精品解析：福建省泉州市第七中学金山校区2025-2026学年八年级上学期 第二次阶段性质量监测数学科试卷

福建省泉州市第七中学金山校区2025-2026学年八年级上学期+第二次阶段性质量监测数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 512 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出8的立方根是2，即可作答． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算规则，熟练掌握幂的运算公式，区分不同幂运算的法则是解题关键． A.不是同类项不能直接相减； B.同类项合并时，系数相加后的和作为新的系数，字母和字母的指数不变； C.幂的乘方，将指数相乘后的积作为新的指数； D.同底数幂相乘，将指数相加后的和作为新的指数． 【详解】解：A.和不是同类项，不能直接相减，运算错误； B.属于同类项合并，系数相加，结果应为，运算错误； C.幂的乘方，指数相乘，结果应为，运算错误； D.同底数幂相乘，指数相加，结果应为，运算正确． 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解，选项不符合题意； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解，选项不符合题意； C．是因式分解，选项符合题意； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解，选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等作答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则． 故选：C． 5. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B. 调查琼江河的水质情况 C. 调查某班学生视力情况 D. 调查全国初一中学生的平均身高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查，全面调查（普查）适用于调查对象数量较少、易于全面进行的情况．选项C中，某班学生数量有限，适合普查；其他选项调查范围广、对象多，适合抽样调查． 【详解】解：∵全面调查需要对所有调查对象进行逐一调查， ∴适用于对象数量少、调查简便的情况． 选项A（全市中学生）、B（整条河流）、D（全国初一中学生）对象数量多或范围广，普查成本高、难度大，不适合；选项C（某班学生）对象数量少，易于全面调查， 故选：C． 6. 工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 故， 故选：B． 7. 已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 8. 点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质得到垂直平分垂直平分，则利用线段垂直平分线的性质得，，然后计算，即可得出结果，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵点关于的对称点落在的延长线上， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 9. 已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3．则a+b的值是（ ） A. 0或-3 B. 1 C. 2或3 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】对变形为，则，互为倒数，再根据整数a，b，分析得出，都为整数，从而分情况讨论得出答案． 【详解】解： ∴，互为倒数， ∵a，b都为整数， ∴，都为整数， ∴当时，， 解得：，，此时； 当时，， 解得：，，此时； 综上可知的值是0或-3． 故答案选：A． 【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值．通过代数式的变形得到，互为倒数，再由已知条件得到，都为整数是本题的关键． 10. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 命题“两直线平行,内错角相等"的逆命题是一个______________命题（填“真”或“假”） 【答案】真； 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等， ∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行，此逆命题是真命题； 故答案为：真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 13. 小强调查“每人每天用水量”这一问题时，收集到80个数据，最大数据是72升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_______组列出频数分布表． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查组距，分组数的确定方法：组数（最大值-最小值）组距， 根据分组数的确定方法计算即可． 【详解】解：， ∴应分8组列出频数分布表． 故答案为：8． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，根据折叠的性质可得出，由“”可证，可得出，设设，则，，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出x的值，进而求出结果． 【详解】解：将沿折叠，点落在点处， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 又，， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，以三角形的三边分别作正方形，正方形，正方形，若边恰好经过点，则下列说法：①；②；③中，正确的是______．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如，表示的面积） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明，得到，即可判定①；证明，得到，即可判定②；连接，过点作于点，可证，得到，即得到点三点共线，进而可证四边形是矩形，即得，再证明，得，即得，进而由全等三角形的性质得，即可判定③，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，故①正确； ②∵正方形，正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故②错误； ③如图，连接，过点作于点，则， ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由②知，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上，正确的说法是①③， 故答案为：①③． 三、解答题（共9小题） 17. （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、绝对值、立方根、乘方，再计算加减即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用平方差以及整式的除法运算法则分别化简，进而把y的值代入得出答案． 【详解】解： ， 其中，，故原式． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】略． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是5，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算，掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算方法，进行求解即可； （2）将的值代入，根据平方根的定义，求解即可． 【小问1详解】 ∵的立方根是3，的算术平方根是5， ∴，， ∴，， ∵是的整数部分，，即， ∴． 【小问2详解】 将，，代入得：， ∴的平方根是． 21. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是泉州七中金山校区周围环境的百度地图，小明他根据百度地图绘制了一幅简略的地图如图②：把泉州七中金山校区标记为M点，旁边的鲤城区实验小学标记为N点，两条相交叉的公路表示为金洲街，表示为土地路． （1）小明现计划开一间超市，希望超市到两所学校的距离相等，到两条公路的距离也相等，且在内.你能确定超市应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． （2）请写出你的作图依据： 依据一：__________． 依据二：__________． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求： （2）到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和角平分线，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据题意，超市到和的距离相等，应在线段的垂直平分线上，点到公路，的距离相等，应该在公路，的角平分线上，因此根据垂直平分线和角平分线即可； （2）根据角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，进行解答即可． 【小问1详解】 连接，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和E，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． 【小问2详解】 解：∵超市到和的距离相等， ∴超市应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴依据一：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； 依据二：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 22. 某希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） ．家政 ．烹饪 ．剪纸 ．园艺 ．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）①本次调查的方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）； ②参与本次问卷调查的学生人数为多少人？ （2）在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数是多少？ （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 【答案】（1）①抽样调查；②参与本次问卷调查的学生人数为人 （2）第④组所对应扇形的圆心角的度数是 （3）估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）①根据题意可判断出本次调查的方式是抽样调查；②用周家务劳动时间在的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数； （）求出扇形统计图中④占本次问卷调查的学生人数的百分比，再乘以，即可求出所对应扇形的圆心角的度数； （）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：①根据题意可判断出本次调查的方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； ②（人）， 答：参与本次问卷调查的学生人数为人； 【小问2详解】 解：扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为． 答：第④组所对应扇形的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为， ∴（人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人． 23. 在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． （1）先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. （2）请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】（1）是一个有理数 （2） 证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 【解析】 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：先假设是一个有理数； 【小问2详解】 略 24. 项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：； 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升： 略 25. 【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州市第七中学金山校区2025-2026学年八年级上学期+第二次阶段性质量监测数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 8的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 512 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B. 调查琼江河的水质情况 C. 调查某班学生视力情况 D. 调查全国初一中学生的平均身高 6. 工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A. B. C. D. 7. 已知：在中，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A. B. C. 平分 D. 8. 点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3．则a+b的值是（ ） A. 0或-3 B. 1 C. 2或3 D. -2 10. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算： ． 12. 命题“两直线平行,内错角相等"的逆命题是一个______________命题（填“真”或“假”） 13. 小强调查“每人每天用水量”这一问题时，收集到80个数据，最大数据是72升，最小数据是42升，若取组距为4，则应分为_______组列出频数分布表． 14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 15. 如图，矩形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长是_________． 16. 如图，在中，，以三角形的三边分别作正方形，正方形，正方形，若边恰好经过点，则下列说法：①；②；③中，正确的是______．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如，表示的面积） 三、解答题（共9小题） 17. （1）计算：． （2）因式分解：． 18. 先化简，再求值，其中，． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是5，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是泉州七中金山校区周围环境的百度地图，小明他根据百度地图绘制了一幅简略的地图如图②：把泉州七中金山校区标记为M点，旁边的鲤城区实验小学标记为N点，两条相交叉的公路表示为金洲街，表示为土地路． （1）小明现计划开一间超市，希望超市到两所学校的距离相等，到两条公路的距离也相等，且在内.你能确定超市应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． （2）请写出你的作图依据： 依据一：__________． 依据二：__________． 22. 某希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） ．家政 ．烹饪 ．剪纸 ．园艺 ．陶艺 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）①本次调查的方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）； ②参与本次问卷调查的学生人数为多少人？ （2）在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数是多少？ （3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数． 23. 在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． （1）先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. （2）请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 24. 项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 25. 【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $