5.3.1 第1课时 等比数列的定义（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知等比数列{an}的前2项和为12，a1－a3＝6, 则公比q的值为(　　) A．　　　　　　　 B．2 C． D．3 解析　设等比数列的公比为q(q≠0)， 则即解得q＝，a1＝8，所以q＝. 答案　A 2．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　∵数列{an}为等比数列，∴an＝a1qn-1＝2n-1＝128，解得n＝8. 答案　C 3．如果－4，a，b，c，－16成等比数列，那么(　　) A．b＝8，ac＝64 B．b＝8，ac＝－64 C．b＝－8，ac＝64 D．b＝－8，ac＝－64 解析　设等比数列的公比为q，则－4q4＝－16， ∴q2＝2，∴b＝－4q2＝－8， ∴ac＝b2＝64. 答案　C 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n B．an＝2－n C．an＝2n-1 D．an＝21-n 解析　当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， 因此数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n-1，故选C. 答案　C 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，则a6＝________． 解析　在数列{an}中，an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an， 又因为a1＝2≠0，所以an≠0，所以＝2， 所以数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an＝2×2n-1＝2n，a6＝26＝64. 答案　64 6．(2025·陕西汉中高二期中)在等比数列{an}中，a3＝1，a6＝－8，则公比q＝________． 解析　因为a3＝1，a6＝－8，则a6＝a3q3，即q3＝－8，解得q＝－2. 答案　－2 7．在等比数列{an}中，a5－5a2＝18，且a3－a4＝－12，则公比q＝________． 解析　依题意得a5－5a2＝a1q4－5a1q＝18，且a3－a4＝a1q2－a1q3＝－12， 两式相除得＝－，所以＝－， 即2q3－3q2＋3q－10＝0. 利用试根法分解因式得(q－2)·(2q2＋q＋5)＝0，解得q＝2. 答案　2 8．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，求数列{an}的通项公式． 解析　因为数列{an}中，a2＝，a3＝， 且数列{nan＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4，3a3＋1＝7＋1＝8， 所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan＋1＝2n，解得an＝. [关键能力·综合提升] 9．“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝(　　) A．4 B． C． D． 解析　设第一个音的频率为a，设相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn-1，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得a13＝2a＝aq12，解得q＝2，所以＝＝q4＝，故选D. 答案　D 10．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是(　　) A．a3＋a7≥2 B．a4＋a6≥2 C．a7－2a6＋1≥0 D．a3－2a4－1≥0 解析　因为等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 且a5＝a3q2＝1， 所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2. a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时，等号成立，故A正确； a4＋a6＝＋q，当q<0时，a4＋a6<0，故B错误； a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确； a3－2a4－1＝－－1＝－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．故选AC. 答案　AC 11．在6和768之间插入6个数，它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是______． 解析　由条件，得768＝6×q7，解得q＝2. ∴a6＝6×25＝192. 答案　192 12．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是______． 解析　设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x，则(1＋x)11＝m，x＝－1，所以月平均增长率为－1. 答案　－1 13．已知数列{cn}且cn＝2n＋3n，若数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解析　方法一　因为数列{cn＋1－pcn}是等比数列， 所以当n≥2时，有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1)， 将cn＝2n＋3n代入上式， 得[2n+1＋3n+1－p(2n＋3n)]2＝[2n+2＋3n+2－p(2n+1＋3n+1)][2n＋3n－p(2n-1＋3n-1)]， 即[(2－p)2n＋(3－p)3n]2＝[(2－p)2n+1＋(3－p)3n+1]·[(2－p)2n-1＋(3－p)3n-1]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0， 所以2－p＝0或3－p＝0，解得p＝2或p＝3. 方法二　由cn＝2n＋3n，得c1＝5，c2＝13，c3＝35，c4＝97. 因而数列{cn＋1－pcn}的前三项依次为13－5p，35－13p，97－35p. 由题意得(35－13p)2＝(13－5p)(97－35p)， 整理得p2－5p＋6＝0，解得p＝2或p＝3. 当p＝2时，cn＋1－pcn＝(2n+1＋3n+1)－2(2n＋3n)＝3n，所以＝＝3， 所以此时数列{cn＋1－pcn}是等比数列． 同理当p＝3时，数列{cn＋1－pcn}也是等比数列． 所以p＝2或p＝3. [核心价值·探索创新] 14．等比数列{an}的公比q满足|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　因为等比数列{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，所以{an}中既有正数项也有负数项，所以公比q<0.因为|q|>1，所以q<－1，所以等比数列{|an|}单调递增．集合中的元素按绝对值从小到大排列可得－18，－24，36，－54，81，因为＝，＝－，－＝－，＝－，所以－24，36，－54，81是{an}中连续四项，所以q＝－，故选C. 答案　C 15．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解析　(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn-1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝(舍去)，所以an＝8×＝24-n. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24-n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24-n＞(n＋3－λ)·23-n， 即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $