阶段测评(二)(1.3～1.4)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

 阶段测评(二)(§3～§4)

(时间：50分钟　分值：100分)

一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝8a2＋5a1，则数列{an}的公比是(　　)

A．2    B．－或2

C．    D．或－2

解析　设等比数列{an}的公比为q.因为3S3＝8a2＋5a1，所以3(a1＋a2＋a3)＝8a2＋5a1，所以3a3＝5a2＋2a1，所以3a1q2＝5a1q＋2a1.又因为an>0，所以3q2＝5q＋2，解得q＝2或q＝－(舍)，故选A.

答案　A

2．(2025·四川广元高二期中)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a3，且a4与a6的等差中项为，则S4＝(　　)

A．15    B．30

C．36    D．78

解析　不妨设等比数列{an}的公比为q，由a2a5＝2a3可得aq5＝2a1q2，因为an>0，q>0，所以a4＝a1q3＝2　①，又由a4与a6的等差中项为，可得a4＋a6＝，即a4(1＋q2)＝　②，

将①代入②，可得q＝，回代入①，解得a1＝16，

于是S4＝＝＝30.故选B.

答案　B

3．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意正整数n，a2n－1＞a2n”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　若a2n－1＞a2n，则a1q2n-2＞a1q2n-1，

即a1q2n-2(1－q)＞0，

∵a1＞0，q2n-2＞0，∴1－q＞0，∴q＜1.

∵(－∞，0)(－∞，1)，

∴“q＜0”是“对任意正整数n，a2n－1＞a2n”的充分不必要条件．故选A.

答案　A

4．(2025·河北衡水中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn－6＝2an，则的值为(　　)

A．    B．

C．    D．－

解析　当n＝1时，得3a1－6＝2a1，解得a1＝6；

由3Sn－6＝2an，得3Sn＋1－6＝2an＋1，两式相减得3an＋1＝2an＋1－2an，

整理得an＋1＝－2an，故数列{an}是以6为首项，－2为公比的等比数列，

所以an＝6×(－2)n-1，Sn＝＝2×[1－(－2)n]，

则＝＝.

故选A.

答案　A

5．(2025·天津红桥期末)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为(　　)

A．f    B．f

C．f    D．f

解析　由题意得，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则第六个单音的频率为a6＝f·()5＝f.故选B.

答案　B

6．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　)

A．　 　 B．   

C．1　　　 D．2

解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得

S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，

S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，

因为项数为奇数时，＝q，

即2＋q＝，所以q＝.

所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1+2+…＋n-1＝2n－，

故当n＝1或n＝2时，Tn取最大值2.

答案　D

二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N＋)，则下列选项正确的是(　　)

A．a1＝－1

B．S5＝－32

C．数列{an}是等比数列

D．数列{Sn－1}是等比数列

解析　数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋1，　①

当n＝1时， a1＝－1，A正确；

当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，　②

①－②得an＝2an－2an－1，

故an＝2an－1，

整理得＝2(常数)，

所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，C正确；