6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦分类加法计数原理与分步乘法计数原理，承接初中简单计数基础，通过班级选代表等情境导学，结合问题链引导学生抽象原理，辅以判断题、例题及变式练习，为排列组合学习奠定支架。 资料特色在于情境化问题驱动，从学生熟悉场景切入培养数学眼光，通过自主归纳原理发展逻辑推理，分层练习覆盖基础与创新，课中助力教师授课，课后便于学生查漏补缺，提升数学建模与运算素养。

6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学业标准 素养目标 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．(难点) 1．通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象、逻辑推理核心素养． 2．在利用两个计数原理解决简单实际问题的过程中，提升数学建模、数学运算核心素养． [对应学生用书P1] 导学1　分类加法计数原理 　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果按照性别来分类，选1名同学任课代表的方案可分几类？ [提示]　可分两类，即选男同学、选女同学． (2)这几类方案中各有几种方法？ [提示]　第1类方案(选男同学)有22种方法，第2类方案(选女同学)有18种方法． (3)选1名同学任课代表一共有多少种不同的方法？ [提示]　共有22＋18＝40种不同的方法． ◎结论形成 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m＋n__种不同的方法． 导学2　分步乘法计数原理 　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名男同学和1名女同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果每次选1名同学任课代表，那么选2名同学任课代表需要分几步完成？ [提示]　分两步完成，第1步选男同学任课代表，第2步选女同学任课代表． (2)完成每一步各有几种方法？ [提示]　第1步选男同学任课代表有22种方法，第2步选女同学任课代表有18种方法． (3)选1名男同学和1名女同学任课代表一共有多少种方法？ [提示]　共有22×18＝396种方法． ◎结论形成 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m×n__种不同的方法． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某商场共有4个门，购物者从一个门进，从另一个门出，不同的走法种数是(　　) A．8　　　 B．7　　　 C．11　　　 D．12 解析　要完成这件事需两个步骤：第一步进门有4种方法；第二步出门有3种方法，两步全部完成才能完成这件事，所以完成这件事共有4×3＝12种方法． 答案　D 3．已知集合M＝{－2，1，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　) A．18 B．17 C．16 D．10 解析　分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内． 答案　B 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 解析　第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36个虚数． 答案　36 [对应学生用书P2] 题型一　分类加法计数原理 　某校高三共有三个班，各班人数如下表． 男生数 女生数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ [解析]　(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法． (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法． 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [触类旁通] 1．(2025·西宁高二期末)小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为(　　) A．14　　 B．19　　 C．90　　 D．200 解析　按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4＋10＋5＝19. 故选B. 答案　B 题型二　分步乘法计数原理　(一题多变) 　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复) [解析]　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码． [母题变式] (变条件)若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 解析　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9； 第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8； 第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040个四位数的号码． 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [触类旁通] 2．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数；(2)三位偶数． 解析　(1)三位数有三个数位： 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数． (2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2，4中选1个数字，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数． 题型三　两个计数原理的辨析 　[教材例3·提升]书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书． (1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ (2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ (3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？ [解析]　(1)由于书架上有3＋5＋6＝14本书， 则从中任取一本，共有14种不同的取法． (2)由题意分步完成， 第一步：任取一本数学书，有3种取法； 第二步：任取一本语文书，有5种取法； 第三步：任取一本英语书，有6种取法； 由分步乘法计数原理，得共有3×5×6＝90种不同的取法． (3)取两本不同科目的数，可以分三种情况： ①一本数学书和一本语文书，有3×5＝15种情况； ②一本数学书和一本英语书，有3×6＝18种情况； ③一本语文书和一本英语书，有5×6＝30种情况； 根据分类加法计数原理，共有15＋18＋30＝63种情况． [素养聚焦]　在利用两个计数原理解决实际应用问题的过程中，把数学建模、数学运算核心素养体现在解题过程中． 1．当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． 2．分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当的画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 3．混合问题一般是先分类再分步． [触类旁通] 3．如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解析　要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走； 第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走． 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6种不同的走法． 第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法． 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8种不同的走法． 知识落实 技法强化 1．分类加法计数原理． 2．分步乘法计数原理． 完成一件事情时，“分类”与“分步”不清，导致计数错误． [必备知识·基础巩固] 1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7　　　　　　　　　 B．12 C．64 D．81 解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种同的配法． 答案　B 2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 解析　分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3＋4＋2＝9种不同的走法． 答案　B 3．若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)的个数为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 解析　当x＝1时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对； 当x＝2时，y＝1，2，3，共构成3个有序自然数对； 当x＝3时，y＝1，2，共构成2个有序自然数对； 当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10个有序自然数对． 答案　D 4．(多选题)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有(　　) A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 解析　对于A中，从国画中选一幅有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法， 由分类计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法，所以A正确； 对于B中，从国画、油画、水彩画各选一幅分别有5种、2种、7种不同的选法， 根据分步计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法，所以B正确； 对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10种不同的选法； 若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35种不同的选法； 若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14种不同的选法， 由分类计数原理，可得共有10＋35＋14＝59种不同的选法，所以C正确； 对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成： 第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法； 第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法， 根据分步计数原理，不同挂法的种数是5×4＝20，所以D错误． 故选ABC. 答案　ABC 5．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种． 解析　由分步乘法计数原理得4×4＝16. 答案　16 6．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法． 解析　对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5种不同的方法． 对于图2，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上A中的一个开关； 第二步，合上B中的一个开关， 故有2×3＝6种不同的方法． 答案　5　6 7．用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个． 解析　分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个； 第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个． ∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个). 答案　15 8．某公司组织本单位职工进行体检，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解析　从O型血的人中选1人有28种不同的选法； 从A型血的人中选1人有7种不同的选法； 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理． 有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． (2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法． [关键能力·综合提升] 9．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 解析　小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，选C. 答案　C 10．(多选题)已知集合A＝{－1，2，3，4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 解析　当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6个，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2，3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3个，选项D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C错误． 答案　ABD 11．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 解析　分两步安排这8名运动员． 第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24种方法；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种).所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种). 答案　2 880 12．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共________个，其中不同的偶函数共______个．(用数字作答) 解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3×3×2＝18(个). 若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个). 答案　18　6 13．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解析　(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种). (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种). (3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法． 所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种). [核心价值·探索创新] 14．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　) A．26 B．24 C．20 D．19 解析　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19. 答案　D 15．集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标． (1)可以得到多少个不同的点？ (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 解析　(1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24个不同的点． (2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8个不同的点． 学科网（北京）股份有限公司 $