ②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律： 十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 例如 请写出一个满足此规律的一个等式： ；（不得抄写已给出的4个等式） ③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b．请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性． 【答案】（1）见解析；（2）①7221；②；③，证明见解析 【知识点】列代数式、数字类规律探索、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，探究规律，找出规律并写出等式是解题的关键． （1）用表示这样的两位数，再用完全平方公式证明即可； （2）①直接用乘法计算即可； ②找出规律，找规律写一个即可； ③用代数式表示规律，再证明即可． 【详解】由题意可知这个两位数为（为正整数）， ， ∵为正整数， ∴结果末尾的两个数字是， ∴猜想正确． （2）解：①：， 故答案为：； ②满足即可，如．·· ③由题意可知，两个两位数分别是， 结果可表示为， 即规律为， ·证明如下： ， ， ， 即②中规律是正确的． 25．（本题12分）（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图，在中，，若，则______度； 【问题探究】 （2）如图，在中，点在边上，，线段与线段关于直线对称，点的对应点为点，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在上，，点，分别是，边上的动点，连接，，，当点，在运动过程中，的周长最小时，求的度数． 【答案】（）；（），理由见解析；（）的周长最小时，的度数为． 【知识点】两点之间线段最短、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （）由，则，又线段与线段关于直线对称，故有，从而得，然后通过角度和差即可求解； （）分别作关于直线的对称点，连接，交于点，连接，，，由的周长为，则当点共线时，的周长最小，即与重合，与重合，由对称性可知，，由，则，所以，由（）得：，又，故有，从而得，根据平角定义可得 【详解】解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （），理由如下， ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，分别作关于直线的对称点，连接，交于点，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点共线时，的周长最小，即与重合，与重合，如图， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期一月模拟考试 八年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践．是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”，其中对应图形不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（25-26八年级上·广东广州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm B．3cm，3cm，7cm C．2cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm 3．（本题3分）（2016·四川资阳·中考真题）世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 5．（本题3分）（25-26八年级上·山西·月考）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 8．（本题3分）（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（25-26七年级上·山东济南·月考）用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ④过点作射线，即为所求作的角； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点． 则下列排序正确的是（　 　） A．①③②④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 10．（本题3分）（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 11．（本题3分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，，平分，平分，，过点作 ，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 12．（本题3分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）（25-26八年级上·河南濮阳·月考）如图，学校门口的移动拒马是由三角形结构构成的，这样做的道理是 ． 14．（本题4分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）因式分解： ． 15．（本题4分）（25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 16．（本题4分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)． 18．（本题10分）（22-23八年级下·山西运城·期末）在解分式方程时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘，得        （第一步） 解这个整式方程得：                    （第二步） …… 任务一：填空 在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ． 任务二：请写出解这个方程的正确过程． 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议． 19．（本题10分）（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)直接写出的面积 ； (2)已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； (3)点与点关于x轴对称，求的值． 20．（本题10分）（2025·宁夏银川·一模）先化简，再求值：，其中． 21．（本题10分）（21-22八年级上·吉林·期末）如图，在中，，．于点E，平分． （1）求证； （2）求的度数． 22．（本题12分）（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 23．（本题12分）（25-26八年级上·河北石家庄·月考）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 24．（本题12分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）（1）【特例感知】 已知：，，，·…… 猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25． 证明：设此两位数的十位数字是m，…… 请完成上述剩余证明过程． （2）【类比迁移】 观察下列等式： ；；； ； ①请写第四个等式的结果； ②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律： 十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位． 例如 请写出一个满足此规律的一个等式： ；（不得抄写已给出的4个等式） ③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b．请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性． 25．（本题12分）（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图，在中，，若，则______度； 【问题探究】 （2）如图，在中，点在边上，，线段与线段关于直线对称，点的对应点为点，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在上，，点，分别是，边上的动点，连接，，，当点，在运动过程中，的周长最小时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $