7.3.1 离散型随机变量的均值-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，通过西瓜重量问题引入，抽象出均值定义（加权平均数），梳理其反映取值平均水平的意义及E(aX+b)=aE(X)+b的性质，衔接两点分布均值，形成从具体情境到抽象概念再到性质应用的学习支架。 资料以生活实例（如促销优惠、付款期数利润）为情境，引导学生抽象均值概念培养数学抽象，通过一题多变和分层练习提升数学运算，在实际问题建模中发展数学建模。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 学业标准 素养目标 1．能记住离散型随机变量均值的意义和性质，能计算简单离散型随机变量的均值．(重点) 2．会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平．解决一些相关的实际问题．(重点、难点) 1．通过离散型随机变量的均值概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过离散型随机变量均值的定义和性质的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养． [对应学生用书P42] 导学　离散型随机变量的均值 　设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6kg，5个重7 kg. (1)任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？ [提示]　X＝5，6，7. (2)X取上述值时，对应的概率分别是多少？ [提示]　P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝. (3)如何求每个西瓜的平均重量？ [提示]　＝5×＋6×＋7×＝. ◎结论形成 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xnpn__＝__xipi__为随机变量X的均值或数学期望，简称期望． (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的__平均水平__． (3)性质：E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__． 2．两点分布的均值，如果随机变量X，服从两点分布，那么E(X)＝__p__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) (4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)等于(　　) A．　　　　　　　　 B．2 C． D．3 解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案　A 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0 B． C．1 D．－1 解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝， 所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0. 答案　A 4．设E(X)＝4，则E(2X－5)＝________． 解析　E(2X－5)＝2E(X)－5＝3. 答案　3 [对应学生用书P43] 题型一　求离散型随机变量的均值 　某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字).若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠． (1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”； (2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E(X). [解析]　(1)个位数字为4的“三位递减数”有984，974，964，954，874，864，854，764，754，654，共10个． (2)由题意，不同的“三位递减数”共有C＝120(个). 小明得到的优惠金额X的取值可能为5，3，1. 当X＝5时，三个数字之和可能为20或10， 当三个数字之和为20时，有983，974，965，875，共4个“三位递减数”； 当三个数字之和为10时，有910，820，730，721，640，631，541，532，共8个“三位递减数”， 所以P(X＝5)＝＝. 当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”， 故P(X＝3)＝＝＝. 故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－－＝. 所以他得到的优惠金额X的分布列为 X 5 3 1 P 数学期望E(X)＝5×＋3×＋1×＝2.2(万元). [素养聚焦]　均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．在解答此类问题的过程中，提升数学建模和数学运算核心素养． 解答均值运用问题的三个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． [触类旁通] 1. 一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望． 解析　(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝， 所以P(A)＝1－P(B)＝. (2)X的取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝. 题型二　离散型随机变量均值的应用 　[教材例3·拓展]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润． (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求Y的分布列及均值E(Y). [解析]　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”． P()＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)Y的可能取值为200元，250元，300元． P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4， P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y的分布列为 Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元). 1．实际问题中的均值问题 对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论，对实际问题作出判断． 2．概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． [触类旁通] 2．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 解析　(1)设下周一无雨的概率为p， 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6， 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a， 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以． 题型三　离散型随机变量均值的性质　(一题多变) 　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________． [解析]　由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1， 解得m＝， ∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×＝. [答案]　 [母题变式] (变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值． 解析　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ). [触类旁通] 3．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P m n A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12＋7＝34. 所以2m＋3n＝，① 又＋m＋n＋＝1， 所以m＋n＝，② 由①②可解得m＝. 答案　A 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的均值． 2．离散型随机变量的均值的性质． 3．两点分布的均值． 解题时常出现不会应用均值对实际问题作出正确分析． [必备知识·基础巩固] 1．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2　　　　　　　 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3， 解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 答案　C 2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案　B 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　) A． B． C． D．1 解析　X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以E(X)＝1×＋2×＝. 答案　A 4．(多选题)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 解析　由题意和分布列的性质，得 0．5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正确． 答案　ABC 5．一射手对箭靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 解析　X的可能取值为3，2，1，0， P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案　2.376 6．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________． 解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3， 即30a＋10b＝3，① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1， 即10a＋4b＝1，② 由①②，得a＝，b＝0. 答案　　0 7．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________． 解析　当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离ξ＝； 当k为±时，ξ＝；当k为±时，ξ＝； 当k为0时，ξ＝1.由古典概率公式可得分布列如下： ξ 1 P 故E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 答案　 8．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求： (1)抽取次数X的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解析　(1)由题意知，X取值为1，2，3. P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝； P(X＝3)＝×＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池． [关键能力·综合提升] 9．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析　由分布列的性质得＋＋m＝1，∴m＝. ∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝， ∴a＝2. 答案　B 10．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．5 D．2 解析　设白球x个，则黑球(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3. 答案　A 11．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<3)，且三人是否应聘成功是相互独立的．若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，则t＝______，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是________． 解析　依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2， 所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0，1，2， P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝0)＝×＝， 则E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝. 答案　2　 12．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________． 解析　P(ξ＝2)＝＝. ξ的所有可能取值为1，2，3，4. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 答案　　 13．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解析　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意，X的所有的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝(1－p)2， 则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3， 依题意有E(X)>1.75， 则p2－3p＋3>1.75， 解得p>或p<， 结合p的实际意义，可得0<p<， 即p∈. 结合选项可知AB正确． 答案　AB 15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解析　(1)记甲学校获得冠军为事件A， 则P(A)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6， 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0，10，20，30， 则P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＝0.44， P(X＝20)＝0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06， 故X的分布列为 X 0 10 20 30 P(X) 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望值为E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 学科网（北京）股份有限公司 $