专题03 空间向量与立体几何（期末复习讲义，知识必备+10大题型精讲+过关测）高二数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义以“空间向量与立体几何”为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分层呈现空间向量概念、运算、基本定理及位置关系证明、空间角求解等知识，用对比表格明晰向量坐标表示与应用的逻辑联系，突出重点题型与内在知识脉络。 讲义亮点在于“题型分类+解题技巧”双轨设计，如向量法证明线面垂直时结合方向向量与法向量关系，求异面直线夹角时强调方向向量夹角公式，培养数学思维与空间观念。分层练习覆盖基础通关、重难突破及综合拓展，适配不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供清晰路径。

专题03 空间向量与立体几何（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量及其运算 了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义。 常考题型，小题考查。 空间向量基本定理 了解空间向量的基本定理及其意义。 常考题型，小题或多选题考查。 向量法证明空间中的位置关系 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系。2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理。 重点考查题型，综合性强，考查空间想象力和逻辑推理能力。 向量法求空间角 1.掌握空间向量的应用. 2.会用空间向量求空间角. 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 方向相同或者相反的两个非零向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的数量积 (1)两向量的数量积：两个非零向量a与b的数量积定义为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 知识点02 空间向量基本定理 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}称为空间的一个基底. 知识点03 空间向量与线面位置关系 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1＝λv2 l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2＝0 直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n l∥α v⊥n⇔v·n＝0 l⊥α v∥n⇔n＝λv 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 知识点04 向量法求空间角 1.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为v1，v2，则 cos θ＝|cos〈v1，v2〉|＝. 2.直线和平面所成的角 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈v，n〉|＝. 3.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不小于0°且不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. (2)两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. [常用结论与微点提醒] 1.确定平面的法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定. (2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由求得. 2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 题型一 空间直角坐标系 【典例1】（24-25高二上·山东·期中）已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】由距离公式计算． 【详解】由题意， 故选：B． 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为中点可得点坐标，结合空间两点距离公式计算即可得. 【详解】由、可得， 故. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 题型二 空间向量与向量运算 解｜题｜技｜巧 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求. (2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量. 【典例1】（23-24高二上·安徽·期末）已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：D 【典例2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 【变式1】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 题型三 空间向量基本定理 【典例1】（2025高二上·福建厦门·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·广东·期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，应用，，表示出，即可得. 【详解】由 . 故选：B 【变式1】（19-20高二上·河北·月考）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 题型四 空间向量运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，再利用模长公式即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（      ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法、数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由题得，， ， 则． 故选：． 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 题型五 平面的法向量 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，设平面的一个法向量为，利用求出法向量. 【详解】如图由已知得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得. 故选：D. 题型六 向量法证明平行和垂直关系 解｜题｜技｜巧 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ， ， ，根据空间向量的数量积运算可得 ，进而可得 平面 . 【详解】设 ， ， ， 则 为空间所有向量的一个基底，且 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ，又 ，平面， 平面 . 故选：C 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 题型七 向量法求异面直线的夹角 解｜题｜技｜巧 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos 〈v1，v2〉|＝求解. 【典例1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，求得，进而求得直线与直线所成的角，得到答案. 【详解】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角. 【详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 题型八 向量法求直线与平面的夹角 解｜题｜技｜巧 向量法求直线与平面所成角的方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【典例1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解. 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A 【变式1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可得到结果. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，,,,， ,,， 设平面的法向量为， 即，取，， 设与平面所成角为, ， 故选：B. 题型九 向量法求二面角 解｜题｜技｜巧 [满分规则] ❶得步骤分 ①处通过证明线⊥线⇒线⊥面⇒线⊥线，注意应用相关定理的条件要完整，否则易失步骤分. ❷得关键分 ②处求出各点与向量的坐标，特别是求出点F的坐标是解题的关键，此处出错会导致(2)题至多得1分. ❸得计算分 ③处求平面的法向量及应用公式求角的正弦值、余弦值，要注意计算准确. 【典例1】（17-18高三·甘肃武威·单元测试）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求两个平面法向量的夹角，再根据两个平面所成的二面角与法向量的夹角相等或互补求二面角. 【详解】，即． 两平面所成二面角为或. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 题型十 空间向量的综合应用 【典例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）证明：连接，    因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． （2）因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 【典例2】（24-25高二下·甘肃张掖·期中）如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． (3)求点C到平面的距离． 【详解】（1）证明：由，，， 则， ∴，则， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面， 故平面平面． （2）由，点为中点，得， 因为，得，则， 所以。则， 以点为原点，以平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 由得，， 取，得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，则， 因此，则二面角的正弦值为．    （3）由（2）知，，平面的法向量， 则点C到平面的距离． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面. （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． ∴． （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 2．已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 3．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 二、多选题 4．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量判定空间位置关系一一判定选项即可. 【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 5．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    【答案】 【分析】分别求出点和点的坐标，从而得到的坐标. 【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 四、解答题 6．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. （2）由（1）可知，，，则. （3）因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 2．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 3．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设异面直线与所成角大小为， 则. 故选：A 二、多选题 4．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】借助模长公式可得A；借助向量平行的充要条件计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D. 【详解】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 5．如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】如图建系，写出相关点和向量的坐标，求得平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则. 故答案为：. 四、解答题 6．如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2）由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：     则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 7．如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中 ，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得余弦值，再求正弦值即可. 【详解】（1）因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则、、、、. 于是，，, 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又，显然，，故得平面. （2）设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 而平面的法向量是， 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 2．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量，利用向量法求得点P到平面EFG的距离，进而利用球的性质求得Q点所在圆的半径，即可求解. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 如图所示. 则，， 设平面EFG的法向量为，则即， 令，则，， 又，所以点P到平面EFG的距离， 因为，所以Q在以P为球心半径的球面上，又平面EFG， 所以Q的轨迹为球面与平面EFG的交线（一个圆）， 设该圆的半径为，则由球的性质可知， 所以Q的轨迹长度（圆的周长）为. 故选：D 3．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用空间向量求出点到平面距离判断C；确定体积关系判断D. 【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令，， 对于A，，若，则，必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B，， ，则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得， 点到平面距离，当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为， 而，则，D错误. 故选：C 二、多选题 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．直线经过点，则点到的距离为 D．直线的方向向量，平面的法向量，则 【答案】BC 【分析】对A，由，得到为钝角或平角判断；对B，假设三个向量共面，则是否成立判断；对C，根据，可得为所求；对D，根据与是否共线判断. 【详解】对A：由，所以为钝角或平角，故A错误； 对B：假设共面，则存在，使得成立. 则，无解，所以假设不成立，即不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C：因为，， ，所以， 所以即为点到的距离，又，故C正确； 对D：因为不存在实数使得，所以与不共线，所以不成立，故D错误. 故选：BC 5．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，建立空间直角坐标系并求出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B，C，D. 【详解】对于A，， 即，故A错误； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 对于B，，，设， 则点到直线的距离，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以， 即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 6．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 7．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 8．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证： 平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得，再计算几何体的体积即可； 【详解】（1） 证明：取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）解：设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，设，， 所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以， 所以，. 9．如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取中点，先证平面，再通过线面垂直得到线线垂直. （2）先根据台体的体积公式求台体的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量和线面角的正弦值求点的坐标，确定点位置. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （2）设中点为，连接，则. 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面. 又底面，所以，， 又，所以两两垂直. 故可以为原点，所在的射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 又，所以，. 所以 ， 由 . 所以，，， 设（）. 则，，. 设平面的法向量为， 则 ，可取. 设直线与平面所成的角为， 则 . 由 ， 所以 或（因为，故舍去）. 此时与点重合. 所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量与立体几何（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量及其运算 了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义。 常考题型，小题考查。 空间向量基本定理 了解空间向量的基本定理及其意义。 常考题型，小题或多选题考查。 向量法证明空间中的位置关系 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系。2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理。 重点考查题型，综合性强，考查空间想象力和逻辑推理能力。 向量法求空间角 1.掌握空间向量的应用. 2.会用空间向量求空间角. 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 空间向量及其运算 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 方向相同或者相反的两个非零向量平行(或共线) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的数量积 (1)两向量的数量积：两个非零向量a与b的数量积定义为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 知识点02 空间向量基本定理 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}称为空间的一个基底. 知识点03 空间向量与线面位置关系 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1＝λv2 l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2＝0 直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n l∥α v⊥n⇔v·n＝0 l⊥α v∥n⇔n＝λv 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 知识点04 向量法求空间角 1.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为v1，v2，则 cos θ＝|cos〈v1，v2〉|＝. 2.直线和平面所成的角 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈v，n〉|＝. 3.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不小于0°且不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. (2)两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. [常用结论与微点提醒] 1.确定平面的法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定. (2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由求得. 2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 题型一 空间直角坐标系 【典例1】（24-25高二上·山东·期中）已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 题型二 空间向量与向量运算 解｜题｜技｜巧 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求. (2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量. 【典例1】（23-24高二上·安徽·期末）已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 【典例2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量基本定理 【典例1】（2025高二上·福建厦门·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·广东·期末）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（19-20高二上·河北·月考）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·全国·期末）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【典例2】（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（      ） A． B． C．8 D．10 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型五 平面的法向量 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 题型六 向量法证明平行和垂直关系 解｜题｜技｜巧 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【典例2】（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 题型七 向量法求异面直线的夹角 解｜题｜技｜巧 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos 〈v1，v2〉|＝求解. 【典例1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型八 向量法求直线与平面的夹角 解｜题｜技｜巧 向量法求直线与平面所成角的方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【典例1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型九 向量法求二面角 解｜题｜技｜巧 [满分规则] ❶得步骤分 ①处通过证明线⊥线⇒线⊥面⇒线⊥线，注意应用相关定理的条件要完整，否则易失步骤分. ❷得关键分 ②处求出各点与向量的坐标，特别是求出点F的坐标是解题的关键，此处出错会导致(2)题至多得1分. ❸得计算分 ③处求平面的法向量及应用公式求角的正弦值、余弦值，要注意计算准确. 【典例1】（17-18高三·甘肃武威·单元测试）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 【典例2】（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 题型十 空间向量的综合应用 【典例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【典例2】（24-25高二下·甘肃张掖·期中）如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． (3)求点C到平面的距离． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 2．已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 3．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    四、解答题 6．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 5．如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 6．如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中 ，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 2．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 二、多选题 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．直线经过点，则点到的距离为 D．直线的方向向量，平面的法向量，则 5．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 三、填空题 6．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 7．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    四、解答题 8．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证： 平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积. 9．如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $