第5章 习题课1 运动的合成与分解的两个模型（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

习题课一　运动的合成与分解的两个模型

[学业要求]

1．会用运动合成与分解的方法分析小船渡河类问题。

2．会用运动合成与分解的方法分析绳杆连接物体类速度问题。

[对应学生用书P9]

探究点一　小船渡河模型

　小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水和随水下漂两个分运动。此类问题常常讨论以下两种情况：

1．渡河时间最短

只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，此时t短＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。

2．渡河位移最短

(1)若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示。

(2)若v水＞v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：

如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝。

　已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，则：

(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？

(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？

(3)若水流速度为v2＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？

[解析]　(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝ s＝25 s。如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为s＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得s＝125 m。

(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图乙所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，θ＝arccos ，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arccos ，所用的时间为t＝＝ s＝ s。

(3)当水流速度v2＝5 m/s大于船在静水中的速度v1＝4 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。

[答案]　见解析

　在例题中，如果用小箭头表示小船及船头的指向，下列图像中能正确反映小船渡河时间最短的是(　　)

答案　A

　(多选)湖面上有一只小船，湖面的西风给小船一个恒定的作用力，小船自身动力与风力大小相等，方向始终与小船的速度方向一致。在如图所示的正方形区域，小船初始自O点有向北的初速度v0，经过一段时间后小船驶出正方形区域，下列图线中，带箭头的图线表示小船的运动大致轨迹，可能正确的是(　　)

解析　湖面的西风给小船一个恒定的作用力，即风给小船的作用力始终向东，小船有向北的初速度，可知小船运动轨迹向东偏转，v0的方向是轨迹的切线方向，因小船自身提供的动力与速度方向相同且等于风力，可知初始状态合力方向北偏东45°，则选项A、C错误；随着小船速度方向不断偏转，合力方向逐渐靠近正东方向，即合速度方向逐渐靠近正东方向，若初速度较小，则图像为B，若初速度较大，则图像为D。

答案　BD

　(多选)在例题中，小船过河的运动轨迹如图所示。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同(且均垂直于岸边)。 由此可以确定(　　)

A．船沿AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动

B．船沿AC轨迹渡河所用的时间最短

C．船沿AD轨迹到达对岸前瞬间的速度最小

D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同

解析　加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC轨迹是匀加速运动，AB轨迹是匀速运动，AD轨迹是匀减速运动，故船沿AC轨迹过河所用的时间最短，选项D错误，A、B正确；船沿AD轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，故船到达对岸的速度最小，选项