第5章 5.2.2 导数的四则运算法则（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　5.2　5.2.2 [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 解析　D中，∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 答案　ABC 2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos2x＋sin2x　 B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 解析　y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 答案　B 3．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0 解析　y′＝＝－， 当x＝1时，y′＝－1， 所以切线方程是y－1＝－(x－1)， 整理得x＋y－2＝0，故选B． 答案　B 4．(多选题)当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是(　　) A．a B．0 C．－a D．a2 解析　y′＝′＝＝， 由x－a2＝0得x0＝±a. 答案　AC 5．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程是________. 解析　利用求导法则与求导公式可得 y′＝(3ln x＋1)＋x·＝3ln x＋4. 所以k切＝y′|x＝1＝4， 所以切线方程为y－1＝4(x－1)， 即4x－y－3＝0. 答案　4x－y－3＝0 6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 解析　∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案　1 7．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________. 解析　f′(x)＝ 若f′(a)＝12，则或 解得a＝或a＝－4. 答案　或－4 8．求下列函数的导数． (1)y＝3x2＋xsin x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝. 解析　(1)y′＝(3x2)′＋(xsin x)′ ＝6x＋sin x＋x(sin x)′ ＝6x＋sin x＋xcos x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ ＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3) ＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋. (3)y′＝′＝ ＝. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝(　　) A．－3 B．2e C． D． 解析　因为f′(1)为常数， 所以f′(x)＝2exf′(1)＋， 所以f′(1)＝2ef′(1)＋3， 所以f′(1)＝. 答案　D 10．曲线y＝xsin x上点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为(　　) A． B．π2 C．2π2 D．(2＋π)2 解析　y′＝(xsin x)′＝x′sin x＋x(sin x)′ ＝sin x＋xcos x. 当x＝－时， k＝sin＋cos＝－1. 所以在点处的切线方程为y－＝－，即y＝－x.所以y＝－x与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为. 答案　A 11．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________. 解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′×＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1. 答案　1 12．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________. 解析　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0. 可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0·(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 13．(2025·吕梁期末)已知函数f＝x2f′＋5x－7. (1)求函数f的解析式； (2)设g＝xf，求曲线y＝g的斜率为－4的切线方程． 解析　(1)对f(x)＝x2f′(3)＋5x－7求导，可得f′(x)＝2xf′(3)＋5. 把x＝3代入，得到f′(3)＝2×3f′(3)＋5.解得f′(3)＝－1. 把f′(3)＝－1代入f(x)＝x2f′(3)＋5x－7，得到f(x)＝－x2＋5x－7. (2)已知g(x)＝xf(x)，把f(x)＝－x2＋5x－7代入可得g(x)＝x(－x2＋5x－7)＝－x3＋5x2－7x.对g(x)求导，可得g′(x)＝－3x2＋10x－7. 因为曲线y＝g(x)切线斜率为－4，所以令g′(x)＝－4，即－3x2＋10x－7＝－4. 解得x＝3或x＝. 当x＝3时，g(3)＝－33＋5×32－7×3＝－3. 当x＝时，g＝－3＋5×2－7×＝－. 当切点为(3，－3)时，切线方程为y－(－3)＝－4(x－3)，整理得4x＋y－9＝0. 当切点为时，切线方程为y－＝－4，整理得108x＋27y＋13＝0. 综上所得，y＝g的斜率为－4的切线方程为4x＋y－9＝0或108x＋27y＋13＝0. [核心素养·探索创新] 14．(2025·山西名校联考)经过点所作曲线y＝x2ex的切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析　因为y′＝ex，所以曲线y＝x2ex在点处的切线方程为y－xex0＝ex0·. 将代入，得x0ex0·＝0. 因为方程x2－2x－6＝0有两个不同的根，且根不为0， 所以方程x0ex0·＝0共有3个不同的根， 即经过点所作曲线y＝x2ex的切线有3条． 故选C． 答案　C 15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝＝. 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． 所以即 所以a＝4，b＝1，所以f(x)＝. (2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，t∈(0,1]， 则k＝4(2t2－t)＝82－， 所以k∈. 学科网（北京）股份有限公司 $