第5章 习题课1 运动的合成与分解的两个模型（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

本讲义聚焦运动的合成与分解的两个核心模型，系统梳理小船渡河（含时间最短、位移最短两种情境）和绳杆连接物体速度问题的分析方法，构建从原理到实例的学习支架。 资料通过模型建构（如渡河分船速与水速大小关系讨论）和科学推理（速度分解逻辑）培养科学思维，结合例题变式题及交流讨论问题链引导科学探究，课中助力分层教学，课后练习题助学生巩固应用，弥补知识盲点。

习题课一　运动的合成与分解的两个模型 [学业要求] 1．会用运动合成与分解的方法分析小船渡河类问题。 2．会用运动合成与分解的方法分析绳杆连接物体类速度问题。 [对应学生用书P9] 探究点一　小船渡河模型 　小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水和随水下漂两个分运动。此类问题常常讨论以下两种情况： 1．渡河时间最短 只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，此时t短＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。 2．渡河位移最短 (1)若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，v合⊥v水，如图所示。 (2)若v水＞v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是： 如图所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝。 　已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，则： (1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？ (2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？ (3)若水流速度为v2＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？ [解析]　(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝ s＝25 s。如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为s＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得s＝125 m。 (2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图乙所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，θ＝arccos ，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arccos ，所用的时间为t＝＝ s＝ s。 (3)当水流速度v2＝5 m/s大于船在静水中的速度v1＝4 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。 [答案]　见解析 　在例题中，如果用小箭头表示小船及船头的指向，下列图像中能正确反映小船渡河时间最短的是(　　) 答案　A 　(多选)湖面上有一只小船，湖面的西风给小船一个恒定的作用力，小船自身动力与风力大小相等，方向始终与小船的速度方向一致。在如图所示的正方形区域，小船初始自O点有向北的初速度v0，经过一段时间后小船驶出正方形区域，下列图线中，带箭头的图线表示小船的运动大致轨迹，可能正确的是(　　) 解析　湖面的西风给小船一个恒定的作用力，即风给小船的作用力始终向东，小船有向北的初速度，可知小船运动轨迹向东偏转，v0的方向是轨迹的切线方向，因小船自身提供的动力与速度方向相同且等于风力，可知初始状态合力方向北偏东45°，则选项A、C错误；随着小船速度方向不断偏转，合力方向逐渐靠近正东方向，即合速度方向逐渐靠近正东方向，若初速度较小，则图像为B，若初速度较大，则图像为D。 答案　BD 　(多选)在例题中，小船过河的运动轨迹如图所示。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同(且均垂直于岸边)。 由此可以确定(　　) A．船沿AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动 B．船沿AC轨迹渡河所用的时间最短 C．船沿AD轨迹到达对岸前瞬间的速度最小 D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同 解析　加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC轨迹是匀加速运动，AB轨迹是匀速运动，AD轨迹是匀减速运动，故船沿AC轨迹过河所用的时间最短，选项D错误，A、B正确；船沿AD轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，故船到达对岸的速度最小，选项C正确。 答案　ABC ●核心素养·思维升华 如何正确求解渡河问题 (1)小船同时参与随水漂流和在静水中的运动，两个运动互不干扰，且这两个运动具有等时性。 (2)渡河时间由垂直河岸方向船的分速度决定，与河水速度无关。 1．(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是(　　) A．船渡河的最短时间为100 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度为7 m/s 解析　由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直航行时时间最短，tmin＝＝100 s，选项A、B正确；由题图甲可知水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹并不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误。 答案　AB 探究点二　关联速度分解模型 [交流讨论] 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为θ，则船的速度是多大？ 答：(1)不相等　(2)不相等，B的大　(3)沿绳子方向和垂直于绳子的方向　(4) [归纳总结] 1．情境 在实际生活中，常见到物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图所示。 2．规律 由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3．速度分解的方法 物体的实际运动就是合运动。 (1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解。 (2)以上所说的“速度”沿绳方向的分量指的是“瞬时速度”，而不是“平均速度”。 (3)方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。 　(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则(　　) A．人拉绳行走的速度为v cos θ B．人拉绳行走的速度为 C．船的加速度为 D．若人的拉力F为恒力，此后船做匀加速直线运动 [解析]　船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v cos θ，故A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此F cos θ－f＝ma，解得a＝，随着船向左运动，θ 变大，船的加速度变小，故C正确，D错误。 [答案]　AC 　(多选)在例题中，若人在岸上拉船，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，则此时(　　) A．人拉绳行走的速度为 B．若船保持匀速前进，则人做减速运动 C．若人保持匀速前进，则船做加速运动 D．若人保持匀速前进，则船也是匀速运动 解析　船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和垂直绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则有v人＝v cos θ，若船保持匀速前进，而夹角θ增大，则cos θ减小，则人做减速运动，故A错误，B正确；由v人＝v cos θ 可得v＝，若人保持匀速前进，而夹角θ增大，则cos θ减小，则船做加速运动，故C正确，D错误。 答案　BC 　(多选)在例题中，若人在岸上拉船，已知滑轮到水面高度为h，小船做匀速运动，小船运动过程中所受水平阻力不变。在船靠岸的过程中，下列说法正确的是(　　) A．人拉船的力不断增大 B．小船受到的浮力不断增大 C．人收缩绳的速度保持不变 D．人收缩绳的速度越来越小 解析　对小船进行受力分析，因为小船做匀速直线运动，所以小船处于平衡，设拉力与水平方向的夹角为θ，有F cos θ＝f，…，F sin θ＋F浮＝mg，…，船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力不变，绳子的张力增大，拉力增大，sin θ增大，所以船受到的浮力减小，故A正确，B错误；绳子的速度，即为人的速度，根据运动的合成与分解，则有v船cos θ＝v绳，因θ在增大，且船匀速，所以人收缩绳的速度越来越小，故C错误，D正确。 答案　AD 2．(2025·黑吉辽内蒙古卷)如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　) A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解析　设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得v块cos θ＝v sin θ 解得v＝ 由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。故选B。 答案　B [对应学生用书P12] 1．一艘渡船荡起双桨之后，在河中航行。现从码头出发，船头垂直于河岸，以恒定速度v(相对于水)匀速向对岸行驶。若河水相对中心位置对称的位置的流速相同，在空中看到该船行驶的轨迹如图所示，关于中点O对称，轨迹上有a、b两点也关于O对称。则在航行的整个过程中，若用箭头的长短来描述箭头起点处河水的流速大小，箭头的方向来描述该点流速的方向，则以下正确的是(　　) 解析　根据实际轨迹可知，越靠近河中央水流速度越大，则越靠近河中央，表示速度的线段越长，且速度大小关于河中央对称，故选C。 答案　C 2．如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升。若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，则下列关系式正确的是(　　) A．v2＝v1 B．v2＝ C．FT＝mg D．FT>mg 解析　如图所示，将小车的速度v1向垂直轻绳和沿轻绳方向分解，则沿轻绳方向分解的速度v′＝v1cos θ，故物体的速度v2＝v1cos θ，A、B错误；由于角θ逐渐减小，cos θ变大，故v2逐渐变大，物体加速度向上，处于超重状态，FT＞mg，C错误，D正确。 答案　D 3．如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在过河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达正对岸的C点；若出发时船头指向正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求： (1)小船在静水中的速度v1的大小； (2)河水的流速v2的大小； (3)在第二次过河中小船被冲向下游的距离sCD。 解析　(1)小船从A点出发，若船头指向正对岸的C点，则此时过河时间最短，故有 v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。 (2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时过河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，cos α＝0.6，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。 (3)在第二次过河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。 答案　(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m 学科网（北京）股份有限公司 $