5.3.1 第2课时 等比数列的性质（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·北京西城高二期末)在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝4，则a2a3＝(　　) A．4　　　　　　　 B．6 C．2 D．±6 解析　因为{an}是等比数列，所以a2a3＝a1a4＝1×4＝4. 答案　A 2．在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为(　　) A．10 B．16 C．±4 D．4 解析　依题意，得a1·a99＝16，而a1·a99＝a，所以a50＝±4. 答案　C 3．(2025·河北邢台高二月考)在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝(　　) A．6 B．9 C．±6 D．±9 解析　因为a5a7a9a11＝a＝36，所以a＝6(负值舍去)，所以a2a14＝a＝6. 答案　A 4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，那么a7＋a8＝(　　) A．40 B．36 C．54 D．81 解析　由等比数列性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为16，公比为＝，所以a7＋a8＝16×3＝54. 答案　C 5．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 解析　设这三个数为，a，aq， 则解得或 ∴这三个数为1，3，9或9，3，1. 答案　1，3，9或9，3，1 6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是______． 解析　设此三数为3，a，b， 则 解得或 所以这个未知数为3或27. 答案　3或27 7．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为________． 解析　∵lg (a3a8a13)＝lg a＝6，∴a＝106⇒a8＝102＝100.又a1a15＝a＝10 000. 答案　10 000 8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，求ln a1＋ln a2＋…＋ln a20的值． 解析　因为{an}为等比数列， 所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11. 又a10a11＋a9a12＝2e5， 所以a10a11＝a9a12＝e5， 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2…a20) ＝ln [(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)] ＝ln (a10a11)10＝ln (e5)10＝ln e50＝50. [关键能力·综合提升] 9．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且＝an，则b11＝(　　) A．16 B．32 C．64 D．128 解析　因为{an}是等比数列，于是有a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2， 而＝an，则有b11＝b1···…·＝b1a1a2a3·…·a10＝25＝32，所以b11＝32. 答案　B 10．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∵a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2， ∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0， ∴q＝1±. ∵an＞0，∴q＞0，q＝1＋. ∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 答案　C 11．已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比q＝______． 解析　设该等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意，得 所以 所以＝±， 整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0， 解得q＝3±2或q＝－5±2. 答案　3±2或－5±2 12．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________． 解析　设数列{an}的公比为q(q>0). ∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2. 又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14， ∴＝－3(舍去)或＝2， 即q＝，∴a1＝8， ∴an＝8×＝， ∴an·an＋1·an＋2＝>，即23n-9<9. ∵n∈N＋，∴n的最大值为4. 答案　4 13．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝anan＋1(n∈N＋). (1)若数列{an}是等比数列，试求数列{bn}的通项公式； (2)当数列{bn}是等比数列时，甲同学说：数列{an}一定是等比数列；乙同学说：数列{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解析　(1)因为数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，an＝an-1. 又bn＝anan＋1，则b1＝a1a2＝a，＝＝＝＝a2， 即数列{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列， 于是bn＝a(a2)n-1＝a2n-1. (2)甲、乙两个同学的说法都不正确．理由如下： 设数列{bn}的公比为q， 则＝＝＝q且a≠0， 又a1＝1，a2＝a，所以a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，即数列{an}为1，a，q，aq，q2，aq2，….当q＝a2时，数列{an}是等比数列；当q≠a2时，数列{an}不是等比数列．所以甲、乙两个同学的说法都不正确． [核心价值·探索创新] 14．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取得最大值时，n的值为________． 解析　由题意可知在等比数列{an}中，a1a2a3·…·a2 016＝a2 016，故a1a2a3·…·a2 015＝a＝1.设数列{an}的公比为q，因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1>1，a1 008＝1，所以0<q<1，所以a1 007>1且0<a1 009<1.故当数列{an}的前n项的乘积取得最大值时，n的值为1 007 或1 008. 答案　1 007或1 008 15．设数列{an}满足an＋1＝2an＋n2－4n＋1. (1)若a1＝3，求证：存在f(n)＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，使得数列{an＋f(n)}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式． 解析　(1)证明　设an＋1＋a(n＋1)2＋b(n＋1)＋c＝2(an＋an2＋bn＋c)， 即an＋1＝2an＋an2＋(b－2a)n＋c－a－b. 因为an＋1＝2an＋n2－4n＋1， 所以解得 又a1＋1－2＝2≠0，所以存在f(n)＝n2－2n，使得数列{an＋n2－2n}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＋n2－2n＝2n，故an＝2n－n2＋2n. (2)由(1)知an＋1＋(n＋1)2－2(n＋1)＝2(an＋n2－2n)， 所以an＋n2－2n＝(a1－1)×2n-1， 即an＝(a1－1)×2n-1－n2＋2n. 当n≥2时，bn＝an－an－1＝[(a1－1)×2n-1－n2＋2n]－[(a1－1)×2n-2－(n－1)2＋2(n－1)]＝(a1－1)×2n-2－2n＋3. 所以bn＝ 因为{bn}为等差数列，所以a1＝1，bn＝－2n＋3. 学科网（北京）股份有限公司 $