6.3.2 二项式系数的性质-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，通过杨辉三角的直观观察引导学生发现对称性、增减性与最大值、系数和等规律，构建“观察-归纳-应用”的学习脉络，辅以性质表格、例题解析等支架助力理解。 资料以问题链驱动探究，结合杨辉三角图示培养数学抽象与直观想象，通过赋值法求系数和、最大项判定等例题及变式训练提升数学运算与逻辑推理能力。课中辅助教师引导学生自主建构，课后可通过分层练习巩固知识、弥补薄弱点。

6．3.2　二项式系数的性质 学业标准 素养目标 1．能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．(重点) 2．会用“赋值法”求展开式系数的和．(难点) 1．通过对二项式系数性质的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用二项式系数的性质解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P22] 导学　二项式系数的性质 　(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (1)从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ [提示]　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． (2)计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ [提示]　2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. (3)二项式系数的最大值有何规律？ [提示]　n＝2，4，6时，中间一项最大；n＝3，5时，中间两项最大． ◎结论形成 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“__等距离__”的两项的__二项式系数__相等 增减性与 最大值 当二项式的幂指数n是偶数时，中间的一项 取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于__2n__，即C＋C＋C＋…＋C＝__2n__ 奇数项的二项式系数之和等于__偶数__项的二项式系数之和，都等于2n-1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n-1__ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) (4)令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1　　　　　　 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 解析　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C. 答案　C 3．(多选题)若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第3项　 B．第4项 C．第5项　 D．第6项 解析　∵的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴C＝C，∴n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项． 答案　CD 4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝C(－3)4-k(2x)k， ∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 答案　－15 [对应学生用书P23] 题型一　与杨辉三角有关的问题 　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19. [解析]　由杨辉三角可知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，……，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 故S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝＋C＝274. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 [触类旁通] 1．如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3? 解析　杨辉三角中的每个数均为二项式系数，第n行中从左至右第k个数为C. 由题意得C∶C＝2∶3，∴2C＝3·C， 即2·＝3·， 2(n－13)＝3×14，∴n＝34. 故在第34行中的第14个数与第15个数之比为2∶3. 题型二　求二项展示式的系数和　(一题多解) 　[教材例3·拓展]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [解析]　(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1， 则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由得 a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256. (3)由得 a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一　∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6) ＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [触类旁通] 2．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝________；a1＋a2＋a3＋a4＝______． 解析　令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3·(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x， 则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24， 故a1＋a2＋a3＋a4＝15. 故答案为1，15. 答案　1　15 题型三　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项　(一题多变) 　在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解析]　Tk＋1＝C·()8-k·＝(－1)k·C·2k·x. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5＝C·24·x＝1 120x-6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [母题变式] 1．(变结论) 在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项． 解析　由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x-11＝1 792x-11.系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x＝－1 792x. 2．(变条件)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． 解析　由题意知n＝8， 通项为Tk＋1＝(－1)k·C··x， 令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项， 且T7＝(－1)6··C＝7. [素养聚焦]　解决二项展开式中系数最大的项或二项式系数最大的项的方法是解不等式(组)或利用结论，在此过程中提升数学运算等核心素养． 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得. [触类旁通] 3．(1)(多选题)(2025·武汉高二期末)若展开式的所有二项式系数之和为64，则下列说法中正确的有(　　) A．n＝6 B．展开式中所有项的系数和为－1 C．展开式中的常数项为－160 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项 (2)在二项式(x＋1)11的展开式中，系数最大的项的系数为________(结果用数值表示). 解析　(1)对于A，由二项式系数和为64，得2n＝64，解得n＝6，故A正确； 对于B，令x＝1得＝(－1)6＝1，故B错误； 对于C，展开式通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)kx2k-6， 令2k－6＝0，得k＝3，即常数项为T4＝C(－2)3x0＝－160，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数为C，C，…，C，最大的为C，对应的是第4项，故D错误． 故选AC. (2)二项式(x＋1)11的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx11-k，所以当k＝5或k＝6时，其系数最大，则最大系数为C＝C＝462. 答案　(1)AC　(2)462 知识落实 技法强化 1．二项式系数的性质． 2．赋值法求各项系数的和． 在赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项． [必备知识·基础巩固] 1．已知(x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．210　　　　　　　 B．0 C．1 D．－1 解析　令x＝0，得a0＝(－1)10＝1， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(1－1)10＝0， 所以a1＋a2＋…＋a10＝－1. 故选D. 答案　D 2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　) A．180 B．－180 C．45 D．－45 解析　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180. 答案　A 3．(多选题)(2025·菏泽高二期末)关于的二项展开式，下列说法正确的是(　　) A.展开式在合并同类项之后共有7项 B．展开式中常数项为15 C．展开式的系数之和为1 D．展开式的最后一项的系数最大 解析　对于A，由于n＝6，故展开式共有7项，A正确； 对于B，的通项为C(x2)6-r＝C(－2)rx12-3r，r＝0，1，2，3，4，5，6， 故常数项为C(－2)4x12-3×4＝240，故B错误； 对于C，令x＝1，则系数和为＝1，故C正确； 对于D, 展开式的最后一项的系数为C(－2)6＝64<240，因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误； 故选AC. 答案　AC 4．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40　　 B．41 C．－40　　 D．－41 解析　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①； 当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②； ①＋②，得a0＋a2＋a4＝41. 答案　B 5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为________． 解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x. 答案　－160x 6．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为________． 解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， 再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10， 两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝. 答案　 7．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b，c，d是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a＝8时，c＝______，d＝________． 解析　观察发现：第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝＋1. 所以当a＝8时，c＝9，d＝＋1＝37. 答案　9　37 8．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 解析　(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1. (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10， 偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为； ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， 故偶数项系数的和为. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)设二项式的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 解析　因为展开式的第5项为T5＝Cx-4，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD. 答案　CD 10．(多选题)已知(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　) A．a0＝22 025 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D．a0＋＋＋＋…＋＝－1 解析　对于A：令x＝0，可得a0＝(－2)2 025＝－22 025，故A错误； 对于B：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝12 025＝1，故B正确； 对于C：令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝(－5)2 025＝－52 025， 结合选项B，两式作差，可得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 025)＝52 025＋1， 即a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，故C正确； 对于D：令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝(－1)2 025＝－1，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 11．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 解析　由题a2＝1×C·(－1)3＋2×C·(－1)2＝8. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0. 令x＝0，则a0＝2. 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案　8　－2 12．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第____________行；第62行中1的个数是______． 解析　由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1. 答案　2n－1　 32 13．若(a>0)的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31. (1)求实数n和a的值； (2)求(1＋3x＋x4)的展开式中x2的系数． 解析　(1)因为(a>0)的展开式中所有项的二项式系数之和为32，所以2n＝32，n＝5. 又因为(a>0)的展开式中前3项的系数之和为31， 所以C(－a)0＋C(－a)1＋C(－a)2＝31， 整理得2a2－a－6＝0， 解得a＝－或a＝2，又a>0，所以a＝2. (2)的展开式中第k＋1项为 Tk＋1＝C(x2)5-k＝C(－2)kx10-3k， 令10－3k＝2，可得k＝，不合题意， 所以Tk＋1中不含x2的项， 令10－3k＝1，可得k＝3， 所以T4＝C(－2)3x10-3×3＝－80x； 令10－3k＝－2，可得k＝4， 所以T5＝C(－2)4x10-3×4＝80x-2. 则(1＋3x＋x4)的展开式中x2的项为T4·3x＋T5x4＝－240x2＋80x2＝－160x2， 所以(1＋3x＋x4)的展开式中x2项的系数为－160. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)(2025·合肥高二期末)若x4＋(x＋1)7＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a7(x＋2)7，则下列说法正确的是(　　) A．a0＝1 B．a3＝27 C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1 D．a0＋a2＋a4＋a6＝－23 解析　当x＝－2时，(－2)4＋(－1)7＝a0＝15，故A错误； x4＋(x＋1)7＝[(x＋2)－2]4＋[(x＋2)－1]7，则(x＋2)3的系数为－2C＋C(－1)4＝27， 即a3＝27，故B正确； 当x＝－1时，(－1)4＋0＝a0＋a1＋…＋a7＝1，故C正确； 当x＝－3时，(－3)4＋(－2)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝－47， 又a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1， 所以2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－46， 则a0＋a2＋a4＋a6＝－23，故D正确； 故选BCD. 答案　BCD 15．已知fn(x)＝(1＋x)n. (1)若f2 025(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，求a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025的值； (2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数． 解析　(1)因为fn(x)＝(1＋x)n， 所以f2 025(x)＝(1＋x)2 025， 又f2 025(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025， 所以f2 025(1)＝a0＋a1＋…＋a2 025＝22 025，① f2 025(－1)＝a0－a1＋…＋a2 024－a2 025＝0，② ①－②，得2(a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025)＝22 025，所以a1＋a3＋…＋a2 023＋a2 025＝22 024. (2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C＋3C＝99. 学科网（北京）股份有限公司 $