福建省厦门市杏南中学2025-2026学年高三上学期数学校本作业32（周末综合13）12.6

2025-2026学年上高三数学校本作业32（周末综合13）12.6班级 姓名 1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 6．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的取值范围为 7．（多选）设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．的最大值为 8．（多选）已知点，，动点在圆：上，则（    ） A．直线截圆所得的弦长为 B．的面积的最大值为15 C．满足到直线的距离为的点位置共有3个 D．的取值范围为 9．已知等差数列的前5项和，，则 ． 10．曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 11．已知曲线与的公切线为，则实数 . 12．若，则实数a的取值范围是 ； 13．已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．在△ABC中，角所对的边长分别为. (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15． 如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值.                   图1                                    图2 16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； ☆(3)若恒成立，求实数的取值范围. 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上高三数学校本作业32（周末综合13）12.6班级 姓名 一、单选题 1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算化简再结合复数的几何意义得出对应点即可求解. 【详解】因为，复数=，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为（5,1）,位于第三象限． 故选：C. 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可求出实数的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 故选：C. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出一元二次不等式与指数不等式，再利用交集定义计算即可得. 【详解】， ， 则. 故选：B. 4．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断. 【详解】设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 所以，都有， 所以不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可. 二、多选题 6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于A，求出解析式即可判断；对于B，分别计算化简即可判断；对于CD，由结合正弦函数性质即可求解判断. 【详解】对于A，由题得， 所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，， ， 所以，故B错误； 对于C，，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，，则，则， 所以在区间上的取值范围为，故D正确. 故选：AD 7．设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于选项A:利用等比通项公式即等差数列的判定即可判断选项A；对于选项B:求出公比，即可算数首项；对于选项C：利用等差数列前n项和公式及不等式即可判断；对于选项D：求出前n项积，即可求出最大值. 【详解】对于选项A：设公比为q，因为，所以， 故， 由为常数，故选项A正确. 对于选项B：，所以， 解得：或（舍），所以，故选项B错误. 对于选项C：，故选项C正确. 对于选项D:, 由于，其图象对称轴为， ，故或时，的最大值为，故选项D正确. 故选：ACD 8．已知点，，动点在圆：上，则（    ） A．直线截圆所得的弦长为 B．的面积的最大值为15 C．满足到直线的距离为的点位置共有3个 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D. 【详解】对于A，因为，，所以直线的方程为，圆心到直线的距离为，又因为圆的半径， 所以直线截圆所得的弦长为，A错误． 对于B，易知，要想的面积最大，只需点到直线的距离最大，而点到直线的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为，B正确． 对于C，当点在直线上方时，点到直线的距离的范围是，即，由对称性可知，此时满足到直线的距离为的点位置有2个． 当点在直线下方时，点到直线的距离的范围是，即，此时满足到直线的距离为的点位置只有1个． 综上所述，满足到直线的距离为的点位置共有3个，C正确． 对于D，由题意知． 又因为，，，所以，， 故，． 设点满足， 则，故解得即，． 所以． 又因为， 所以，即的取值范围为，，D正确． 故选：BCD 三、填空题 9．已知等差数列的前5项和，，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列的前和公式求出，进而求得公差，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等差数列的前5项和，， 则，所以， 所以，解得等差数列的公差， 则. 故答案为：. 10．曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】借助导数的几何意义计算可得曲线在处的切线，再计算出圆的圆心到该切线的距离，最后利用垂径定理计算即可得解. 【详解】，则， 则曲线在处的切线为， 圆的圆心，半径， 则点到的距离， 则弦长. 故答案为：. 11．已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】2 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，利用导数的几何意义，得出公切线斜率，再利用切点既在曲线上，又在切线上，代入方程，求得. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：2 12．若，则实数a的取值范围是 ； 【答案】{} 【详解】令则定义域为，且f（1）=0， 由题得，∀，≥0=，∴=，又在上可导,∴为函数的极值点, 又，∴即， 当时， = = 当时<0，单调递减; 当时，>0，单调递增, ∴==0，≥0成立. 综上，时a的取值范围为{} 故答案为：{} 四、解答题 13．已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，从而得出数列为等比数列，即可求出结果； （2）由（1）得出，从而得出，再利用裂项相消法即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，，两式相减得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）因为， 所以， 所以. 14．在中，角所对的边长分别为. (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先根据已知条件求出三角形的三边长，再利用海伦公式计算面积； （2）先由三角形三边关系确定的初步范围，再通过最大角对应的边的平方关系判定钝角，进而求得正整数的值 【详解】（1）由以及正弦定理得， 结合，得， 解得，则，. 半周长， 的面积. （2）由三角形三边关系，， 解得. 因，的最大角为角， 要使为钝角三角形，， 即， 代入，，得， 展开得， 化简得， 解得. 又为正整数且，故. 15．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                  图1                                    图2 (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明结论. （2）连结，利用勾股定理得，过点作，则. 以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得线面所成角的正弦值. 【详解】（1），，， ，. ，，， .又，平面， ， 平面. （2）连结. ，， ， . 过点作，则. 又平面，则，，， 以为原点，，EF，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则即 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. 【详解】（1）解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由得：， 圆的标准方程为：. （2）解：设，. 由得：， ，解得：； ，， ，， ， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【详解】（1）， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 当当， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，， 故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以， 由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数， 故函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：由得，利用的单调性得，进而根据指对互化得，，代入求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $