5.2.1 第1课时 等差数列的定义（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“等差数列”核心知识点，通过呈现0,5,10,…等具体数列实例，引导学生观察共同特征抽象出等差数列定义，再依据递推关系推导通项公式an=a1+(n-1)d，结合一次函数性质分析单调性，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过实例观察培养数学抽象（如从数列特征提炼定义），推导公式提升数据分析（如由a2=a1+d等递推式归纳通项），例题一题多解（如已知a4、a10求通项的两种方法）强化逻辑推理。课中辅助教师引导探究，课后通过判断、选择、解答题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

5．2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 学业标准 素养目标 1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断与证明方法．(重点) 2．了解等差数列与一次函数的关系．(难点) 3．会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象核心素养． 2．借助等差数列通项公式的推导，提升数据分析核心素养． 3．通过等差数列通项公式的运用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P8] 导学1　等差数列的定义 　数列： (1)0，5，10，15，20. (2)48，53，58，63. (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5. (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？ [提示]　共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数． 　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？ [提示]　能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d. ◎结论形成 　等差数列的定义 如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即__an＋1－an＝d__恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的__公差__． [微点睛]　等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征). (3)公差可以是正数、负数、零． 导学2　等差数列的通项公式 　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？ [提示]　a2－a1＝d，即a2＝a1＋d； a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d； a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d. 　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？ [提示]　猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ◎结论形成 1．等差数列的通项公式 an＝__a1＋(n－1)d__． 2．等差数列的单调性 由an＝a1＋(n－1)d可以变形为an＝dn＋a1－d，所以可以看出an是关于n的一次函数，根据一次函数的性质可以研究函数的单调性等． 等差数列{an}的公差为d， (1)当d＞0时，数列{an}为__递增__数列． (2)当d＜0时，数列{an}为__递减__数列． (3)当d＝0时，数列{an}为__常__数列． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列9，7，5，3，…，－2n＋11，…为等差数列．(　　) (2)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数，则该数列是等差数列．(　　) (3)常数列也是等差数列．(　　) (4)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．(　　) 解析　(1)由等差数列的定义知该数列为等差数列． (2)如数列2，7，9，1.虽然7－2＝5，9－7＝2，1－9＝－8，每一项与前一项的差都是常数，但不是同一个常数，故不是等差数列． (3)因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0. (4)只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项． 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列． 答案　A 3．若数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 026，则n＝(　　) A．673　　 B．674　　 C．675　　 D．676 解析　令1＋3(n－1)＝2 026，解得n＝676. 答案　D 4．若{an}是等差数列，且a1＝1，公差d＝5，则an＝______． 解析　因为a1＝1，d＝5， 所以an＝1＋(n－1)×5＝5n－4. 答案　5n－4 [对应学生用书P9] 题型一　等差数列的定义 　判断下列数列是不是等差数列，如果不是，请说明理由． (1)3，5，7，9； (2)3，－3，3，－3，…； (3)an＝ (4)an＝a且n∈N＋(a为常数). [解析]　(1)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数2，所以该数列是等差数列． (2)－3－3＝－6，3－(－3)＝6，不等于同一个常数，所以该数列不是等差数列． (3)由题意得a1＝6，a2＝5，当n≥3时，an－an－1＝－2.由于5－6＝－1，而从第3项起，每一项与前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起该数列是等差数列． (4)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列． (1)等差数列的定义给出了等差数列的递推关系：an＋1＝an＋d(n∈N＋). (2)定义给出判断一个数列{an}是否为等差数列的基本方法． [触类旁通] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 解析　选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，1－0≠3－1，不是等差数列，故选D. 答案　D 题型二　等差数列的通项公式及应用　(一题多解) 　[教材例5提升](1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． [解析]　(1)方法一　∵a4＝7，a10＝25， 则得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋). 方法二　∵a4＝7，a10＝25，∴a10－a4＝6d＝18， ∴d＝3，∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋). (2)方法一　由得 解得a1＝，d＝－. ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 方法二　由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－. ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. (1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式． (2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [触类旁通] 2．在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解析　(1)由题意知解得 (2)由题意知 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 即an＝2n－1，n∈N＋. 题型三　等差数列的判定与证明　(一题多解　一题多变) 　(1)判断下列数列是否为等差数列． ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n. (2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}是等差数列． [解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列． (2)证明　证法一　因为＝， 所以＝＋3，所以－＝3， 又因为bn＝(b∈N＋)， 所以bn＋1－bn＝3(n∈N＋)， 所以数列{bn}是等差数列． 证法二　因为bn＝，且an＋1＝， 所以bn＋1＝＝＝＋3＝bn＋3， 所以bn＋1－bn＝3(n∈N＋). 所以数列{bn}是等差数列． [母题变式] 1．(变条件)本例(2)中，若将“a1＝2，an＋1＝”改为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，其他条件不变，如何求证？ 证明　因为anan－1＝an－1－an(n≥2)， －＝1(n≥2). 又因为bn＝，所以bn－bn－1＝1(n≥2)， 所以数列{bn}是等差数列． 2．(变条件、变结论)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解析　数列{bn}是等差数列．理由如下： 因为数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， 所以an＋1－an＝d(n∈N＋). 所以bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. 所以根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列． [素养聚焦]　本题主要考查等差数列的判定与证明，突出考查数学抽象和逻辑推理核心素养． 等差数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列． (2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列． [触类旁通] 3．已知数列{an}满足4an＋1＝，证明：数列为等差数列． 证明　由4an＋1＝，得＝＝＝＝2＋， 所以－＝2，所以数列是以2为公差的等差数列． [缜密思维提能区]　易错案例 等差数列的判断 [典例]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N＋)，判断{an}是否是等差数列． [解析]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3， 得an＋1－an＝. 但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列． [纠错心得]　审题错误，没有注意条件n≥2.当n≥2时，an＋1－an＝，这说明这个数列从第三项起，后一项与前一项的差为同一个常数，而a2－a1＝1≠.漏审条件而误认为是等差数列． 知识落实 技法强化 (1)等差数列的定义． (2)等差数列的通项公式． (3)等差数列的单调性． (1)方程思维的运用：根据a1，d，n，an中任何三个量可求解另一个量． (2)注意an＋1－an＝常数与an－an－1＝常数的不同，前者n∈N＋，后者需n≥2才成立． 学科网（北京）股份有限公司 $