宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B C C D ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得，又，进而利用“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】由等差数列前项和公式可得，所以， 所以，又， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：C 2．D 【分析】根据复数的除法运算，结合实部与虚部相等，可得，再解方程即可． 【详解】， 因为实部与虚部相等， 所以，解得． 故选：D． 3．B 【分析】根据中位数定义计算即可得出结果. 【详解】将样本数据从小到大重新排列为12，13，15，17，19，25，29，31，38，43； 共10个数据，因此中位数应为第5个数和第6个数的平均数，即. 故选：B 4．A 【分析】利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解． 【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径， 所以球的表面积为． 故选：A． 5．B 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 6．C 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 联立，解得. 故选：C. 7．C 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 8．D 【分析】根据抛物线的定义可得，即可判断A；根据两圆外切可得，即可判断B；整理可得，利用裂项相消法求和，即可判断CD. 【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为， 则，解得，故A正确； 因为与外切，则， 整理可得，且， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确； 则，即， 则， 可得，故C正确，D错误； 故选：D. 9．ABD 【分析】依题意两者具有相同的周期，即可求出，从而判断A，的图象是由的图象向左平移个单位后所得，即可判断B、C，将问题转化为的零点，即可判断D. 【详解】对于A：因为函数 与函数 的图象有相同的对称轴， 所以两者具有相同的周期，所以，故A正确； 对于B、C：因为， 又，最小正周期且 与 的图象有相同的对称轴且不重合， 所以的图象是由的图象向左平移个单位后所得， 所以，故B正确，C错误； 对于D：函数的零点，即方程的根，即为函数的零点， 对于，令，解得， 所以在内有，，，共个零点，故D正确. 故选：ABD 10．AC 【分析】根据每个路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 所以． 故选：AC． 11．ACD 【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 12．/0.5 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 13． 【分析】设，，根据题意及相似三角形性质得.，，利用正弦定理求得及，利用长度关系得，利用二倍角公式及同角三角函数关系化简得，求出，代入求解即可. 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，所以∽， 所以，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 又，所以，所以， 所以，所以， 即，则（负根舍去）， 所以，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理及三角恒等变换的应用，解题的关键是在两个三角形中利用正弦定理，结合找到角的关系，另外本题还要注意运算技巧. 14．/ 【分析】设，利用余弦定理求出最小时的值，确定在中，，再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知； 设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，， 则, 即，整理得， 故椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时的值，进而再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 15．(1)，上四分位数为 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形面积之和为1，求得的值，根据各组频率分布情况求得第75百分位数，即上四分位数； （2）按比例求得在和的学生中需抽取的人数，确定的可能取值及其分布列，由数学期望的定义求得的数学期望. 【详解】（1）由题可知，解得； 上四分位数即为第75百分位数. 学生成绩在范围内的频率为， 学生成绩在范围内的频率为. 所以第75百分位数一定位于范围内. 由，所以估计学生成绩的上四分位数为. （2）依题意，成绩在，两组内的频率分别为和，所以在两组内分别抽取3人和2人. 记为抽取的3人中成绩来自内的人数，则的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望. 16．(1)证明见解析 (2)存在，的长度为或 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 17．(1)函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为； (2)的取值范围为. 【分析】（1）结合导数的几何意义求函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； （2）由已知当时，不等式恒成立，证明函数，的单调性，由此可得当时，恒成立，利用导数求函数，的最大值，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积， （2）因为， 不等式 ，又， 所以不等式 ， 由已知当时，不等式恒成立，故， 设，，则， 函数在上单调递增， 当时，，，， 所以不等式， 所以当时，恒成立， 设，，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以. 所以的取值范围为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】根据，，成等差数列，得到，解出即可； 由，得到，根据列项相消求和即可. 【详解】（1）由已知，     所以，即，解得或 而公比，所以， 所以的通项公式是． （2）因为，所以         ． 所以          因为，所以， 故． 19．(1)或； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）先令，解得其零点，再对进行求导，求得其极值点，进而求得的值； （2）假设轴上存在点，使得为矩形，根据矩形的性质得到向量关系，进而列出方程求解； （3）先求出的表达式，再根据内接正方形的性质列出方程，求出正方形的边长，进而求出其面积. 【详解】（1）根据题意，令，解得或， 又，则，令，解得或， 则当变化时，和随的变化列表如下： 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的极值点为和， 又函数的零点是函数的极值点， 所以或. （2）假设轴上存在点，使得为矩形，则的中点在轴上， 设，则，所以，， 因为四边形为矩形，所以， 所以，又，所以，方程无实数解. 故在轴上不存在点，使得为矩形. （3）设函数的内接正方形的四个顶点分别为， 因为函数， 所以，且为奇函数， 则正方形的中心为原点. 否则，由于为奇函数，关于原点的对称点也在曲线上，且也是正方形，与题设矛盾. 设， 则①，②， 所以，即， 又得，， 即， 所以， 令，则， 因为，所以， 当时，，舍去， 当时，， 此时， 又正方形的中心为原点， 所以. 答案第2页，共3页 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级12月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（   ）． A．19 B．22 C．21 D．18 4．一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 6．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若，且，，的前n项之和为，则以下说法错误的是（   ） A． B．是等差数列 C． D． 二、多选题：本题共18分 9．已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（    ） A． B． C．将的图象向左平移个单位可得到的图象 D．函数在内有4个零点 10．如图，这是某十字路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 ， ， ， 的机动车辆数如图所示，例如:路口 中的数字 “55”表示单位时间驶入路口 的机动车辆数，数字“50”表示单位时间驶出路口 的机动车辆数. 图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)， 则（    ） A． B． C． D． 11．设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共15分 12．已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 13．在中，是边上一点，，若，且，则 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为 . 四、解答题：本题共77分。 15．12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； (2)从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 16．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 17．已知函数. (1)当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18．在等比数列中，，公比，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 19．已知函数，. (1)若函数的零点是函数的极值点，求； (2)为坐标原点，在函数的图象上，在轴上是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由； (3)定义：若一个四边形的顶点均在某函数的图象上，则称该四边形为函数的内接四边形.设，若函数有唯一内接正方形，求该正方形的面积. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共10页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $