精品解析：江苏省启东中学2024-2025学年高三下学期数学周练9(5.17)

高三数学周练9(数学) 考查内容：集合与不等式（第1题，涉及集合的包含关系与参数范围） 复数（第2题，涉及复数的运算与共轭） 数列与数列求和（重点：等差数列与等比数列的综合、数列求和）（第3、11题，涉及等差与等比数列的混合、数列的最值与求和） 函数与导数（重点：函数性质、单调性、最值、导数与中值定理、新定义函数）（如第4、5、8、11、19题，涉及对数函数图像与面积、函数大小比较、拉格朗日中值点个数、函数最值与不等式、DT-函数新定义等） 立体几何（重点：正方体中的距离与角、截面面积、线面角、体积）（如第6、9、14、16题，涉及动点到直线距离最小、截面面积与体积、线面角计算、圆台与球体积比） 解析几何（重点：椭圆、双曲线、抛物线、直线与曲线位置关系、几何性质）（如第10、12、17题，涉及椭圆切线性质、抛物线焦点坐标、双曲线切线平分角与面积最值） 三角函数与解三角形（第7、15题，涉及三角函数图像性质与单调性、解三角形中的边角关系与内切圆半径） 概率与统计（重点：条件概率、期望、取球模型）（第18题，涉及取球概率、期望公式与递推概率） 新定义与数学建模（重点：闵氏距离、中值点、DT-函数）（如第13、8、19题，体现数学建模与抽象推理能力） 向量与几何综合（第10题，涉及向量数量积与几何性质） 不等式与最值（第11、13、14、15题，涉及数列不等式、距离最值、体积比范围、三角形边角最值） 应用题与数学文化（第13题，以机器学习为背景，考查距离模型与最值） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先运用除法运算进行化简，再结合共轭复数概念,减法计算即可. 【详解】，则， 故选：B. 3. 设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为，其中，由题意得出，可得出，进而可得出关于 的方程，结合可得出 的值，进而可求出的值，可得出这两个数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和. 【详解】设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为，其中， 由题意，即，即，整理得， 因为，所以，故， 所以，则，故， 又因为, 所以数列的前项和为 . 故选：A. 4. 已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用得到，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把代入即可得到点C的坐标，从而求出，，得到平行四边形ABCD的面积. 【详解】解：∵函数f（x）＝log2， 由f（2）＝1可得，∴a＝b+2， 由f（）＝0可得，∴a＝1， 解得：a＝4，b＝2， ∴f（x）， 设点C，D的横坐标分别为x1，x2，由题意可知，则，∴， 由f（x2）﹣f（x1）＝1得：， ∴， ∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4， 又∵点C不与B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3）， ∴，， 故平行四边形ABCD的面积S＝， 故选：B. 【点睛】此题考查四边形面积的求法，考查对数函数的性质，考查运算求解能力、推理能力，属于中档题. 5. 已知函数，若，，，则实数 、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用定义可得出函数为偶函数，利用单调性定义可判断出函数在区间上为增函数，可得出，再利用中间值法比较、、三个数的大小关系，由函数在区间上的单调性可得出 、、的大小关系. 【详解】函数的定义域为 ，，该函数为偶函数， 当时， , 则函数在区间上为增函数， 则， 指数函数为增函数，则， 对数函数在上为增函数，则，即， ，则，因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，同时也考查了指数式与对数式的大小比较，考查推理能力，属于中等题. 6. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：D. 7. 已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得函数的对称轴为，所以有，可得，解得，再分类讨论又在区间上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为， 所以，即，， 解得，，，，， ①若在区间上单调递增，则，， ，， ，即，解得，， 所以，，且，，所以当时，满足题意； ②若在区间上单调递减，则，， ，， ，即，解得，， 所以，，且，，此时无解，综上可得. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的对称性，单调性问题中求参数的范围的方面，关键在于根据其函数的性质得出关于参数的不等式组. 8. 已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，解方程，即可得出结论. 【详解】因为，则，且，， 由题意可得，可得，解得， 因此，函数在区间上的“中值点”的个数为 . 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（ ） A. 直线为异面直线 B. C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 【答案】BC 【解析】 【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D. 【详解】对于A，连接， 由题意可知，因为，所以，所以共面， 故选项A错误； 对于B，连接， 由题意可知， 所以，故选项B正确； 对于C，连接， 由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确； 对于D，连接， 根据正方体的性质可得，且， 所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误； 故选：BC 10. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当 垂直于x轴时，直线 的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用椭圆的切点弦方程可得过椭圆左焦点，再判定以 为直径的圆与直线的位置关系即可；对于B项，当 垂直于x轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C项，特殊值法判定即可；对于D项，取中点 ，易知，建立方程计算即可. 【详解】对于A项，设切线方程为 联立得：， ∵直线与椭圆相切，故则， ∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为， 而P点在上，故， 又满足该方程组，故， 显然过定点，即椭圆左焦点. 以 为直径的圆半径最大无限接近 ，但该圆与一直相离，即 始终为锐角，A正确； 对于B项，由A得，轴时，，易得， ，故B正确； 对于C项，由B知轴时，，此时，故C错误； 对于D项，取中点 ，若，则， 即为等腰三角形，， 化简得，由A知：， 整理得：，显然存在P满足题意，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论： （1）过椭圆上一点的切线方程， （2）椭圆外一点引两条切线，切点连线方程为； （3）椭圆的准线方程：，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点. 11. 已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若数列满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式和柯西不等式推导出，从而得到A正确，B错误；构造函数得到在上恒成立，结合等比数列求和公式证明出C正确；D选项，化简得到，再用裂项相消法求和，证明出结论. 【详解】A选项，，故， 由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立， 故，A正确； B选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当时，等号成立， 故， ，故，当且仅当时，等号成立， 故， 依次类推，可得，当且仅当等号成立， 故 ，B错误； C选项，设，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，故在上恒成立， ，C正确； D选项，， ， 故，D正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】先联立直线与抛物线方程，得到关于 的一元二次方程，再利用抛物线的焦半径公式结合已知条件求出 的值，进而得到焦点 的坐标. 【详解】已知直线方程，则. 将代入抛物线方程可得： ，展开并化简得：，即. 设，，由韦达定理可得，. 由抛物线的焦半径公式可知，. 已知，则，即. 对进行变形可得： ，即，即，则. 因为，所以，解得. 可得焦点 的坐标为. 故答案为：. 13. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中 为非零常数．如果点 在曲线上，点 在直线上，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可证得，由此可分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，则可化简得到最小值. 【详解】设，，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 即； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义运算的最值求解问题，解题关键是能够通过分类讨论的方式，去除所求距离形式中的绝对值符号，从而化简所求式子得到可求最值的形式. 14. 圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，根据台体球体体积公式计算体积，再得到比值，令，换元，结合对勾函数性质得解. 【详解】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为， 则圆台体积，球体积，已知，. 由，得，把代入，，所以. 则. . 则 ，化简得. 令，.当，； 靠近时，变得很大， 趋近正无穷，所以范围是，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为锐角三角形，角 、、 的对边分别为 、、，，. （1）求的取值范围； （2）求的内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出的值，可得出角的值，根据为锐角三角形求出角 的取值范围，利用正弦定理与三角恒等变换化简得，根据角 的取值范围结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数的基本性质可求出的取值范围，然后利用等面积法得出，即可得出的最大值. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 由余弦定理可得， 因为为锐角，故， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，故，， 故 ， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. 【小问2详解】 因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，平面平面 ，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面 ； （2）求点 到平面的距离； （3）设直线与平面 ，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】（1） 连接 ，取的中点，连接，因为底面 为菱形，且， 所以、为等边三角形，所以，又平面平面 ，平面平面， 平面 ，所以平面，平面，所以， 又，，平面 ， 所以平面 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离； （3）连接，，取的中点 ，连接，确定直线与平面 ，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面 ，平面 ，所以，， 又 ，，，所以， 所以， 又，所以， 设点 到平面的距离为 ，则，即， 解得，即点 到平面的距离. 【小问3详解】 连接，，则且， 又平面 ，所以平面 ，则为直线与平面 所成的角，即，所以， 取的中点 ，连接，则且， 又 为 中点，所以，又，所以， 由平面 ，平面 ，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接， ，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与 相切于第一象限内的点 ，且与 轴相交于点. （1）证明： 平分； （2）过原点作的垂线（垂足为 ），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】（1） 设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令 ，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故 平分. （2） 【解析】 【分析】（1）设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论； （2）由（1）可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 18. 盒子中装有个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从中无放回地随机取出1个球． （1）若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率； （2）若盒中白球数为随机变量，，证明：第1次取出白球的概率为； （3）若盒中白球数为，每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第 次取出白球的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． 【答案】（1） （2）证明：，设事件 为“第1次从盒子中摸出白球”， 则， 所以第1次从盒子中摸出白球的概率为． （3） 【解析】 【分析】（1）设事件 为“2次摸球后，摸出的球不同色”，根据古典概型概率公式及组合数的计算即可求解； （2）根据全概率公式即可证明； （3）设第次取球后，第次取球前，盒中的白球数为，，设，结合参考公式得，即可得出第 次取出白球的概率． 【小问1详解】 设事件 为“2次摸球后，摸出的球不同色”， 则， 所以2次摸球后，摸出的球不同色的概率为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设第次取球后，第次取球前，盒中的白球数为，， 设， 由题意得，服从两点分布，故， 根据参考公式可得， 由第（2）问可得， 则， ， 所以是为首项，为公比的等比数列， 则， 则第 次摸出白球的概率为． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】（1）是的“－函数”，证明： 由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2） 由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替 ，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3） 由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周练9(数学) 考查内容：集合与不等式（第1题，涉及集合的包含关系与参数范围） 复数（第2题，涉及复数的运算与共轭） 数列与数列求和（重点：等差数列与等比数列的综合、数列求和）（第3、11题，涉及等差与等比数列的混合、数列的最值与求和） 函数与导数（重点：函数性质、单调性、最值、导数与中值定理、新定义函数）（如第4、5、8、11、19题，涉及对数函数图像与面积、函数大小比较、拉格朗日中值点个数、函数最值与不等式、DT-函数新定义等） 立体几何（重点：正方体中的距离与角、截面面积、线面角、体积）（如第6、9、14、16题，涉及动点到直线距离最小、截面面积与体积、线面角计算、圆台与球体积比） 解析几何（重点：椭圆、双曲线、抛物线、直线与曲线位置关系、几何性质）（如第10、12、17题，涉及椭圆切线性质、抛物线焦点坐标、双曲线切线平分角与面积最值） 三角函数与解三角形（第7、15题，涉及三角函数图像性质与单调性、解三角形中的边角关系与内切圆半径） 概率与统计（重点：条件概率、期望、取球模型）（第18题，涉及取球概率、期望公式与递推概率） 新定义与数学建模（重点：闵氏距离、中值点、DT-函数）（如第13、8、19题，体现数学建模与抽象推理能力） 向量与几何综合（第10题，涉及向量数量积与几何性质） 不等式与最值（第11、13、14、15题，涉及数列不等式、距离最值、体积比范围、三角形边角最值） 应用题与数学文化（第13题，以机器学习为背景，考查距离模型与最值） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，，，则实数 、 、 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（ ） A. 直线为异面直线 B. C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 10. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当 垂直于x轴时，直线 的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 11. 已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若数列满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线与抛物线C：相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.若，则点F的坐标为______. 13. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中 为非零常数．如果点 在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 14. 圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 为锐角三角形，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，，. （1）求的取值范围； （2）求 的内切圆半径的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，平面平面 ，， ，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上． （1）证明：平面 ； （2）求点 到平面的距离； （3）设直线 与平面 ，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与 相切于第一象限内的点 ，且与 轴相交于点. （1）证明：平分； （2）过原点 作的垂线（垂足为 ），与相交于点，求面积的最大值. 18. 盒子中装有个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从中无放回地随机取出1个球． （1）若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率； （2）若盒中白球数为随机变量，，证明：第1次取出白球的概率为； （3）若盒中白球数为，每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第 次取出白球的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． 19. 函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． （1）判断是否为的“－函数”，并证明； （2）设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（ 为常数）； （3）若，，，，证明：是的“－函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $